Sommes et séries numériques

Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La série géométrique 1/2 + 1/4 + 1/8 + … remplit peu à peu un carré d'aire 1.

Additionner dix nombres ne pose aucun problème. Ce chapitre s'occupe des deux situations où cela en pose un : quand les termes à additionner sont en nombre quelconque — il faut alors une formule, pas une calculatrice — et quand ils sont en nombre infini, ce qui demande de dire d'abord ce qu'on entend par là.

AttentionDeux consignes qui fixent le niveau d'exigence

Sur les sommes, le programme précise : « On se limitera, sur des exemples simples, à des décalages d'indice de type $k^{'} = k + 1$ . » Aucun changement d'indice acrobatique ne sera donc demandé.

Sur les séries, il est encore plus net : « Les séries sont introduites exclusivement pour leurs applications au calcul des probabilités. Aucune difficulté ne sera soulevée. » Il n'y aura ici ni critère de comparaison, ni règle de d'Alembert, ni série de référence autre que la géométrique. Et l'on ajoute : « Les dérivées des séries géométriques ne font pas partie des attendus du programme. »

3.1 Le symbole somme

Définition 3.1Notation sigma

Pour des nombres $u_{p}, u_{p + 1}, \dots, u_{n}$ indexés par des entiers, on note

$k = p \sum n u_{k} = u_{p} + u_{p + 1} + \dots + u_{n} .$

L'entier $k$ est l'indice de sommation : c'est une variable muette, elle n'existe qu'à l'intérieur du symbole. Écrire $\sum_{k = p}^{n} u_{k}$ ou $\sum_{j = p}^{n} u_{j}$ , c'est écrire le même nombre.

Proposition 3.2Linéarité et sommes usuelles

Pour tous réels $λ$ , $μ$ et toutes familles $(u_{k})$ , $(v_{k})$ :

$k = p \sum n (λ u_{k} + μ v_{k}) = λ k = p \sum n u_{k} + μ k = p \sum n v_{k} .$

De plus, pour $n \geq 1$ et $q \neq = 1$ :

$k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}, k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .$

Exemple 3.3Sur des valeurs

Pour $n = 10$ : $\sum_{k = 1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55$ et $\sum_{k = 1}^{10} k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$ .

Pour $q = \frac{1}{2}$ et $n = 10$ : $\sum_{k = 0}^{10} (\frac{1}{2})^{k} = \frac{1 - ( 1/2 ) ^{11}}{1/2} = 2 - \frac{1}{1024} = 1, 9990 \dots$ On voit déjà la somme s'approcher de $2$ sans l'atteindre : c'est tout le chapitre qui s'annonce.

AttentionUne constante n'est pas un terme

$\sum_{k = 1}^{n} 3 = 3 n$ et non $3$ : il y a $n$ termes, tous égaux à $3$ . De même $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} \neq = (\sum_{k = 1}^{n} k)^{2}$ — pour $n = 3$ , $14$ d'un côté, $36$ de l'autre.

La linéarité porte sur les sommes et les multiples par une constante, jamais sur les produits.

3.2 Décalage d'indice

Une même somme peut s'écrire de plusieurs façons, selon l'endroit où l'on décide de faire partir le compteur. Changer d'indice ne change pas le nombre : cela change seulement l'étiquette collée sur chaque terme.

ImportantLa règle du décalage

On pose $k^{'} = k + 1$ . Quand $k$ parcourt ${p, \dots, n}$ , l'entier $k^{'}$ parcourt ${p + 1, \dots, n + 1}$ , et $k = k^{'} - 1$ . Donc

$k = p \sum n u_{k + 1} = k^{'} = p + 1 \sum n + 1 u_{k^{'}} .$

Trois choses bougent ensemble : les deux bornes montent d'un cran, et le terme général perd son $+ 1$ . Un décalage où l'on oublie une borne est l'erreur classique.

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