Sommes et séries numériques

Cours complet · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 3 · prépa ECT, 2e année

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Additionner dix nombres ne pose aucun problème. Ce chapitre s'occupe des deux situations où cela en pose un : quand les termes à additionner sont en nombre quelconque — il faut alors une formule, pas une calculatrice — et quand ils sont en nombre infini, ce qui demande de dire d'abord ce qu'on entend par là.

AttentionDeux consignes qui fixent le niveau d'exigence

Sur les sommes, le programme précise : « On se limitera, sur des exemples simples, à des décalages d'indice de type $k^{'} = k + 1$ . » Aucun changement d'indice acrobatique ne sera donc demandé.

Sur les séries, il est encore plus net : « Les séries sont introduites exclusivement pour leurs applications au calcul des probabilités. Aucune difficulté ne sera soulevée. » Il n'y aura ici ni critère de comparaison, ni règle de d'Alembert, ni série de référence autre que la géométrique. Et l'on ajoute : « Les dérivées des séries géométriques ne font pas partie des attendus du programme. »

3.1 Le symbole somme

Définition 3.1Notation sigma

Pour des nombres $u_{p}, u_{p + 1}, \dots, u_{n}$ indexés par des entiers, on note

$k = p \sum n u_{k} = u_{p} + u_{p + 1} + \dots + u_{n} .$

L'entier $k$ est l'indice de sommation : c'est une variable muette, elle n'existe qu'à l'intérieur du symbole. Écrire $\sum_{k = p}^{n} u_{k}$ ou $\sum_{j = p}^{n} u_{j}$ , c'est écrire le même nombre.

Proposition 3.2Linéarité et sommes usuelles

Pour tous réels $λ$ , $μ$ et toutes familles $(u_{k})$ , $(v_{k})$ :

$k = p \sum n (λ u_{k} + μ v_{k}) = λ k = p \sum n u_{k} + μ k = p \sum n v_{k} .$

De plus, pour $n \geq 1$ et $q \neq = 1$ :

$k = 1 \sum n k = \frac{n ( n + 1 )}{2}, k = 1 \sum n k^{2} = \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6}, k = 0 \sum n q^{k} = \frac{1 - q ^{n + 1}}{1 - q} .$

Exemple 3.3Sur des valeurs

Pour $n = 10$ : $\sum_{k = 1}^{10} k = \frac{10 \times 11}{2} = 55$ et $\sum_{k = 1}^{10} k^{2} = \frac{10 \times 11 \times 21}{6} = 385$ .

Pour $q = \frac{1}{2}$ et $n = 10$ : $\sum_{k = 0}^{10} (\frac{1}{2})^{k} = \frac{1 - ( 1/2 ) ^{11}}{1/2} = 2 - \frac{1}{1024} = 1, 9990 \dots$ On voit déjà la somme s'approcher de $2$ sans l'atteindre : c'est tout le chapitre qui s'annonce.

AttentionUne constante n'est pas un terme

$\sum_{k = 1}^{n} 3 = 3 n$ et non $3$ : il y a $n$ termes, tous égaux à $3$ . De même $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} \neq = (\sum_{k = 1}^{n} k)^{2}$ — pour $n = 3$ , $14$ d'un côté, $36$ de l'autre.

La linéarité porte sur les sommes et les multiples par une constante, jamais sur les produits.

3.2 Décalage d'indice

Une même somme peut s'écrire de plusieurs façons, selon l'endroit où l'on décide de faire partir le compteur. Changer d'indice ne change pas le nombre : cela change seulement l'étiquette collée sur chaque terme.

ImportantLa règle du décalage

On pose $k^{'} = k + 1$ . Quand $k$ parcourt ${p, \dots, n}$ , l'entier $k^{'}$ parcourt ${p + 1, \dots, n + 1}$ , et $k = k^{'} - 1$ . Donc

$k = p \sum n u_{k + 1} = k^{'} = p + 1 \sum n + 1 u_{k^{'}} .$

Trois choses bougent ensemble : les deux bornes montent d'un cran, et le terme général perd son $+ 1$ . Un décalage où l'on oublie une borne est l'erreur classique.

Exemple 3.4Un décalage complet

Calculons $k = 0 \sum 6 (k + 1)$ . Avec $k^{'} = k + 1$ :

$k = 0 \sum 6 (k + 1) = k^{'} = 1 \sum 7 k^{'} = \frac{7 \times 8}{2} = 28.$

On a ramené la somme à une somme usuelle. Le contrôle direct est immédiat : $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28$ .

3.3 Sommes télescopiques

◆Théorème 3.5Somme télescopique

Pour toute famille $(a_{k})$ et tous entiers $p \leq n$ :

$k = p \sum n (a_{k + 1} - a_{k}) = a_{n + 1} - a_{p} .$

Démonstration

Par linéarité puis décalage d'indice :

$k = p \sum n a_{k + 1} - k = p \sum n a_{k} = k^{'} = p + 1 \sum n + 1 a_{k^{'}} - k = p \sum n a_{k} .$

Les deux sommes portent sur les mêmes termes, sauf que la première ignore $a_{p}$ et la seconde ignore $a_{n + 1}$ . Il reste $a_{n + 1} - a_{p}$ .

Exemple 3.6La somme télescopique de référence

Pour tout $n \geq 1$ ,

$k = 1 \sum n \frac{1}{k ( k + 1 )} = k = 1 \sum n (\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1}) = 1 - \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1},$

car $\frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} = \frac{( k + 1 ) - k}{k ( k + 1 )} = \frac{1}{k ( k + 1 )}$ .

Pour $n = 10$ , cela donne $\frac{10}{11} \approx 0, 909$ . On reconnaît le théorème avec $a_{k} = - \frac{1}{k}$ .

Python : Le télescopage, en calcul exact


from fractions import Fraction

def telescopique(n):
    s = Fraction(0)
    for k in range(1, n + 1):
        s = s + Fraction(1, k) - Fraction(1, k + 1)
    return s

for n in [1, 4, 10, 100]:
    print(n, telescopique(n), Fraction(n, n + 1))
# 1 1/2 1/2 / 4 4/5 4/5
# 10 10/11 10/11 / 100 100/101 100/101

Le module fractions calcule sans arrondi : les deux colonnes sont rigoureusement égales, terme à terme. Avec des flottants, on n'aurait vu qu'une coïncidence approchée.

3.4 Séries numériques

Additionner une infinité de nombres n'a aucun sens immédiat. On procède donc en deux temps : on additionne les $n + 1$ premiers termes — c'est une somme ordinaire, notée $S_{n}$ — puis on regarde si la suite $(S_{n})$ tend vers une limite. Toute la théorie des séries tient dans ce déplacement.

Définition 3.7Série, somme partielle, convergence

Soit $(u_{n})_{n \geq 0}$ une suite de réels. On appelle somme partielle d'ordre $n$ le nombre

$S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} .$

La série de terme général $u_{n}$ , notée $\sum u_{n}$ , est convergente si la suite $(S_{n})$ admet une limite finie $S$ . On note alors

$S = n = 0 \sum + \infty u_{n},$

et $S$ s'appelle la somme de la série. Sinon, la série est divergente.

AttentionTrois écritures à ne pas confondre

$u_{n}$ est un nombre : le terme général.
$\sum u_{n}$ désigne la série, c'est-à-dire l'objet dont on étudie la nature (convergente ou divergente).
$\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ est un nombre, la somme — et cette écriture n'a de sens que si la série converge.

Écrire $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ avant d'avoir prouvé la convergence est une faute, pas une maladresse : le symbole ne désigne alors rien.

◆Théorème 3.8Condition nécessaire de convergence

Si la série $\sum u_{n}$ converge, alors $u_{n} \to 0$ quand $n \to + \infty$ .

Démonstration

Supposons $S_{n} \to S$ . Alors $S_{n - 1} \to S$ également, et $u_{n} = S_{n} - S_{n - 1} \to S - S = 0$ .

ImportantComment on s'en sert, et comment on ne s'en sert pas

On l'utilise par contraposée : si $u_{n}$ ne tend pas vers $0$ , la série diverge. On dit qu'elle diverge grossièrement. C'est le premier réflexe devant une série inconnue, et il coûte une ligne.

La réciproque est fausse. Il existe des séries dont le terme général tend vers $0$ et qui divergent tout de même : c'est le cas de $\sum \frac{1}{n}$ (résultat admis, hors programme, cité seulement pour empêcher la confusion). Que $u_{n}$ tende vers $0$ ne prouve donc jamais rien.

3.5 La série géométrique

◆Théorème 3.9Série géométrique

Soit $x$ un réel. La série $\sum x^{n}$ converge si et seulement si $∣ x ∣ < 1$ , et dans ce cas

$n = 0 \sum + \infty x^{n} = \frac{1}{1 - x} .$

Démonstration

Si $x \neq = 1$ , la somme partielle vaut $S_{n} = \frac{1 - x ^{n + 1}}{1 - x}$ .

Si $∣ x ∣ < 1$ , alors $x^{n + 1} \to 0$ , donc $S_{n} \to \frac{1}{1 - x}$ : la série converge et sa somme est celle annoncée.

Si $∣ x ∣ \geq 1$ , alors $∣ x^{n} ∣ \geq 1$ pour tout $n$ : le terme général ne tend pas vers $0$ , et la condition nécessaire interdit la convergence.

ImportantLes deux variantes à savoir refaire

En factorisant le premier terme, on obtient pour $∣ x ∣ < 1$ :

$n = 1 \sum + \infty x^{n} = \frac{x}{1 - x}, et plus g e ˊ n e ˊ ralement n = N \sum + \infty x^{n} = \frac{x ^{N}}{1 - x} .$

Il ne faut donc jamais apprendre $\frac{1}{1 - x}$ tout seul : on retient $\frac{premier terme e ˊ crit}{1 - raison}$ , et l'on regarde à quel rang la somme commence.

Exemple 3.10Trois sommes

$n = 0 \sum + \infty (\frac{1}{2})^{n} = \frac{1}{1 - 1/2} = 2, n = 1 \sum + \infty (\frac{1}{2})^{n} = \frac{1/2}{1/2} = 1, n = 2 \sum + \infty (\frac{1}{3})^{n} = \frac{1/9}{2/3} = \frac{1}{6} .$

La deuxième vaut exactement $1$ : c'est la moitié, plus le quart, plus le huitième, et ainsi de suite.

Python : Voir la somme partielle s'approcher de la somme


def somme_partielle(x, n):
    s = 0.0
    for k in range(n + 1):
        s = s + x ** k
    return s

for n in [5, 10, 20, 50]:
    print(n, round(somme_partielle(0.5, n), 8))
# 5 1.96875 / 10 1.99902344
# 20 1.99999905 / 50 2.0
print(1 / (1 - 0.5))    # 2.0

Pour $n = 50$ , l'affichage arrondi donne déjà $2$ : l'écart, qui vaut $(1/2)^{50}$ , est bien inférieur à la huitième décimale. Mais aucune somme partielle n'est égale à $2$ ; seule la limite l'est.

3.6 Pourquoi les séries, en probabilités

ImportantLe seul usage attendu

Une variable aléatoire peut prendre une infinité de valeurs : le rang du premier succès dans une répétition d'épreuves n'est borné par rien. Dire que c'est bien une loi de probabilité, c'est vérifier que la somme des probabilités vaut $1$ — et cette somme est une série.

C'est pour cela, et pour rien d'autre, que les séries figurent au programme.

Exemple 3.11La loi géométrique, annoncée

On répète une épreuve dont la probabilité de succès est $p \in] 0, 1 [$ et l'on note $X$ le rang du premier succès. Alors, pour $n \geq 1$ ,

$P (X = n) = p (1 - p)^{n - 1} .$

La somme de ces probabilités est une série géométrique de premier terme $p$ et de raison $1 - p$ , avec $∣1 - p ∣ < 1$ :

$n = 1 \sum + \infty p (1 - p)^{n - 1} = \frac{p}{1 - ( 1 - p )} = \frac{p}{p} = 1.$

Le total fait $1$ : c'est bien une loi de probabilité. Ce calcul sera repris au chapitre 5.

Python : Les probabilités s'accumulent vers 1


p = 0.4
s = 0.0
for n in range(1, 9):
    terme = p * (1 - p) ** (n - 1)
    s = s + terme
    print(n, round(terme, 6), round(s, 6))
# 1 0.4 0.4        / 2 0.24 0.64      / 3 0.144 0.784
# 4 0.0864 0.8704  / 5 0.05184 0.92224
# 6 0.031104 0.953344 / 7 0.018662 0.972006
# 8 0.011197 0.983204

La troisième colonne est la somme partielle. Elle monte vers $1$ sans l'atteindre, exactement comme l'escalier de la section 4 montait vers $2$ .

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