Compléments d'intégration

Cours complet · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 2 · prépa ECT, 2e année

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Le calcul d'une intégrale a été appris en première année : on cherche une primitive, on la prend entre deux bornes, c'est fini. Ce chapitre n'ajoute qu'une chose — mais elle change tout : des propriétés qui permettent de manipuler une intégrale sans la calculer. Comparer deux intégrales, encadrer celle qu'on ne sait pas calculer, casser un produit en deux morceaux : voilà le programme.

AttentionCe chapitre revient sur du connu

Le programme l'annonce ainsi : « Ce chapitre sera l'occasion de revenir sur les calculs d'intégrales introduits au S2. » Les primitives usuelles sont donc supposées acquises ; on ne les redémontre pas, on s'en sert.

Deux limites, à garder en tête tout au long. D'abord, toutes les fonctions rencontrées ici sont continues sur un segment $[a, b]$ : la notion de fonction continue par morceaux est hors-programme, elle n'apparaîtra qu'au quatrième semestre et seulement en pratique. Ensuite, les bornes sont des nombres : les intégrales généralisées en un point réel sont hors-programme, et les intégrales à borne infinie attendront le chapitre d'analyse du quatrième semestre.

2.1 Rappels sur l'intégrale

Définition 2.1Intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$ , et soit $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle. On pose

$\int_{a}^{b} f (t) d t = [F (t)]_{a}^{b} = F (b) - F (a) .$

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : deux primitives diffèrent d'une constante, qui s'élimine dans la soustraction.

ImportantLes primitives dont on aura besoin

$f (t)$ $F (t)$ sur

$t^{n}$ ( $n \neq = - 1$ ) $\frac{t ^{n + 1}}{n + 1}$ $R$ (ou $R^{*}$ )

$f (t)$	$F (t)$	sur
$t^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{t ^{n + 1}}{n + 1}$	$R$ (ou $R^{*}$ )
[6pt] $\frac{1}{t}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $ln t$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $] 0, + \infty [$ </td></tr><tr style=""><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[6pt] $e^{α t}$ ( $α \neq = 0$ )</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\frac{1}{α} e^{α t}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $R$ </td></tr><tr style="border-bottom:1.5px solid #2E2C26"><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[6pt] $ln t$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $t ln t - t$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $] 0, + \infty [$ </td></tr></table></div> La dernière ligne se retrouve par une intégration par parties — c'est d'ailleurs l'exemple type de la section 4. Proposition 2.2Interprétation géométrique Si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est l'aire, en unités d'aire, de la région comprise entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $t = a$ et $t = b$ . ◆Théorème 2.3Relation de Chasles Pour $f$ continue sur un intervalle contenant $a$ , $b$ et $c$ : $\int_{a}^{c} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{b}^{c} f (t) d t .$ Démonstration Avec une primitive $F$ : le membre de droite vaut $(F (b) - F (a)) + (F (c) - F (b)) = F (c) - F (a)$ , qui est le membre de gauche. Le terme $F (b)$ apparaît deux fois avec des signes opposés. AttentionUne intégrale n'est pas toujours une aire Dès que $f$ prend des valeurs négatives, $\int_{a}^{b} f$ n'est plus une aire mais une aire algébrique : ce qui est sous l'axe compte négativement. Et si $b < a$ , l'intégrale change de signe. L'égalité « intégrale $=$ aire » suppose donc deux choses : $f \geq 0$ et $a \leq b$ . On les vérifie avant de l'invoquer. 2.2 Linéarité de l'intégrale La première propriété est aussi la plus employée : elle dit qu'une intégrale se distribue sur une somme et laisse sortir les constantes. C'est ce qui permet d'intégrer une expression compliquée en la coupant en morceaux dont chacun est au tableau des primitives. ◆Théorème 2.4Linéarité Soient $f$ et $g$ continues sur un intervalle contenant $a$ et $b$ , et soient $α$ et $β$ deux réels. Alors $\int_{a}^{b} (α f (t) + β g (t)) d t = α \int_{a}^{b} f (t) d t + β \int_{a}^{b} g (t) d t .$ Démonstration Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ , alors $α F + β G$ est une primitive de $α f + β g$ . En l'évaluant entre $a$ et $b$ on obtient $α (F (b) - F (a)) + β (G (b) - G (a))$ , qui est le membre de droite. Exemple 2.5Un polynôme, terme à terme $\int_{0}^{2} (3 t^{2} - 2 t + 1) d t = 3 \int_{0}^{2} t^{2} d t - 2 \int_{0}^{2} t d t + \int_{0}^{2} 1 d t = 3 \times \frac{8}{3} - 2 \times 2 + 2 = 6.$ Le calcul direct donne le même résultat : $[t^{3} - t^{2} + t]_{0}^{2} = 8 - 4 + 2 = 6$ . La linéarité n'est pas une astuce de calcul, c'est ce qui autorise à traiter un polynôme morceau par morceau. AttentionCe que la linéarité ne dit pas Elle porte sur les sommes et les multiples, jamais sur les produits ni sur les quotients : $\int_{a}^{b} f (t) g (t) d t \neq = (\int_{a}^{b} f (t) d t) (\int_{a}^{b} g (t) d t) .$ Contre-exemple immédiat sur $[0, 1]$ avec $f = g = t$ : à gauche $\int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3}$ , à droite $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . C'est justement parce que le produit résiste que l'intégration par parties existe. Python : La linéarité, mesurée `def aire(f, a, b, n=200000): h = (b - a) / n return sum(f(a + (k + 0.5) * h) for k in range(n)) * h I1 = aire(lambda t: t, 0, 1) I2 = aire(lambda t: t * t, 0, 1) I3 = aire(lambda t: 3 * t - 2 * t * t, 0, 1) print(round(I1, 6), round(I2, 6), round(I3, 6)) # 0.5 0.333333 0.833333 print(round(3 * I1 - 2 * I2, 6)) # 0.833333` La fonction `aire` découpe $[a, b]$ en $n$ tranches et somme les rectangles de hauteur prise au milieu. Les deux dernières sorties coïncident : c'est la linéarité, vérifiée sur un cas. 2.3 Positivité et comparaison Voici le cœur du chapitre. Les deux résultats qui suivent permettent de dire quelque chose d'une intégrale qu'on ne sait pas calculer : il suffit d'encadrer la fonction, et l'encadrement se transmet aux intégrales. C'est l'outil qui servira, au quatrième semestre, à traiter les lois à densité. ◆Théorème 2.6Positivité de l'intégrale Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ . Si $f (t) \geq 0$ pour tout $t \in [a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t \geq 0$ . Démonstration Une primitive $F$ de $f$ a pour dérivée $f \geq 0$ : elle est donc croissante sur $[a, b]$ . Comme $a \leq b$ , on a $F (a) \leq F (b)$ , c'est-à-dire $F (b) - F (a) \geq 0$ . ◆Théorème 2.7Comparaison de deux intégrales Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ . Si $f (t) \leq g (t)$ pour tout $t \in [a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t \leq \int_{a}^{b} g (t) d t .$ Démonstration La fonction $g - f$ est continue et positive sur $[a, b]$ . Le théorème précédent donne $\int_{a}^{b} (g - f) \geq 0$ , et la linéarité transforme cela en $\int_{a}^{b} g - \int_{a}^{b} f \geq 0$ . ↳Corollaire 2.8Encadrement par le minimum et le maximum Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ . Si $m \leq f (t) \leq M$ pour tout $t \in [a, b]$ , alors $m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (t) d t \leq M (b - a) .$ Démonstration On compare $f$ aux deux fonctions constantes $t \mapsto m$ et $t \mapsto M$ , dont les intégrales sur $[a, b]$ valent respectivement $m (b - a)$ et $M (b - a)$ . Exemple 2.9Encadrer sans calculer On ne sait pas donner de primitive explicite de $t \mapsto e^{- t^{2}}$ . Pourtant, sur $[0, 1]$ on a $0 \leq t^{2} \leq 1$ , donc $e^{- 1} \leq e^{- t^{2}} \leq 1$ , et le corollaire donne $\frac{1}{e} \leq \int_{0}^{1} e^{- t^{2}} d t \leq 1, soit 0, 367 \leq \int_{0}^{1} e^{- t^{2}} d t \leq 1.$ La valeur exacte est $0, 7468$ : l'encadrement est large, mais il a été obtenu sans le moindre calcul d'intégrale. 2.4 Intégration par parties Aucune formule ne donne la primitive d'un produit. L'intégration par parties ne la donne pas non plus : elle échange l'intégrale d'un produit contre celle d'un autre produit, en espérant que le second soit plus simple. C'est la seule technique de calcul nouvelle du chapitre, et elle vient tout entière de la dérivée d'un produit. ◆Théorème 2.10Intégration par parties Si $u$ , $v$ , $u^{'}$ et $v^{'}$ sont des fonctions continues sur $[a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} u^{'} (t) v (t) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (t) v^{'} (t) d t .$ Démonstration La fonction $uv$ a pour dérivée $u^{'} v + u v^{'}$ , qui est continue. Donc $uv$ est une primitive de $u^{'} v + u v^{'}$ et $\int_{a}^{b} (u^{'} (t) v (t) + u (t) v^{'} (t)) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{b} .$ La linéarité permet de séparer les deux morceaux, et l'on fait passer le second de l'autre côté. ImportantComment choisir Dans un produit à intégrer, on cherche le facteur qui se simplifie en dérivant : ce sera $v$ . L'autre doit se primitiver sans peine : ce sera $u^{'}$ . $t^{n} \times e^{α t}$ : on dérive $t^{n}$ (son degré baisse), on primitive l'exponentielle. $t^{n} \times ln t$ : on dérive $ln t$ (il devient $1/ t$ ), on primitive $t^{n}$ . Un mauvais choix ne donne pas un résultat faux : il donne une intégrale plus difficile que celle de départ. C'est le signal qu'il faut échanger les rôles. Exemple 2.11Le cas d'école Calculons $\int_{0}^{1} t e^{- t} d t$ . On pose $u^{'} (t) = e^{- t}$ et $v (t) = t$ , donc $u (t) = - e^{- t}$ et $v^{'} (t) = 1$ : $\int_{0}^{1} t e^{- t} d t = [- t e^{- t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- t} d t = - \frac{1}{e} + [- e^{- t}]_{0}^{1} = - \frac{1}{e} + 1 - \frac{1}{e} = 1 - \frac{2}{e} .$ Numériquement, $1 - 2/ e \approx 0, 2642$ . Exemple 2.12Le logarithme, primitivé par parties Pour $\int_{1}^{e} ln t d t$ , on écrit $ln t = 1 \times ln t$ et l'on pose $u^{'} (t) = 1$ , $v (t) = ln t$ : $\int_{1}^{e} ln t d t = [t ln t]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} t \times \frac{1}{t} d t = e - [t]_{1}^{e} = e - (e - 1) = 1.$ C'est la ligne manquante du tableau des primitives : $t ln t - t$ est une primitive de $ln t$ . 2.5 Une application de gestion Un euro d'aujourd'hui ne vaut pas un euro dans cinq ans. Quand un revenu s'étale dans le temps, l'addition ne suffit plus : il faut ramener chaque euro à sa valeur d'aujourd'hui avant de sommer, et cette somme continue est une intégrale. ImportantLa valeur actuelle d'un flux continu Un revenu de $F$ euros par an, versé de façon continue pendant $T$ années, ne vaut pas $F \times T$ aujourd'hui : un euro reçu dans $t$ années vaut $e^{- r t}$ euro aujourd'hui, où $r$ est le taux d'actualisation. La valeur actuelle du flux est donc $V = \int_{0}^{T} F e^{- r t} d t = F \times \frac{1 - e ^{- r T}}{r} .$ Démonstration Une primitive de $t \mapsto F e^{- r t}$ est $t \mapsto - \frac{F}{r} e^{- r t}$ . En l'évaluant entre $0$ et $T$ : $- \frac{F}{r} e^{- r T} + \frac{F}{r} = \frac{F}{r} (1 - e^{- r T})$ . Exemple 2.13Un contrat sur dix ans Un contrat rapporte $50000$ euros par an pendant $10$ ans, au taux $r = 0, 04$ . Sa valeur actuelle est $V = 50000 \times \frac{1 - e ^{- 0, 4}}{0 , 04} = 50000 \times 8, 2420 \approx 412100 euros,$ et non $500000$ euros. L'écart, près de $88000$ euros, est le prix du temps. Python : Une intégrale, deux façons `from math import exp def aire(f, a, b, n=200000): h = (b - a) / n return sum(f(a + (k + 0.5) * h) for k in range(n)) * h r, F, T = 0.04, 50000, 10 approche = aire(lambda t: F * exp(-r * t), 0, T) exacte = F * (1 - exp(-r * T)) / r print(round(approche, 2), round(exacte, 2)) # 412099.94 412099.94` La méthode des rectangles ignore tout des primitives : elle ne fait qu'additionner des tranches. Qu'elle retrouve la formule à deux décimales près est un contrôle, pas une démonstration. Python : Ce que vaut un découpage grossier `from math import exp def f(t): return t * exp(-t) def aire(f, a, b, n): h = (b - a) / n s = 0.0 for k in range(n): s = s + f(a + (k + 0.5) * h) * h return s for n in [10, 100, 1000]: print(n, round(aire(f, 0, 1, n), 6)) # 10 0.264658 / 100 0.264245 / 1000 0.264241 print(round(1 - 2 / exp(1), 6)) # 0.264241` Dix tranches suffisent déjà à trois décimales. Mille tranches redonnent $1 - 2/ e$ à la sixième décimale — mais aucune valeur de $n$ ne donnera l'exact, que seule l'intégration par parties fournit. Continuer sur Adloun : animation, QCM, fiches, exercices ← Matrices carrées et inversibilité Sommes et séries numériques → Adloun — cours, exercices corrigés et annales du bac, du lycée aux classes préparatoires. Découvrir la plateforme · Tous les chapitres de mathématiques (ECT 2e année) · Tous les cours · Exercices corrigés · Annales du bac Mentions légales · CGV · Confidentialité

[6pt]

$\frac{1}{t}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $ln t$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $] 0, + \infty [$ </td></tr><tr style=""><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[6pt] $e^{α t}$ ( $α \neq = 0$ )</td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $\frac{1}{α} e^{α t}$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $R$ </td></tr><tr style="border-bottom:1.5px solid #2E2C26"><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top">[6pt] $ln t$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $t ln t - t$ </td><td style="text-align:left;padding:8px 12px;color:#34332D;vertical-align:top"> $] 0, + \infty [$ </td></tr></table></div>

La dernière ligne se retrouve par une intégration par parties — c'est d'ailleurs l'exemple type de la section 4.

Proposition 2.2Interprétation géométrique

Si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est l'aire, en unités d'aire, de la région comprise entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $t = a$ et $t = b$ .

◆Théorème 2.3Relation de Chasles

Pour $f$ continue sur un intervalle contenant $a$ , $b$ et $c$ :

$\int_{a}^{c} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{b}^{c} f (t) d t .$

Démonstration

Avec une primitive $F$ : le membre de droite vaut $(F (b) - F (a)) + (F (c) - F (b)) = F (c) - F (a)$ , qui est le membre de gauche. Le terme $F (b)$ apparaît deux fois avec des signes opposés.

AttentionUne intégrale n'est pas toujours une aire

Dès que $f$ prend des valeurs négatives, $\int_{a}^{b} f$ n'est plus une aire mais une aire algébrique : ce qui est sous l'axe compte négativement. Et si $b < a$ , l'intégrale change de signe.

L'égalité « intégrale $=$ aire » suppose donc deux choses : $f \geq 0$ et $a \leq b$ . On les vérifie avant de l'invoquer.

2.2 Linéarité de l'intégrale

La première propriété est aussi la plus employée : elle dit qu'une intégrale se distribue sur une somme et laisse sortir les constantes. C'est ce qui permet d'intégrer une expression compliquée en la coupant en morceaux dont chacun est au tableau des primitives.

◆Théorème 2.4Linéarité

Soient $f$ et $g$ continues sur un intervalle contenant $a$ et $b$ , et soient $α$ et $β$ deux réels. Alors

$\int_{a}^{b} (α f (t) + β g (t)) d t = α \int_{a}^{b} f (t) d t + β \int_{a}^{b} g (t) d t .$

Démonstration

Si $F$ est une primitive de $f$ et $G$ une primitive de $g$ , alors $α F + β G$ est une primitive de $α f + β g$ . En l'évaluant entre $a$ et $b$ on obtient $α (F (b) - F (a)) + β (G (b) - G (a))$ , qui est le membre de droite.

Exemple 2.5Un polynôme, terme à terme

$\int_{0}^{2} (3 t^{2} - 2 t + 1) d t = 3 \int_{0}^{2} t^{2} d t - 2 \int_{0}^{2} t d t + \int_{0}^{2} 1 d t = 3 \times \frac{8}{3} - 2 \times 2 + 2 = 6.$

Le calcul direct donne le même résultat : $[t^{3} - t^{2} + t]_{0}^{2} = 8 - 4 + 2 = 6$ . La linéarité n'est pas une astuce de calcul, c'est ce qui autorise à traiter un polynôme morceau par morceau.

AttentionCe que la linéarité ne dit pas

Elle porte sur les sommes et les multiples, jamais sur les produits ni sur les quotients :

$\int_{a}^{b} f (t) g (t) d t \neq = (\int_{a}^{b} f (t) d t) (\int_{a}^{b} g (t) d t) .$

Contre-exemple immédiat sur $[0, 1]$ avec $f = g = t$ : à gauche $\int_{0}^{1} t^{2} d t = \frac{1}{3}$ , à droite $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ . C'est justement parce que le produit résiste que l'intégration par parties existe.

Python : La linéarité, mesurée


def aire(f, a, b, n=200000):
    h = (b - a) / n
    return sum(f(a + (k + 0.5) * h) for k in range(n)) * h

I1 = aire(lambda t: t, 0, 1)
I2 = aire(lambda t: t * t, 0, 1)
I3 = aire(lambda t: 3 * t - 2 * t * t, 0, 1)

print(round(I1, 6), round(I2, 6), round(I3, 6))
# 0.5 0.333333 0.833333
print(round(3 * I1 - 2 * I2, 6))
# 0.833333

La fonction aire découpe $[a, b]$ en $n$ tranches et somme les rectangles de hauteur prise au milieu. Les deux dernières sorties coïncident : c'est la linéarité, vérifiée sur un cas.

2.3 Positivité et comparaison

Voici le cœur du chapitre. Les deux résultats qui suivent permettent de dire quelque chose d'une intégrale qu'on ne sait pas calculer : il suffit d'encadrer la fonction, et l'encadrement se transmet aux intégrales. C'est l'outil qui servira, au quatrième semestre, à traiter les lois à densité.

◆Théorème 2.6Positivité de l'intégrale

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ . Si $f (t) \geq 0$ pour tout $t \in [a, b]$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t \geq 0$ .

Démonstration

Une primitive $F$ de $f$ a pour dérivée $f \geq 0$ : elle est donc croissante sur $[a, b]$ . Comme $a \leq b$ , on a $F (a) \leq F (b)$ , c'est-à-dire $F (b) - F (a) \geq 0$ .

◆Théorème 2.7Comparaison de deux intégrales

Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ . Si $f (t) \leq g (t)$ pour tout $t \in [a, b]$ , alors

$\int_{a}^{b} f (t) d t \leq \int_{a}^{b} g (t) d t .$

Démonstration

La fonction $g - f$ est continue et positive sur $[a, b]$ . Le théorème précédent donne $\int_{a}^{b} (g - f) \geq 0$ , et la linéarité transforme cela en $\int_{a}^{b} g - \int_{a}^{b} f \geq 0$ .

↳Corollaire 2.8Encadrement par le minimum et le maximum

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ . Si $m \leq f (t) \leq M$ pour tout $t \in [a, b]$ , alors

$m (b - a) \leq \int_{a}^{b} f (t) d t \leq M (b - a) .$

Démonstration

On compare $f$ aux deux fonctions constantes $t \mapsto m$ et $t \mapsto M$ , dont les intégrales sur $[a, b]$ valent respectivement $m (b - a)$ et $M (b - a)$ .

Exemple 2.9Encadrer sans calculer

On ne sait pas donner de primitive explicite de $t \mapsto e^{- t^{2}}$ . Pourtant, sur $[0, 1]$ on a $0 \leq t^{2} \leq 1$ , donc $e^{- 1} \leq e^{- t^{2}} \leq 1$ , et le corollaire donne

$\frac{1}{e} \leq \int_{0}^{1} e^{- t^{2}} d t \leq 1, soit 0, 367 \leq \int_{0}^{1} e^{- t^{2}} d t \leq 1.$

La valeur exacte est $0, 7468$ : l'encadrement est large, mais il a été obtenu sans le moindre calcul d'intégrale.

2.4 Intégration par parties

Aucune formule ne donne la primitive d'un produit. L'intégration par parties ne la donne pas non plus : elle échange l'intégrale d'un produit contre celle d'un autre produit, en espérant que le second soit plus simple. C'est la seule technique de calcul nouvelle du chapitre, et elle vient tout entière de la dérivée d'un produit.

◆Théorème 2.10Intégration par parties

Si $u$ , $v$ , $u^{'}$ et $v^{'}$ sont des fonctions continues sur $[a, b]$ , alors

$\int_{a}^{b} u^{'} (t) v (t) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u (t) v^{'} (t) d t .$

Démonstration

La fonction $uv$ a pour dérivée $u^{'} v + u v^{'}$ , qui est continue. Donc $uv$ est une primitive de $u^{'} v + u v^{'}$ et

$\int_{a}^{b} (u^{'} (t) v (t) + u (t) v^{'} (t)) d t = [u (t) v (t)]_{a}^{b} .$

La linéarité permet de séparer les deux morceaux, et l'on fait passer le second de l'autre côté.

ImportantComment choisir

Dans un produit à intégrer, on cherche le facteur qui se simplifie en dérivant : ce sera $v$ . L'autre doit se primitiver sans peine : ce sera $u^{'}$ .

$t^{n} \times e^{α t}$ : on dérive $t^{n}$ (son degré baisse), on primitive l'exponentielle.
$t^{n} \times ln t$ : on dérive $ln t$ (il devient $1/ t$ ), on primitive $t^{n}$ .

Un mauvais choix ne donne pas un résultat faux : il donne une intégrale plus difficile que celle de départ. C'est le signal qu'il faut échanger les rôles.

Exemple 2.11Le cas d'école

Calculons $\int_{0}^{1} t e^{- t} d t$ . On pose $u^{'} (t) = e^{- t}$ et $v (t) = t$ , donc $u (t) = - e^{- t}$ et $v^{'} (t) = 1$ :

$\int_{0}^{1} t e^{- t} d t = [- t e^{- t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{- t} d t = - \frac{1}{e} + [- e^{- t}]_{0}^{1} = - \frac{1}{e} + 1 - \frac{1}{e} = 1 - \frac{2}{e} .$

Numériquement, $1 - 2/ e \approx 0, 2642$ .

Exemple 2.12Le logarithme, primitivé par parties

Pour $\int_{1}^{e} ln t d t$ , on écrit $ln t = 1 \times ln t$ et l'on pose $u^{'} (t) = 1$ , $v (t) = ln t$ :

$\int_{1}^{e} ln t d t = [t ln t]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} t \times \frac{1}{t} d t = e - [t]_{1}^{e} = e - (e - 1) = 1.$

C'est la ligne manquante du tableau des primitives : $t ln t - t$ est une primitive de $ln t$ .

2.5 Une application de gestion

Un euro d'aujourd'hui ne vaut pas un euro dans cinq ans. Quand un revenu s'étale dans le temps, l'addition ne suffit plus : il faut ramener chaque euro à sa valeur d'aujourd'hui avant de sommer, et cette somme continue est une intégrale.

ImportantLa valeur actuelle d'un flux continu

Un revenu de $F$ euros par an, versé de façon continue pendant $T$ années, ne vaut pas $F \times T$ aujourd'hui : un euro reçu dans $t$ années vaut $e^{- r t}$ euro aujourd'hui, où $r$ est le taux d'actualisation. La valeur actuelle du flux est donc

$V = \int_{0}^{T} F e^{- r t} d t = F \times \frac{1 - e ^{- r T}}{r} .$

Démonstration

Une primitive de $t \mapsto F e^{- r t}$ est $t \mapsto - \frac{F}{r} e^{- r t}$ . En l'évaluant entre $0$ et $T$ : $- \frac{F}{r} e^{- r T} + \frac{F}{r} = \frac{F}{r} (1 - e^{- r T})$ .

Exemple 2.13Un contrat sur dix ans

Un contrat rapporte $50000$ euros par an pendant $10$ ans, au taux $r = 0, 04$ . Sa valeur actuelle est

$V = 50000 \times \frac{1 - e ^{- 0, 4}}{0 , 04} = 50000 \times 8, 2420 \approx 412100 euros,$

et non $500000$ euros. L'écart, près de $88000$ euros, est le prix du temps.

Python : Une intégrale, deux façons


from math import exp

def aire(f, a, b, n=200000):
    h = (b - a) / n
    return sum(f(a + (k + 0.5) * h) for k in range(n)) * h

r, F, T = 0.04, 50000, 10
approche = aire(lambda t: F * exp(-r * t), 0, T)
exacte = F * (1 - exp(-r * T)) / r
print(round(approche, 2), round(exacte, 2))
# 412099.94 412099.94

La méthode des rectangles ignore tout des primitives : elle ne fait qu'additionner des tranches. Qu'elle retrouve la formule à deux décimales près est un contrôle, pas une démonstration.

Python : Ce que vaut un découpage grossier


from math import exp

def f(t):
    return t * exp(-t)

def aire(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = 0.0
    for k in range(n):
        s = s + f(a + (k + 0.5) * h) * h
    return s

for n in [10, 100, 1000]:
    print(n, round(aire(f, 0, 1, n), 6))
# 10 0.264658 / 100 0.264245 / 1000 0.264241
print(round(1 - 2 / exp(1), 6))   # 0.264241

Dix tranches suffisent déjà à trois décimales. Mille tranches redonnent $1 - 2/ e$ à la sixième décimale — mais aucune valeur de $n$ ne donnera l'exact, que seule l'intégration par parties fournit.

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