Compléments d'intégration

Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 2 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'aire sous la courbe de 1/x² à partir de 1 reste finie alors que l'intervalle est infini.

Le calcul d'une intégrale a été appris en première année : on cherche une primitive, on la prend entre deux bornes, c'est fini. Ce chapitre n'ajoute qu'une chose — mais elle change tout : des propriétés qui permettent de manipuler une intégrale sans la calculer. Comparer deux intégrales, encadrer celle qu'on ne sait pas calculer, casser un produit en deux morceaux : voilà le programme.

AttentionCe chapitre revient sur du connu

Le programme l'annonce ainsi : « Ce chapitre sera l'occasion de revenir sur les calculs d'intégrales introduits au S2. » Les primitives usuelles sont donc supposées acquises ; on ne les redémontre pas, on s'en sert.

Deux limites, à garder en tête tout au long. D'abord, toutes les fonctions rencontrées ici sont continues sur un segment $[a, b]$ : la notion de fonction continue par morceaux est hors-programme, elle n'apparaîtra qu'au quatrième semestre et seulement en pratique. Ensuite, les bornes sont des nombres : les intégrales généralisées en un point réel sont hors-programme, et les intégrales à borne infinie attendront le chapitre d'analyse du quatrième semestre.

2.1 Rappels sur l'intégrale

Définition 2.1Intégrale d'une fonction continue

Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle contenant $a$ et $b$ , et soit $F$ une primitive de $f$ sur cet intervalle. On pose

$\int_{a}^{b} f (t) d t = [F (t)]_{a}^{b} = F (b) - F (a) .$

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie : deux primitives diffèrent d'une constante, qui s'élimine dans la soustraction.

ImportantLes primitives dont on aura besoin

$f (t)$	$F (t)$	sur
$t^{n}$ ( $n \neq = - 1$ )	$\frac{t ^{n + 1}}{n + 1}$	$R$ (ou $R^{*}$ )
[6pt] $\frac{1}{t}$	$ln t$	$] 0, + \infty [$
[6pt] $e^{α t}$ ( $α \neq = 0$ )	$\frac{1}{α} e^{α t}$	$R$
[6pt] $ln t$	$t ln t - t$	$] 0, + \infty [$

La dernière ligne se retrouve par une intégration par parties — c'est d'ailleurs l'exemple type de la section 4.

Proposition 2.2Interprétation géométrique

Si $f$ est continue et positive sur $[a, b]$ avec $a \leq b$ , alors $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est l'aire, en unités d'aire, de la région comprise entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $t = a$ et $t = b$ .

◆Théorème 2.3Relation de Chasles

Pour $f$ continue sur un intervalle contenant $a$ , $b$ et $c$ :

$\int_{a}^{c} f (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t + \int_{b}^{c} f (t) d t .$

Démonstration

Avec une primitive $F$ : le membre de droite vaut $(F (b) - F (a)) + (F (c) - F (b)) = F (c) - F (a)$ , qui est le membre de gauche. Le terme $F (b)$ apparaît deux fois avec des signes opposés.

AttentionUne intégrale n'est pas toujours une aire

Dès que $f$ prend des valeurs négatives, $\int_{a}^{b} f$ n'est plus une aire mais une aire algébrique : ce qui est sous l'axe compte négativement. Et si $b < a$ , l'intégrale change de signe.

L'égalité « intégrale $=$ aire » suppose donc deux choses : $f \geq 0$ et $a \leq b$ . On les vérifie avant de l'invoquer.

Exercices du chapitre

Linéarité, terme à terme corrigé
Chasles sur une valeur absolue corrigé
Un découpage imposé par le signe corrigé
Encadrer sans primitive corrigé
Comparer sans calculer, puis vérifier corrigé
Un encadrement du logarithme corrigé

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