Matrices carrées et inversibilité

Cours · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 · prépa ECT, 2e année · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le produit d'une matrice par un vecteur : une ligne multipliée par la colonne donne un coefficient du résultat.

Une matrice n'est rien d'autre qu'un tableau de nombres. Ce qui la rend utile, c'est qu'on peut la manipuler comme un seul objet : l'ajouter, la multiplier, parfois l'inverser — et qu'un système de trois équations à trois inconnues se réécrit alors en une seule ligne, $A X = Y$ . Tout ce chapitre se lit sur des tableaux de taille $2$ ou $3$ : un carnet de commandes, un parc de véhicules entre trois agences, un système de coûts y tiennent tous.

AttentionCe que le programme demande, et ce qu'il écarte

Deux phrases encadrent le chapitre. La première : « Le programme exclut toute notion de structure. On ne traite que le cas des matrices réelles. » Ni groupe, ni anneau, ni espace vectoriel : on calcule sur des tableaux de nombres réels, et c'est tout. La seconde : « On se limitera à des matrices carrées d'ordre inférieur ou égal à $3$ . »

1.1 Matrices carrées

Définition 1.1Matrice carrée d'ordre n

Une matrice carrée d'ordre $n$ est un tableau de $n$ lignes et $n$ colonnes de nombres réels, noté $A = (a_{ij})$ , où $a_{ij}$ est le coefficient situé à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ . L'ensemble de ces matrices se note $M_{n} (R)$ .

Deux matrices de $M_{n} (R)$ sont égales lorsque tous leurs coefficients le sont, un par un.

Définition 1.2Trois familles de matrices carrées

Soit $A = (a_{ij})$ dans $M_{n} (R)$ .

$A$ est triangulaire supérieure si $a_{ij} = 0$ dès que $i > j$ : tout ce qui est sous la diagonale est nul.
$A$ est triangulaire inférieure si $a_{ij} = 0$ dès que $i < j$ : tout ce qui est au-dessus de la diagonale est nul.
$A$ est diagonale si $a_{ij} = 0$ dès que $i \neq = j$ : elle est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure.

La matrice identité $I_{n}$ est la matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent $1$ .

Exemple 1.3Reconnaître un moule

$A = 300 - 1 50 24 - 2, B = 172 00 - 3 004, D = 400000 00 - 1 .$

$A$ est triangulaire supérieure, $B$ triangulaire inférieure, $D$ diagonale. Attention : rien n'oblige une matrice diagonale à avoir des coefficients diagonaux non nuls — $D$ en a un qui vaut $0$ , et cela coûtera cher au moment d'inverser.

Définition 1.4Somme et multiple

Pour $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ dans $M_{n} (R)$ et $λ$ réel, on pose $A + B = (a_{ij} + b_{ij})$ et $λ A = (λ a_{ij})$ : on ajoute et l'on multiplie case par case. La matrice dont tous les coefficients sont nuls se note $0$ ; elle vérifie $A + 0 = A$ .

Exemple 1.5Deux mois de commandes

Les commandes d'une entreprise auprès de trois fournisseurs, en janvier puis en février, sont $J = 12475938610$ et $F = 10366845911$ . Le total du bimestre est $J + F = 2271311177131521$ : neuf additions, écrites en trois signes.

1.2 Le produit de deux matrices

Définition 1.6Produit matriciel

Soient $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ dans $M_{n} (R)$ . Le produit $A B$ est la matrice dont le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ vaut

$c_{ij} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{in} b_{nj} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j} .$

On dit qu'on fait le produit de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ .

ImportantLe produit de matrices n'est pas le produit des nombres

Trois habitudes prises au collège tombent d'un coup.

Le produit n'est pas commutatif : en général $A B \neq = B A$ . Les deux produits existent, ils sont de même taille, et ils diffèrent.
Un produit nul n'oblige aucun facteur à l'être : on peut avoir $A B = 0$ avec $A \neq = 0$ et $B \neq = 0$ , comme le montre $(1111) (1 - 1 1 - 1) = 0$ .
On ne simplifie pas : $A B = A C$ n'entraîne pas $B = C$ .

En revanche le produit reste associatif, et $I_{n} A = A I_{n} = A$ .

Python : Vérifier un produit, et sa non-commutativité


import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[0, 1], [1, 0]])

print((A @ B).tolist())    # [[2, 1], [4, 3]]
print((B @ A).tolist())    # [[3, 4], [1, 2]]

Multiplier par $B$ à droite échange les colonnes de $A$ , à gauche ses lignes : deux opérations différentes, deux résultats différents. En Python, @ est le produit matriciel ; * ferait un produit case par case, qui n'est pas celui du cours — l'erreur la plus fréquente des premiers programmes.

1.2.1 Un parc de véhicules entre trois agences

Exemple 1.7Ce qu'une matrice de flux encode

Un loueur possède trois agences $A$ , $B$ et $C$ . Chaque mois, une partie des véhicules loués dans une agence est rendue dans une autre. La matrice

$P = 0, 80 0, 15 0, 05 0, 10 0, 80 0, 10 0, 05 0, 15 0, 80$

se lit par colonnes : la colonne $1$ décrit ce que devient le parc de $A$ — $80 %$ y restent, $15 %$ partent en $B$ , $5 %$ en $C$ . Chaque colonne somme à $1$ : aucun véhicule ne disparaît. Si $X_{n}$ est la colonne des effectifs au mois $n$ , alors $X_{n + 1} = P X_{n}$ .

Exercices du chapitre

Opérations et non-commutativité corrigé
Lire un moule, lire une diagonale corrigé
Les matrices qui commutent avec une matrice donnée corrigé
Deux façons de monter en puissance corrigé
Parts de marché corrigé
Les puissances par le binôme, à l'ordre 3 corrigé

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