Matrices carrées et inversibilité

Cours complet · mathématiques (ECT 2e année), chapitre 1 · prépa ECT, 2e année

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Une matrice n'est rien d'autre qu'un tableau de nombres. Ce qui la rend utile, c'est qu'on peut la manipuler comme un seul objet : l'ajouter, la multiplier, parfois l'inverser — et qu'un système de trois équations à trois inconnues se réécrit alors en une seule ligne, $A X = Y$ . Tout ce chapitre se lit sur des tableaux de taille $2$ ou $3$ : un carnet de commandes, un parc de véhicules entre trois agences, un système de coûts y tiennent tous.

AttentionCe que le programme demande, et ce qu'il écarte

Deux phrases encadrent le chapitre. La première : « Le programme exclut toute notion de structure. On ne traite que le cas des matrices réelles. » Ni groupe, ni anneau, ni espace vectoriel : on calcule sur des tableaux de nombres réels, et c'est tout. La seconde : « On se limitera à des matrices carrées d'ordre inférieur ou égal à $3$ . »

1.1 Matrices carrées

Définition 1.1Matrice carrée d'ordre n

Une matrice carrée d'ordre $n$ est un tableau de $n$ lignes et $n$ colonnes de nombres réels, noté $A = (a_{ij})$ , où $a_{ij}$ est le coefficient situé à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ . L'ensemble de ces matrices se note $M_{n} (R)$ .

Deux matrices de $M_{n} (R)$ sont égales lorsque tous leurs coefficients le sont, un par un.

Définition 1.2Trois familles de matrices carrées

Soit $A = (a_{ij})$ dans $M_{n} (R)$ .

$A$ est triangulaire supérieure si $a_{ij} = 0$ dès que $i > j$ : tout ce qui est sous la diagonale est nul.
$A$ est triangulaire inférieure si $a_{ij} = 0$ dès que $i < j$ : tout ce qui est au-dessus de la diagonale est nul.
$A$ est diagonale si $a_{ij} = 0$ dès que $i \neq = j$ : elle est à la fois triangulaire supérieure et triangulaire inférieure.

La matrice identité $I_{n}$ est la matrice diagonale dont tous les coefficients diagonaux valent $1$ .

Exemple 1.3Reconnaître un moule

$A = 300 - 1 50 24 - 2, B = 172 00 - 3 004, D = 400000 00 - 1 .$

$A$ est triangulaire supérieure, $B$ triangulaire inférieure, $D$ diagonale. Attention : rien n'oblige une matrice diagonale à avoir des coefficients diagonaux non nuls — $D$ en a un qui vaut $0$ , et cela coûtera cher au moment d'inverser.

Définition 1.4Somme et multiple

Pour $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ dans $M_{n} (R)$ et $λ$ réel, on pose $A + B = (a_{ij} + b_{ij})$ et $λ A = (λ a_{ij})$ : on ajoute et l'on multiplie case par case. La matrice dont tous les coefficients sont nuls se note $0$ ; elle vérifie $A + 0 = A$ .

Exemple 1.5Deux mois de commandes

Les commandes d'une entreprise auprès de trois fournisseurs, en janvier puis en février, sont $J = 12475938610$ et $F = 10366845911$ . Le total du bimestre est $J + F = 2271311177131521$ : neuf additions, écrites en trois signes.

1.2 Le produit de deux matrices

Définition 1.6Produit matriciel

Soient $A = (a_{ij})$ et $B = (b_{ij})$ dans $M_{n} (R)$ . Le produit $A B$ est la matrice dont le coefficient de la ligne $i$ et de la colonne $j$ vaut

$c_{ij} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{in} b_{nj} = k = 1 \sum n a_{ik} b_{k j} .$

On dit qu'on fait le produit de la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ .

ImportantLe produit de matrices n'est pas le produit des nombres

Trois habitudes prises au collège tombent d'un coup.

Le produit n'est pas commutatif : en général $A B \neq = B A$ . Les deux produits existent, ils sont de même taille, et ils diffèrent.
Un produit nul n'oblige aucun facteur à l'être : on peut avoir $A B = 0$ avec $A \neq = 0$ et $B \neq = 0$ , comme le montre $(1111) (1 - 1 1 - 1) = 0$ .
On ne simplifie pas : $A B = A C$ n'entraîne pas $B = C$ .

En revanche le produit reste associatif, et $I_{n} A = A I_{n} = A$ .

Python : Vérifier un produit, et sa non-commutativité


import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
B = np.array([[0, 1], [1, 0]])

print((A @ B).tolist())    # [[2, 1], [4, 3]]
print((B @ A).tolist())    # [[3, 4], [1, 2]]

Multiplier par $B$ à droite échange les colonnes de $A$ , à gauche ses lignes : deux opérations différentes, deux résultats différents. En Python, @ est le produit matriciel ; * ferait un produit case par case, qui n'est pas celui du cours — l'erreur la plus fréquente des premiers programmes.

1.2.1 Un parc de véhicules entre trois agences

Exemple 1.7Ce qu'une matrice de flux encode

Un loueur possède trois agences $A$ , $B$ et $C$ . Chaque mois, une partie des véhicules loués dans une agence est rendue dans une autre. La matrice

$P = 0, 80 0, 15 0, 05 0, 10 0, 80 0, 10 0, 05 0, 15 0, 80$

se lit par colonnes : la colonne $1$ décrit ce que devient le parc de $A$ — $80 %$ y restent, $15 %$ partent en $B$ , $5 %$ en $C$ . Chaque colonne somme à $1$ : aucun véhicule ne disparaît. Si $X_{n}$ est la colonne des effectifs au mois $n$ , alors $X_{n + 1} = P X_{n}$ .

Exemple 1.8Deux mois d'évolution

Partons de $X_{0} = 600300100$ , soit $1000$ véhicules. Alors

$X_{1} = P X_{0} = 515345140, X_{2} = P X_{1} = 453, 5 374, 25 172, 25 .$

Détail de la première coordonnée de $X_{1}$ : $0, 80 \times 600 + 0, 10 \times 300 + 0, 05 \times 100 = 515$ . Les trois coordonnées somment encore à $1000$ , car les colonnes de $P$ somment à $1$ .

1.3 Puissances d'une matrice carrée

Définition 1.9Puissance n-ième

Pour $A \in M_{n} (R)$ et $p$ entier naturel, on pose $A^{0} = I_{n}$ et $A^{p + 1} = A^{p} \times A$ : $A^{p}$ est le produit de $p$ facteurs égaux à $A$ .

Proposition 1.10Puissance d'une matrice diagonale

Si $D$ est la matrice diagonale de coefficients diagonaux $d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}$ , alors pour tout entier $p \geq 1$ , $D^{p}$ est diagonale de coefficients diagonaux $d_{1}^{p}, d_{2}^{p}, \dots, d_{n}^{p}$ . Ainsi $D = (20 0 - 1)$ donne $D^{5} = (320 0 - 1)$ .

Démonstration

Le coefficient $(i, j)$ de $D^{2}$ vaut $\sum_{k} d_{ik} d_{k j}$ , dont tous les termes sont nuls sauf éventuellement celui où $k = i = j$ : on obtient $d_{i}^{2}$ sur la diagonale et $0$ ailleurs. Une récurrence conclut.

Définition 1.11Matrice nilpotente

Une matrice $N$ de $M_{n} (R)$ est nilpotente s'il existe un entier $p \geq 1$ tel que $N^{p} = 0$ .

Exemple 1.12Une nilpotente d'ordre 3

Pour $N = 000100230$ on trouve $N^{2} = 000000300$ et $N^{3} = 0$ . Le seul coefficient survivant de $N^{2}$ est $1 \times 3 = 3$ ; à l'étape suivante il n'y a plus rien à multiplier.

◆Théorème 1.13Binôme pour deux matrices qui commutent

Soient $A$ et $B$ dans $M_{n} (R)$ telles que $A B = B A$ . Alors pour tout entier $p \geq 1$ :

$(A + B)^{p} = k = 0 \sum p (k p) A^{k} B^{p - k} .$

AttentionL'hypothèse n'est pas décorative

La formule est fausse sans l'hypothèse $A B = B A$ . Déjà au carré : $(A + B)^{2} = A^{2} + A B + B A + B^{2}$ , et l'on ne peut regrouper $A B + B A$ en $2 A B$ que si les deux produits coïncident. Avant d'écrire un binôme, on vérifie la commutation — toujours.

Le programme précise d'ailleurs le terrain de jeu : « On se limitera à des exemples simples, par exemple lorsque l'une des matrices est nilpotente. » En pratique, on écrira presque toujours $A = λ I_{n} + N$ avec $N$ nilpotente ; et $I_{n}$ commute avec tout.

Exemple 1.14La méthode complète sur un cas

Soit $A = 100110231$ . On écrit $A = I_{3} + N$ avec $N$ la nilpotente de l'exemple précédent.

$I_{3}$ commute avec $N$ , donc le binôme s'applique ; comme $N^{3} = 0$ , tous les termes d'indice $k \geq 3$ disparaissent :

$A^{p} = (I_{3} + N)^{p} = I_{3} + p N + \frac{p ( p - 1 )}{2} N^{2} = 100 p 10 2 p + \frac{3 p ( p - 1 )}{2} 3 p 1 .$

Pour $p = 4$ : $2 \times 4 + \frac{3 \times 4 \times 3}{2} = 26$ , d'où $A^{4} = 10041026121$ .

Python : Nilpotence et binôme, mis à l'épreuve


import numpy as np

N = np.array([[0, 1, 2], [0, 0, 3], [0, 0, 0]])
I = np.eye(3, dtype=int)

print((N @ N).tolist())      # [[0, 0, 3], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]
print((N @ N @ N).tolist())  # [[0, 0, 0], [0, 0, 0], [0, 0, 0]]

A = I + N
print((A @ A @ A @ A).tolist())
# [[1, 4, 26], [0, 1, 12], [0, 0, 1]]
print((I + 4*N + 6*(N @ N)).tolist())
# [[1, 4, 26], [0, 1, 12], [0, 0, 1]]

Les deux dernières sorties coïncident : le produit répété et le binôme donnent la même matrice, et le coefficient $6$ est $(2 4)$ .

1.4 Matrices inversibles

Définition 1.15Matrice inversible

Une matrice $A \in M_{n} (R)$ est inversible s'il existe $B \in M_{n} (R)$ telle que $A B = B A = I_{n}$ . Une telle matrice $B$ est alors unique ; on l'appelle l'inverse de $A$ et on la note $A^{- 1}$ .

Démonstration (Unicité de l'inverse)

Si $B$ et $C$ conviennent toutes deux, alors $B = B I_{n} = B (A C) = (B A) C = C$ : on n'a utilisé que l'associativité.

◆Théorème 1.16Critère d'inversibilité à l'ordre 2

Soit $A = (a c b d)$ . Alors $A$ est inversible si et seulement si $a d - b c \neq = 0$ , et dans ce cas

$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} (d - c - b a) .$

Le nombre $a d - b c$ se note $det (A)$ .

Démonstration

Posons $Δ = a d - b c$ et $B = (d - c - b a)$ . Un calcul direct donne $A B = B A = Δ I_{2}$ .

Si $Δ \neq = 0$ , la matrice $\frac{1}{Δ} B$ convient. Si $Δ = 0$ et si $A$ était inversible, alors $A B = 0$ multipliée à gauche par $A^{- 1}$ donnerait $B = 0$ , donc $A = 0$ , qui n'est pas inversible. Contradiction.

AttentionCe que l'on a le droit d'écrire, et rien de plus

Le programme est catégorique : « La notation $det (A)$ pourra être utilisée, mais elle sera limitée au cas des matrices carrées d'ordre $2$ . La notion de déterminant est hors-programme. »

On écrira donc $det (A) = a d - b c$ pour une matrice à quatre coefficients, et jamais rien d'autre : ni calcul sur un tableau d'ordre $3$ , ni développement, ni règle générale. Pour l'ordre $3$ , le pivot de Gauss et la résolution de $A X = Y$ suffisent amplement.

Exemple 1.17Deux matrices d'ordre 2

Pour $A = (3152)$ : $det (A) = 3 \times 2 - 5 \times 1 = 1 \neq = 0$ , donc $A^{- 1} = (2 - 1 - 5 3)$ , et l'on vérifie que $(3152) (2 - 1 - 5 3) = I_{2}$ .

Pour $B = (4263)$ : $det (B) = 0$ , donc $B$ n'est pas inversible. On le voit d'ailleurs à l'œil nu — la première ligne est le double de la seconde.

◆Théorème 1.18Critère d'inversibilité d'une matrice triangulaire

Une matrice triangulaire (supérieure ou inférieure) est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls ; son inverse est alors triangulaire de même sens. Résultat admis.

Exemple 1.19Le critère à l'œuvre

$300 - 1 50 24 - 2$ a pour diagonale $(3; 5; - 2)$ : aucun zéro, elle est inversible. En revanche $172 00 - 3 004$ a pour diagonale $(1; 0; 4)$ : un seul zéro suffit à l'exclure.

Le critère ne coûte qu'un coup d'œil — encore faut-il avoir vérifié que la matrice est bien triangulaire.

Proposition 1.20Inverse d'un produit, inverse d'un inverse

Si $A$ et $B$ sont inversibles, alors $A B$ l'est aussi et

$(A B)^{- 1} = B^{- 1} A^{- 1}, (A^{- 1})^{- 1} = A .$

Démonstration

$(A B) (B^{- 1} A^{- 1}) = A (B B^{- 1}) A^{- 1} = I_{n}$ , et le calcul symétrique donne $(B^{- 1} A^{- 1}) (A B) = I_{n}$ . L'ordre s'inverse : on défait en commençant par la dernière opération faite.

ImportantQuel critère pour quelle matrice ?

Ordre $2$ : calculer $a d - b c$ . Non nul, la formule donne l'inverse ; nul, la matrice n'est pas inversible. C'est immédiat.
Triangulaire ou diagonale : lire la diagonale. Aucun zéro, inversible ; un zéro, non inversible.
Ordre $3$ quelconque : le pivot de Gauss sur $[A ∣ I_{3}]$ ou la résolution de $A X = Y$ — le même calcul, écrit autrement.

Aucune autre méthode n'est attendue, et aucune n'est nécessaire.

1.5 Systèmes linéaires et inverse

Définition 1.21Écriture matricielle d'un système

Le système de $n$ équations à $n$ inconnues dont la ligne $i$ s'écrit $a_{i 1} x_{1} + \dots + a_{in} x_{n} = y_{i}$ se met sous la forme $A X = Y$ , où $A = (a_{ij})$ est la matrice du système, $X$ la colonne des inconnues et $Y$ celle des seconds membres.

◆Théorème 1.22Résolution par l'inverse

Si $A$ est inversible, le système $A X = Y$ admet une solution et une seule, donnée par $X = A^{- 1} Y$ .

Démonstration

Si $A X = Y$ , multiplier à gauche par $A^{- 1}$ donne $X = A^{- 1} Y$ : il n'y a pas d'autre candidat. Réciproquement $A (A^{- 1} Y) = I_{n} Y = Y$ : il convient.

1.5.1 Calculer l'inverse par le pivot de Gauss

ImportantLe principe en une phrase

On écrit côte à côte $A$ et $I_{n}$ , puis on applique aux deux tableaux les mêmes opérations sur les lignes, jusqu'à transformer celui de gauche en $I_{n}$ : celui de droite est alors $A^{- 1}$ . Trois opérations sont autorisées — échanger deux lignes, multiplier une ligne par un réel non nul, ajouter à une ligne un multiple d'une autre.

Exemple 1.23Le même inverse par la résolution de AX = Y

Reprenons $A = 101112124$ et résolvons $A X = Y$ avec $Y = (a; b; c)$ :

$⎩ ⎨ ⎧ x + y + z = a x + y + 2 z = b x + 2 y + 4 z = c$

$L_{3} - L_{1}$ donne $y + 3 z = c - a$ ; en retranchant $L_{2}$ il reste $z = - a - b + c$ . On remonte : $y = b - 2 z = 2 a + 3 b - 2 c$ , puis $x = a - y - z = - 2 b + c$ .

Les coefficients de $a$ , $b$ , $c$ dans $x$ , $y$ , $z$ forment exactement les lignes de $A^{- 1} = 02 - 1 - 2 3 - 1 1 - 2 1$ : les deux méthodes ne font qu'un seul calcul.

Pour $Y = (6; 8; 17)$ on obtient donc $X = A^{- 1} Y = (1; 2; 3)$ , et le contrôle dans le système de départ donne bien $1 + 2 + 3 = 6$ , $2 + 6 = 8$ et $1 + 4 + 12 = 17$ .

Python : L'inverse, et le système


import numpy as np

A = np.array([[1, 1, 1], [0, 1, 2], [1, 2, 4]])
B = np.array([[0, -2, 1], [2, 3, -2], [-1, -1, 1]])

print((A @ B).tolist())   # [[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]

Y = np.array([6, 8, 17])
print((B @ Y).tolist())   # [1, 2, 3]

La première sortie est $I_{3}$ : $B$ est bien l'inverse de $A$ . La seconde donne la solution du système, sans l'avoir résolu ligne à ligne.

AttentionCe qu'on ne fait pas

Le programme écarte la résolution de systèmes à paramètres, jugée « à proscrire ». Les seconds membres littéraux $(a; b; c)$ ci-dessus n'en sont pas : la matrice du système, elle, reste entièrement numérique.

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