Exercices corrigés — Structures algébriques usuelles (mathématiques (MP/MPI))

23 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Groupes, ordres, groupes cycliques

• Les sous-groupes de $(\mathbb{R},+)$ : monogènes ou denses Exercice de TD
• L'ordre d'un produit d'éléments d'ordres premiers entre eux Exercice de TD
• Problème — Le théorème de la racine primitive : ${\mathbb{F}}_p^{\times }$ est cyclique Exercice de TD

B. Anneaux et idéaux

• Le nilradical : les nilpotents forment un idéal Exercice de TD
• Les idéaux de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ : un par diviseur de $n$ Exercice de TD

C. $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, théorème chinois, Euler

• Tout anneau intègre fini est un corps Exercice de TD
• Les racines carrées de $\overline{1}$ dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ Exercice de TD
• Le comptage des ordres : ${\sum }_{d\mid n}\phi (d)=n$ Exercice de TD
• RSA de bout en bout Application directe du cours

D. $\mathbb{K}[X]$ et algèbres

• $(X^n-1)\wedge (X^m-1)=X^{n\wedge m}-1$, par les idéaux Exercice de TD
• Inversibilité et inverse lus sur le polynôme minimal Exercice de TD

Niveau ★ — application directe du cours

• Sous-groupes engendrés, générateurs Application directe du cours
• Calculs d'ordres Application directe du cours
• Inverser dans ℤ/nℤ Application directe du cours

Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

• Reconnaître un idéal Application directe du cours
• Système de congruences Application directe du cours
• Calculs d'indicatrice Application directe du cours
• Le théorème d'Euler au travail Application directe du cours

Niveau ★★★ — approfondissement

• Les sous-groupes de ℤ/12ℤ Application directe du cours
• L'idéal annulateur d'une matrice Application directe du cours
• Le protocole RSA Application directe du cours
• Un groupe trivial à deux générateurs Application directe du cours
• Quatre générateurs en cycle, le groupe de Higman Application directe du cours

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