Structures algébriques usuelles

Cours · mathématiques (MP/MPI), chapitre 1 · MP et MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La table d'addition du groupe Z/4Z : chaque élément apparaît une fois par ligne et par colonne.

1.1 Introduction et motivation

La première année a construit une à une les grandes structures — groupes, anneaux, corps — et développé deux arithmétiques jumelles, celle de $Z$ et celle de $K [X]$ , dont les démonstrations se répondaient terme à terme. Ce chapitre approfondit et unifie : compléments sur les groupes (groupes monogènes et cycliques, ordre d'un élément, théorème de Lagrange), et surtout un point de vue nouveau et plus algébrique, la notion d'idéal, qui explique en une seule phrase — « tout idéal y est principal » — pourquoi $Z$ et $K [X]$ se ressemblent tant : Bézout, PGCD, décomposition en irréductibles en découlent uniformément.

Les anneaux $Z / n Z$ , esquissés en première année par les congruences, deviennent des objets d'étude à part entière : inversibles, théorème chinois, indicatrice d'Euler, théorème d'Euler — avec à la clef la cryptographie RSA. Le chapitre s'achève sur la structure d'algèbre, qui prépare la réduction des endomorphismes : l'idéal des polynômes annulateurs d'une matrice y attend déjà son générateur, le polynôme minimal.

1.2 Compléments sur les groupes

1.2.1 Sous-groupe engendré, groupes monogènes

Proposition 1.1Intersection de sous-groupes

Toute intersection (d'une famille quelconque) de sous-groupes de $G$ est un sous-groupe de $G$ . (La réunion, en général, non — première année.)

Définition 1.2Sous-groupe engendré

Le sous-groupe engendré par une partie $A$ de $G$ , noté $⟨ A ⟩$ , est le plus petit sous-groupe contenant $A$ : l'intersection de tous les sous-groupes contenant $A$ . Concrètement, $⟨ A ⟩$ est l'ensemble des produits finis d'éléments de $A$ et de leurs inverses. Si $⟨ A ⟩ = G$ , on dit que $A$ est une partie génératrice de $G$ .

◆Théorème 1.3Sous-groupes de

(Z, +)

Les sous-groupes de $(Z, +)$ sont exactement les $n Z$ , $n \in N$ .

Démonstration

$n Z$ est un sous-groupe. Réciproquement, soit $H \neq = {0}$ un sous-groupe et $n = min (H \cap N^{*})$ (partie non vide de $N^{*}$ : $H$ contient un élément non nul et son opposé). Alors $n Z \subset H$ ; et pour $x \in H$ , la division euclidienne $x = q n + r$ ( $0 \leq r < n$ ) donne $r = x - q n \in H$ , d'où $r = 0$ par minimalité : $H = n Z$ . (La division euclidienne, encore et toujours : c'est elle qui rend tout principal.)

Définition 1.4Le groupe

(Z / n Z, +)

Pour $n \geq 1$ , le groupe $(Z / n Z, +)$ est l'ensemble des classes de congruence modulo $n$ (première année), $Z / n Z = {0, 1, \dots, n - 1}$ , muni de $a + b = a + b$ . Il est abélien, de cardinal $n$ , engendré par $1$ .

Proposition 1.5Générateurs de

Z / n Z

$k$ engendre $(Z / n Z, +)$ si et seulement si $k \land n = 1$ .

Démonstration

$⟨ k ⟩ = {mk : m \in Z}$ contient $1$ si et seulement si $mk \equiv 1 [n]$ a une solution, c'est-à-dire $mk + q n = 1$ : c'est Bézout, équivalent à $k \land n = 1$ .

Définition 1.6Groupes monogènes et cycliques

Un groupe est monogène s'il est engendré par un seul élément ( $G = ⟨ x ⟩$ ), cyclique s'il est monogène et fini. Exemple fondamental : le groupe $U_{n}$ des racines $n$ -ièmes de l'unité est cyclique, engendré par $e^{2 iπ / n}$ (première année).

◆Théorème 1.7Classification des groupes monogènes

Soit $G = ⟨ x ⟩$ un groupe monogène.

Si $G$ est infini, alors $G$ est isomorphe à $(Z, +)$ .
Si $G$ est fini de cardinal $n$ , alors $G$ est isomorphe à $(Z / n Z, +)$ .

À isomorphisme près, il n'existe donc qu'un seul groupe monogène de chaque cardinal : $Z$ et les $Z / n Z$ épuisent la liste.

Démonstration

L'application $φ : m \mapsto x^{m}$ est un morphisme surjectif de $(Z, +)$ sur $G$ . Son noyau est un sous-groupe de $Z$ , donc de la forme $d Z$ . Si $d = 0$ : $φ$ est injectif, donc un isomorphisme $Z \to G$ . Si $d \geq 1$ : $x^{a} = x^{b} ⟺ a \equiv b [d]$ , donc $m \mapsto x^{m}$ est une bijection de $Z / d Z$ sur $G$ qui respecte les lois — un isomorphisme — et $n = ∣ G ∣ = d$ .

1.2.2 Ordre d'un élément

Définition 1.8Ordre

Un élément $x$ de $G$ est d'ordre fini s'il existe $m \geq 1$ avec $x^{m} = e$ ; son ordre $d$ est alors le plus petit tel entier. Sinon, $x$ est d'ordre infini.

◆Théorème 1.9Les deux propriétés clés de l'ordre

Soit $x$ d'ordre fini $d$ .

Pour tout $n \in Z$ : $x^{n} = e ⟺ d ∣ n .$
L'ordre de $x$ est le cardinal du sous-groupe engendré : $d = ∣ ⟨ x ⟩ ∣$ .

Exercices du chapitre

Les sous-groupes de $(R, +)$ : monogènes ou denses corrigé
L'ordre d'un produit d'éléments d'ordres premiers entre eux corrigé
Le nilradical : les nilpotents forment un idéal corrigé
Les idéaux de $Z / n Z$ : un par diviseur de $n$ corrigé
Tout anneau intègre fini est un corps corrigé
Les racines carrées de $1$ dans $Z / n Z$ corrigé

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