Structures algébriques usuelles

Cours complet · mathématiques (MP/MPI), chapitre 1 · MP et MPI (2e année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>1.1 Introduction et motivation

La première année a construit une à une les grandes structures — groupes, anneaux, corps — et développé deux arithmétiques jumelles, celle de $Z$ et celle de $K [X]$ , dont les démonstrations se répondaient terme à terme. Ce chapitre approfondit et unifie : compléments sur les groupes (groupes monogènes et cycliques, ordre d'un élément, théorème de Lagrange), et surtout un point de vue nouveau et plus algébrique, la notion d'idéal, qui explique en une seule phrase — « tout idéal y est principal » — pourquoi $Z$ et $K [X]$ se ressemblent tant : Bézout, PGCD, décomposition en irréductibles en découlent uniformément.

Les anneaux $Z / n Z$ , esquissés en première année par les congruences, deviennent des objets d'étude à part entière : inversibles, théorème chinois, indicatrice d'Euler, théorème d'Euler — avec à la clef la cryptographie RSA. Le chapitre s'achève sur la structure d'algèbre, qui prépare la réduction des endomorphismes : l'idéal des polynômes annulateurs d'une matrice y attend déjà son générateur, le polynôme minimal.

1.2 Compléments sur les groupes

1.2.1 Sous-groupe engendré, groupes monogènes

Proposition 1.1Intersection de sous-groupes

Toute intersection (d'une famille quelconque) de sous-groupes de $G$ est un sous-groupe de $G$ . (La réunion, en général, non — première année.)

Définition 1.2Sous-groupe engendré

Le sous-groupe engendré par une partie $A$ de $G$ , noté $⟨ A ⟩$ , est le plus petit sous-groupe contenant $A$ : l'intersection de tous les sous-groupes contenant $A$ . Concrètement, $⟨ A ⟩$ est l'ensemble des produits finis d'éléments de $A$ et de leurs inverses. Si $⟨ A ⟩ = G$ , on dit que $A$ est une partie génératrice de $G$ .

◆Théorème 1.3Sous-groupes de

(Z, +)

Les sous-groupes de $(Z, +)$ sont exactement les $n Z$ , $n \in N$ .

Démonstration

$n Z$ est un sous-groupe. Réciproquement, soit $H \neq = {0}$ un sous-groupe et $n = min (H \cap N^{*})$ (partie non vide de $N^{*}$ : $H$ contient un élément non nul et son opposé). Alors $n Z \subset H$ ; et pour $x \in H$ , la division euclidienne $x = q n + r$ ( $0 \leq r < n$ ) donne $r = x - q n \in H$ , d'où $r = 0$ par minimalité : $H = n Z$ . (La division euclidienne, encore et toujours : c'est elle qui rend tout principal.)

Définition 1.4Le groupe

(Z / n Z, +)

Pour $n \geq 1$ , le groupe $(Z / n Z, +)$ est l'ensemble des classes de congruence modulo $n$ (première année), $Z / n Z = {0, 1, \dots, n - 1}$ , muni de $a + b = a + b$ . Il est abélien, de cardinal $n$ , engendré par $1$ .

Proposition 1.5Générateurs de

Z / n Z

$k$ engendre $(Z / n Z, +)$ si et seulement si $k \land n = 1$ .

Démonstration

$⟨ k ⟩ = {mk : m \in Z}$ contient $1$ si et seulement si $mk \equiv 1 [n]$ a une solution, c'est-à-dire $mk + q n = 1$ : c'est Bézout, équivalent à $k \land n = 1$ .

Définition 1.6Groupes monogènes et cycliques

Un groupe est monogène s'il est engendré par un seul élément ( $G = ⟨ x ⟩$ ), cyclique s'il est monogène et fini. Exemple fondamental : le groupe $U_{n}$ des racines $n$ -ièmes de l'unité est cyclique, engendré par $e^{2 iπ / n}$ (première année).

◆Théorème 1.7Classification des groupes monogènes

Soit $G = ⟨ x ⟩$ un groupe monogène.

Si $G$ est infini, alors $G$ est isomorphe à $(Z, +)$ .
Si $G$ est fini de cardinal $n$ , alors $G$ est isomorphe à $(Z / n Z, +)$ .

À isomorphisme près, il n'existe donc qu'un seul groupe monogène de chaque cardinal : $Z$ et les $Z / n Z$ épuisent la liste.

Démonstration

L'application $φ : m \mapsto x^{m}$ est un morphisme surjectif de $(Z, +)$ sur $G$ . Son noyau est un sous-groupe de $Z$ , donc de la forme $d Z$ . Si $d = 0$ : $φ$ est injectif, donc un isomorphisme $Z \to G$ . Si $d \geq 1$ : $x^{a} = x^{b} ⟺ a \equiv b [d]$ , donc $m \mapsto x^{m}$ est une bijection de $Z / d Z$ sur $G$ qui respecte les lois — un isomorphisme — et $n = ∣ G ∣ = d$ .

1.2.2 Ordre d'un élément

Définition 1.8Ordre

Un élément $x$ de $G$ est d'ordre fini s'il existe $m \geq 1$ avec $x^{m} = e$ ; son ordre $d$ est alors le plus petit tel entier. Sinon, $x$ est d'ordre infini.

◆Théorème 1.9Les deux propriétés clés de l'ordre

Soit $x$ d'ordre fini $d$ .

Pour tout $n \in Z$ : $x^{n} = e ⟺ d ∣ n .$
L'ordre de $x$ est le cardinal du sous-groupe engendré : $d = ∣ ⟨ x ⟩ ∣$ .

Démonstration

Division euclidienne $n = q d + r$ , $0 \leq r < d$ : $x^{n} = (x^{d})^{q} x^{r} = x^{r}$ , qui vaut $e$ si et seulement si $r = 0$ (minimalité de $d$ ). Pour le cardinal : $⟨ x ⟩ = {e, x, \dots, x^{d - 1}}$ , et ces éléments sont deux à deux distincts ( $x^{a} = x^{b}$ avec $0 \leq a < b < d$ donnerait $x^{b - a} = e$ avec $0 < b - a < d$ ).

◆Théorème 1.10Théorème de Lagrange

Dans un groupe fini $G$ , l'ordre de tout élément divise le cardinal de $G$ . En particulier, $x^{∣ G ∣} = e$ pour tout $x \in G$ .

Démonstration (Démonstration (exigible) dans le cas commutatif)

Soit $G = {g_{1}, \dots, g_{n}}$ commutatif et $x \in G$ . L'application $g \mapsto xg$ est une bijection de $G$ (d'inverse $g \mapsto x^{- 1} g$ ) : les familles $(g_{i})$ et $(x g_{i})$ contiennent les mêmes éléments. En faisant le produit (la commutativité autorise tous les regroupements) :

$i = 1 \prod n g_{i} = i = 1 \prod n (x g_{i}) = x^{n} i = 1 \prod n g_{i} ⟹ x^{n} = e,$

et l'ordre de $x$ divise $n = ∣ G ∣$ par la propriété clé. (Le cas général se démontre avec les classes à gauche — démonstration non exigible.)

1.3 Compléments sur les anneaux

Définition 1.11Produit d'anneaux

Le produit $A_{1} \times \dots \times A_{p}$ d'anneaux, muni des lois composante par composante, est un anneau, d'unité $(1, \dots, 1)$ . Ses inversibles sont les $p$ -uplets d'inversibles : $(A_{1} \times \dots \times A_{p})^{\times} = A_{1}^{\times} \times \dots \times A_{p}^{\times}$ . Attention : un produit d'anneaux intègres ne l'est jamais ( $p \geq 2$ ) : $(1, 0) (0, 1) = (0, 0)$ .

Définition 1.12Idéal

Dans tout ce qui suit, les anneaux sont commutatifs. Une partie $I$ d'un anneau commutatif $A$ est un idéal si :

$(I, +)$ est un sous-groupe de $(A, +)$ ;
$I$ est absorbant : pour tous $a \in A$ et $x \in I$ , $a x \in I$ .

(Plus fort qu'un sous-anneau : on peut multiplier par n'importe quel élément de $A$ , et l'on ne demande pas $1 \in I$ — au contraire : si $1 \in I$ , alors $I = A$ .)

Proposition 1.13Deux sources d'idéaux

Le noyau d'un morphisme d'anneaux commutatifs $f : A \to B$ est un idéal de $A$ (si $f (x) = 0$ , alors $f (a x) = f (a) f (x) = 0$ ).
L'idéal engendré par un élément $x \in A$ est $x A = {x a : a \in A}$ , le plus petit idéal contenant $x$ — les idéaux de cette forme sont dits principaux.

◆Théorème 1.14Divisibilité et idéaux

Dans un anneau commutatif intègre $A$ :

$x ∣ y ⟺ y A \subset x A, et x A = y A ⟺ x et y sont associ e ˊ s (y = ux, u \in A^{\times}) .$

Démonstration

$x ∣ y$ signifie $y = x z$ , donc $y a = x (z a) \in x A$ pour tout $a$ ; réciproquement $y \in y A \subset x A$ donne $y = x z$ . La divisibilité se lit donc comme une inclusion renversée d'idéaux ; l'équivalence des idéaux égaux et des éléments associés s'en déduit par double divisibilité (intégrité pour simplifier). Tout l'arithmétique va se réécrire dans le langage des idéaux — et y gagner en limpidité.

1.4 Idéaux de $Z$

◆Théorème 1.15

Z

est principal

Les idéaux de $Z$ sont exactement les $n Z$ , $n \in N$ : tout idéal de $Z$ est principal.

Démonstration

Un idéal est en particulier un sous-groupe de $(Z, +)$ , donc de la forme $n Z$ — et chaque $n Z$ est bien un idéal. (Tout le travail avait été fait par la division euclidienne.)

◆Théorème 1.16PGCD par les idéaux, relation de Bézout

Soient $a_{1}, \dots, a_{p}$ ( $p \geq 2$ ) des entiers non tous nuls. L'ensemble

$a_{1} Z + a_{2} Z + \dots + a_{p} Z = {a_{1} u_{1} + \dots + a_{p} u_{p} : u_{i} \in Z}$

est un idéal de $Z$ , donc de la forme $d Z$ avec $d \geq 1$ : cet entier $d$ est le PGCD de $a_{1}, \dots, a_{p}$ . Il en résulte immédiatement :

la relation de Bézout : il existe $u_{1}, \dots, u_{p}$ avec $a_{1} u_{1} + \dots + a_{p} u_{p} = d$ (car $d \in d Z$ !) ;
$d$ divise chaque $a_{i}$ (car $a_{i} \in d Z$ ), et tout diviseur commun des $a_{i}$ divise $d$ (car $d$ est combinaison des $a_{i}$ ).

On retrouve — en trois lignes — le PGCD et le théorème de Bézout de première année, désormais pour un nombre quelconque d'entiers : la structure (idéal principal) fait tout le travail que faisait l'algorithme d'Euclide.

1.5 Anneaux $Z / n Z$

1.5.1 Structure et inversibles

Définition 1.17L'anneau

Z / n Z

Muni de $a + b = a + b$ et $a b = ab$ (compatibilité des congruences, première année), $Z / n Z$ est un anneau commutatif de cardinal $n$ .

◆Théorème 1.18Inversibles, corps

$k \in (Z / n Z)^{\times} ⟺ k \land n = 1,$

et l'inverse se calcule par l'algorithme d'Euclide étendu (Bézout : $u k + v n = 1 \Rightarrow u = k^{- 1}$ ). En conséquence :

$Z / n Z est un corps ⟺ n est premier .$

Lorsque $p$ est premier, on note ce corps $F_{p}$ (corps fini à $p$ éléments).

Démonstration

$k$ inversible $⟺ \exists u, u k \equiv 1 [n] ⟺ \exists u, v, u k + v n = 1 ⟺ k \land n = 1$ (Bézout). Si $n = p$ premier : tous les $k \neq = 0$ sont inversibles — un corps. Si $n = ab$ ( $1 < a, b < n$ ) : $a b = 0$ avec $a, b \neq = 0$ — des diviseurs de zéro, pas un corps.

1.5.2 Le théorème chinois

◆Théorème 1.19Théorème chinois

Si $m \land n = 1$ , l'application

$Z / mn Z x^{(mn)} ⟶ ⟼ Z / m Z \times Z / n Z (x^{(m)}, x^{(n)})$

est un isomorphisme d'anneaux (naturel : réduire modulo $m$ et modulo $n$ ). Extension immédiate à un nombre fini de facteurs deux à deux premiers entre eux.

Démonstration

L'application est un morphisme d'anneaux (les réductions en sont). Injectivité : si $x \equiv 0 [m]$ et $x \equiv 0 [n]$ avec $m \land n = 1$ , alors $mn ∣ x$ (Gauss, première année). Surjectivité : les deux ensembles ont le même cardinal $mn$ — l'injectivité suffit (première année, cas équicardinal !).

ImportantEn pratique : les systèmes de congruences

Résoudre $x \equiv a [m]$ , $x \equiv b [n]$ ( $m \land n = 1$ ) : le théorème garantit une unique solution modulo $mn$ . Pour la construire, on cherche une relation de Bézout $u m + v n = 1$ : alors

$x_{0} = a v n + b u m$

convient ( $v n \equiv 1 [m]$ et $\equiv 0 [n]$ : c'est un « interrupteur », valant $1$ d'un côté et $0$ de l'autre — exactement les polynômes de Lagrange de première année, version arithmétique). Les solutions : $x \equiv x_{0} [mn]$ .

1.5.3 Indicatrice et théorème d'Euler

Définition 1.20Indicatrice d'Euler

L'indicatrice d'Euler $φ (n)$ est le nombre d'entiers de $[[1, n]]$ premiers avec $n$ — c'est-à-dire le cardinal du groupe des inversibles $(Z / n Z)^{\times}$ .

◆Théorème 1.21Calcul de

φ

Si $m \land n = 1$ : $φ (mn) = φ (m) φ (n)$ (le théorème chinois induit un isomorphisme — donc une bijection — entre les groupes d'inversibles : $(Z / mn Z)^{\times} ≅ (Z / m Z)^{\times} \times (Z / n Z)^{\times}$ ).
Pour $p$ premier : $φ (p^{k}) = p^{k} - p^{k - 1}$ (les non-premiers à $p^{k}$ sont les multiples de $p$ : un sur $p$ ).
D'où, par décomposition en facteurs premiers $n = p_{1}^{k_{1}} \dots p_{r}^{k_{r}}$ :

$φ (n) = i = 1 \prod r (p_{i}^{k_{i}} - p_{i}^{k_{i} - 1}) = n i = 1 \prod r (1 - \frac{1}{p _{i}}) .$

◆Théorème 1.22Théorème d'Euler

Si $a \land n = 1$ , alors :

$a^{φ (n)} \equiv 1 [n] .$

Démonstration

$a$ appartient au groupe commutatif fini $(Z / n Z)^{\times}$ , de cardinal $φ (n)$ : le théorème de Lagrange (cas commutatif, démontré plus haut) donne $a^{φ (n)} = 1$ . Pour $n = p$ premier, $φ (p) = p - 1$ : on retrouve le petit théorème de Fermat de première année, qui n'était que le cas particulier.

1.6 Anneaux $K [X]$

Dans ce paragraphe, $K$ est un sous-corps de $C$ (typiquement $Q$ , $R$ ou $C$ ).

◆Théorème 1.23

K [X]

est principal

Tout idéal $I$ de $K [X]$ est principal : $I = P K [X]$ pour un polynôme $P$ (unique à constante multiplicative près ; unique si on l'impose unitaire ou nul).

Démonstration

Si $I \neq = {0}$ , soit $P$ un élément non nul de $I$ de degré minimal. Pour $A \in I$ , la division euclidienne $A = P Q + R$ ( $de g R < de g P$ ) donne $R = A - P Q \in I$ (sous-groupe $+$ absorbant), donc $R = 0$ par minimalité : $I = P K [X]$ . Mot pour mot la démonstration faite dans $Z$ — le degré remplaçant la valeur absolue, comme en première année.

◆Théorème 1.24PGCD et Bézout dans

K [X]

Pour $A_{1}, \dots, A_{p}$ non tous nuls, l'idéal $A_{1} K [X] + \dots + A_{p} K [X]$ est engendré par un unique polynôme unitaire $D$ : c'est le PGCD de $A_{1}, \dots, A_{p}$ (par convention, le PGCD est unitaire). Comme dans $Z$ : relation de Bézout $D = \sum A_{i} U_{i}$ , $D$ divise les $A_{i}$ , et tout diviseur commun divise $D$ — la définition par les idéaux redonne celle de première année, étendue à $p$ polynômes.

◆Théorème 1.25Décomposition en facteurs irréductibles

Tout polynôme non constant de $K [X]$ s'écrit

$A = λ P_{1}^{k_{1}} P_{2}^{k_{2}} \dots P_{r}^{k_{r}},$

avec $λ \in K^{*}$ (le coefficient dominant), les $P_{i}$ irréductibles unitaires deux à deux distincts et $k_{i} \geq 1$ — et cette décomposition est unique à l'ordre près. (Existence : récurrence sur le degré ; unicité : lemme de Gauss polynomial, comme la décomposition en facteurs premiers dans $Z$ .)

Proposition 1.26Irréductibles de

C [X]

R [X]

On rappelle (première année) : les irréductibles de $C [X]$ sont les polynômes de degré $1$ (théorème de d'Alembert-Gauss, dont la démonstration est hors programme) ; ceux de $R [X]$ sont les polynômes de degré $1$ et les polynômes de degré $2$ à discriminant strictement négatif. (L'étude des irréductibles de $K [X]$ pour un autre corps — par exemple $Q$ — n'est pas un objectif du programme.)

1.7 Algèbres

Définition 1.27Algèbre

Une $K$ -algèbre (unitaire) est un ensemble $A$ muni de trois lois telles que :

$(A, +, \cdot)$ est un $K$ -espace vectoriel ;
$(A, +, \times)$ est un anneau ;
les structures sont compatibles : $λ (x \times y) = (λ x) \times y = x \times (λ y)$ pour tous $λ \in K$ , $x, y \in A$ .

Exemple 1.28Les quatre algèbres fondamentales

$K [X] (polyn o ˆ mes), L (E) (endomorphismes),$

$M_{n} (K) (matrices), F (X, K) (fonctions) .$

Toute la première année y vivait sans le dire : sommes, produits et multiples scalaires, avec leurs compatibilités. L'isomorphisme $L (E) ≅ M_{n} (K)$ (choix d'une base) est un isomorphisme d'algèbres.

Définition 1.29Sous-algèbre, morphisme

Une sous-algèbre est une partie contenant $1$ , stable par combinaisons linéaires et par produit (à la fois sous-espace vectoriel et sous-anneau). Un morphisme d'algèbres $f : A \to B$ est une application à la fois linéaire et morphisme d'anneaux ( $f (x y) = f (x) f (y)$ , $f (1_{A}) = 1_{B}$ ). Exemple central : pour $u \in L (E)$ fixé, l'évaluation polynomiale $P \mapsto P (u)$ est un morphisme d'algèbres de $K [X]$ dans $L (E)$ ; son image $K [u] = {P (u)}$ est une sous-algèbre commutative de $L (E)$ , et son noyau — l'idéal des polynômes annulateurs — jouera un rôle décisif dans la réduction (exercice 9).

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Structures algébriques usuelles

<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>1.1 Introduction et motivation

1.2 Compléments sur les groupes

1.2.1 Sous-groupe engendré, groupes monogènes

1.2.2 Ordre d'un élément

1.3 Compléments sur les anneaux

1.4 Idéaux de Z

1.5 Anneaux Z/nZ

1.5.1 Structure et inversibles

1.5.2 Le théorème chinois

1.5.3 Indicatrice et théorème d'Euler

1.6 Anneaux K[X]

1.7 Algèbres

1.4 Idéaux de $Z$

1.5 Anneaux $Z / n Z$

1.6 Anneaux $K [X]$