Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Cours complet · mathématiques (MP/MPI), chapitre 2 · MP et MPI (2e année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>2.1 Introduction et motivation

Réduire un endomorphisme, c'est trouver une base où sa matrice devient simple — diagonale dans le meilleur des cas, triangulaire sinon. L'enjeu dépasse l'esthétique : calculer $A^{n}$ (systèmes dynamiques discrets, chaînes de Markov), résoudre des systèmes différentiels, comprendre la géométrie d'une transformation — tout devient transparent dans une bonne base. Ce chapitre, qui prolonge l'algèbre linéaire de première année, donne une introduction substantielle au problème de la réduction.

Deux approches s'entrelacent, qu'il convient d'identifier à chaque instant :

l'approche géométrique : sous-espaces stables, valeurs propres, vecteurs propres — on découpe l'espace en morceaux sur lesquels $u$ agit simplement ;
l'approche algébrique : polynômes annulateurs, polynôme minimal, lemme des noyaux — l'algèbre $K [u]$ et les idéaux du chapitre 1 prennent le pouvoir.

Les notions de première année s'étendent sans difficulté à un corps de base quelconque ; pour éviter les subtilités des polynômes en caractéristique non nulle, on suppose que $K$ est un sous-corps de $C$ . Sauf mention contraire, $E$ est un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ .

2.2 Compléments d'algèbre linéaire

2.2.1 Sommes directes d'une famille finie

Définition 2.1Somme directe d'une famille finie

La somme $F_{1} + \dots + F_{p}$ de sous-espaces de $E$ est l'ensemble des $x_{1} + \dots + x_{p}$ , $x_{i} \in F_{i}$ . Elle est directe, notée $⨁_{i = 1}^{p} F_{i}$ , si la décomposition de tout vecteur de la somme est unique — de façon équivalente, si $x_{1} + \dots + x_{p} = 0$ (avec $x_{i} \in F_{i}$ ) entraîne tous les $x_{i}$ nuls. Attention : pour $p \geq 3$ , il ne suffit pas que les $F_{i}$ soient deux à deux d'intersection nulle (trois droites distinctes du plan !).

◆Théorème 2.2Dimension d'une somme

Si $F_{1}, \dots, F_{p}$ sont de dimension finie :

$dim (i = 1 \sum p F_{i}) \leq i = 1 \sum p dim F_{i},$

avec égalité si et seulement si la somme est directe. (Concaténer des bases des $F_{i}$ : la famille obtenue engendre la somme, et elle est libre exactement quand la somme est directe — on obtient alors une base adaptée à la décomposition.)

Proposition 2.3Projecteurs associés, recollement

Soit $E = ⨁_{i = 1}^{p} E_{i}$ .

Les projecteurs associés $p_{i}$ (sur $E_{i}$ parallèlement à $⨁_{j \neq = i} E_{j}$ ) vérifient $p_{i} \circ p_{j} = 0$ pour $i \neq = j$ , $p_{i}^{2} = p_{i}$ et $p_{1} + \dots + p_{p} = id_{E}$ .
Recollement : si $u_{i} \in L (E_{i}, F)$ pour tout $i$ , il existe une et une seule $u \in L (E, F)$ telle que $u_{∣ E_{i}} = u_{i}$ — définir un endomorphisme morceau par morceau est licite (généralisation du cas $p = 2$ de première année).

2.2.2 Matrices par blocs

Définition 2.4Matrices définies par blocs

Une matrice peut être décrite par blocs : $M = (A C B D)$ où $A, B, C, D$ sont des matrices de tailles compatibles. Interprétation géométrique : si $E = E_{1} \oplus E_{2}$ avec une base adaptée, les blocs décrivent les composantes de $u (E_{1})$ et $u (E_{2})$ sur $E_{1}$ et $E_{2}$ ; en particulier

$E_{1} est stable par u ⟺ Mat (u) = (A 0 B D) (bloc C nul),$

et $A$ est alors la matrice de l'endomorphisme induit sur $E_{1}$ .

◆Théorème 2.5Calcul par blocs

Les opérations se font comme si les blocs étaient des scalaires (en respectant tailles et ordre des produits) : combinaison linéaire bloc à bloc, transposition $(A C B D)^{⊤} = (A^{⊤} B^{⊤} C^{⊤} D^{⊤})$ , et produit par blocs (démonstration non exigible) :

$(A C B D) (A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}) = (A A^{'} + B C^{'} C A^{'} + D C^{'} A B^{'} + B D^{'} C B^{'} + D D^{'}) .$

Les transvections par blocs ( $L_{i} \leftarrow L_{i} + Λ L_{j}$ par blocs) laissent le déterminant invariant, et :

$det (A 0 B D) = det (A) det (D)$

(déterminant d'une matrice triangulaire par blocs $=$ produit des déterminants des blocs diagonaux ; extension immédiate à plus de deux blocs).

2.3 Éléments propres

2.3.1 Sous-espaces stables, valeurs propres

Définition 2.6Sous-espace stable, endomorphisme induit

Un sous-espace $F$ est stable par $u \in L (E)$ si $u (F) \subset F$ ; $u$ induit alors un endomorphisme $u_{F} \in L (F)$ . En dimension finie, dans une base adaptée à $F$ , la matrice de $u$ est triangulaire par blocs (bloc inférieur gauche nul) — la stabilité se voit sur la matrice.

Définition 2.7Éléments propres

Une droite stable par $u$ est une droite $K x$ ( $x \neq = 0$ ) avec $u (x) = λ x$ : c'est l'équation aux éléments propres. On dit que :

$λ \in K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe $x \neq = 0$ avec $u (x) = λ x$ ;
un tel $x$ (non nul !) est un vecteur propre associé à $λ$ ;
le sous-espace propre associé est $E_{λ} (u) = Ker (u - λ id) \neq = {0}$ (les vecteurs propres, plus le vecteur nul) ;
le spectre $Sp (u)$ est l'ensemble des valeurs propres ( $E$ de dimension finie ; la notion de valeur spectrale est hors programme).

Version matricielle : $M X = λ X$ , $X \neq = 0$ ; mêmes définitions pour $Sp (M)$ .

◆Théorème 2.8La somme des sous-espaces propres est directe

Si $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ sont des valeurs propres deux à deux distinctes de $u$ , la somme $E_{λ_{1}} + \dots + E_{λ_{p}}$ est directe. En particulier :

toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ;
le spectre d'un endomorphisme en dimension $n$ est fini, de cardinal au plus $n$ .

Démonstration

Par récurrence sur $p$ . Soit $x_{1} + \dots + x_{p} = 0$ avec $x_{i} \in E_{λ_{i}}$ . Appliquons $u$ : $\sum λ_{i} x_{i} = 0$ ; retranchons $λ_{p}$ fois la première relation : $\sum_{i < p} (λ_{i} - λ_{p}) x_{i} = 0$ . L'hypothèse de récurrence donne $(λ_{i} - λ_{p}) x_{i} = 0$ , donc $x_{i} = 0$ pour $i < p$ (valeurs propres distinctes !), puis $x_{p} = 0$ .

◆Théorème 2.9Commutation et stabilité

Si $u$ et $v$ commutent ( $uv = v u$ ), alors le noyau, l'image et tout sous-espace propre de $u$ sont stables par $v$ .

Démonstration

Si $u (x) = λ x$ , alors $u (v (x)) = v (u (x)) = λ v (x)$ : $v (x) \in E_{λ} (u)$ (qui contient le cas du noyau, $λ = 0$ ). Pour l'image : $v (u (x)) = u (v (x)) \in Im u$ . (Ce théorème discret est l'outil clé de la « réduction simultanée » : les endomorphismes qui commutent partagent leurs espaces propres.)

Proposition 2.10Spectre et similitude, extension du corps

Deux matrices semblables ont le même spectre (même endomorphisme, deux bases !). Si $K \subset K^{'}$ et $M \in M_{n} (K)$ , alors $Sp_{K} (M) \subset Sp_{K^{'}} (M)$ — le spectre peut grossir par extension du corps : la rotation $(01 - 1 0)$ n'a aucune valeur propre réelle, mais $\pm i$ sur $C$ .

2.4 Polynôme caractéristique

Définition 2.11Polynôme caractéristique

Le polynôme caractéristique de $A \in M_{n} (K)$ est

$χ_{A} = det (X I_{n} - A)$

(convention : unitaire, de degré $n$ ). Deux matrices semblables ont même polynôme caractéristique, ce qui permet de définir $χ_{u}$ pour un endomorphisme. Ses coefficients extrêmes sont remarquables :

$χ_{A} = X^{n} - tr (A) X^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} det (A) .$

◆Théorème 2.12Valeurs propres et racines

Les valeurs propres de $u$ (dans $K$ ) sont exactement les racines de $χ_{u}$ dans $K$ :

$λ \in Sp (u) ⟺ χ_{u} (λ) = 0.$

Démonstration

$λ$ est valeur propre $⟺ Ker (u - λ id) \neq = {0} ⟺ u - λ id$ non injectif $⟺ det (λ I_{n} - A) = 0$ (caractérisation du déterminant, première année).

Proposition 2.13Propriétés du polynôme caractéristique

Matrice triangulaire : $χ_{A} = \prod (X - a_{i, i})$ — les valeurs propres se lisent sur la diagonale.
Endomorphisme induit : si $F$ est stable par $u$ , alors $χ_{u_{F}}$ divise $χ_{u}$ (matrice triangulaire par blocs et déterminant par blocs : $χ_{u} = χ_{u_{F}} \cdot χ_{quotient}$ ).

Définition 2.14Multiplicité

La multiplicité $m_{λ}$ d'une valeur propre $λ$ est sa multiplicité comme racine de $χ_{u}$ (chapitre Polynômes, première année).

◆Théorème 2.15Encadrement de la dimension propre

Pour toute valeur propre $λ$ de $u$ :

$1 \leq dim E_{λ} (u) \leq m_{λ} .$

Démonstration

Soit $d = dim E_{λ} \geq 1$ . Complétons une base de $E_{λ}$ en une base de $E$ : la matrice de $u$ y est $(λ I_{d} 0 B D)$ (stabilité de $E_{λ}$ ), d'où $χ_{u} = (X - λ)^{d} χ_{D}$ : la multiplicité de $λ$ est au moins $d$ .

2.5 Diagonalisabilité

Définition 2.16Endomorphisme, matrice diagonalisable

$u \in L (E)$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle sa matrice est diagonale — une telle base est nécessairement formée de vecteurs propres. Une matrice est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale ( $A = P D P^{- 1}$ ) — c'est-à-dire si l'endomorphisme canoniquement associé l'est. (Exemples immédiats : projecteurs et symétries sont diagonalisables — bases adaptées à $Im p \oplus Ker p$ et $Ker (s - id) \oplus Ker (s + id)$ , première année.)

◆Théorème 2.17Critères géométriques de diagonalisabilité

Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est diagonalisable ;
$E$ est somme (directe) de ses sous-espaces propres : $E = ⨁_{λ \in Sp (u)} E_{λ} (u)$ ;
$λ \in Sp (u) \sum dim E_{λ} (u) = dim E$ ;
$χ_{u}$ est scindé et, pour toute valeur propre, $dim E_{λ} = m_{λ}$ (la dimension propre atteint la multiplicité).

↳Corollaire 2.18La condition suffisante reine

Si $u$ admet $n$ valeurs propres deux à deux distinctes ( $χ_{u}$ scindé à racines simples), alors $u$ est diagonalisable (et ses sous-espaces propres sont des droites). Attention : condition suffisante, pas nécessaire — l'identité est diagonalisable avec une seule valeur propre.

ImportantMéthode pratique (

n = 2

3

)

Calculer $χ_{A} = det (X I - A)$ et ses racines (les valeurs propres) ;
pour chaque $λ$ : résoudre $(A - λ I) X = 0$ (pivot, première année) — base de $E_{λ}$ ;
comparer $\sum dim E_{λ}$ à $n$ : si égalité, $A = P D P^{- 1}$ avec $P$ = colonnes des vecteurs propres, $D$ = valeurs propres dans le même ordre.

Contrôles gratuits : $\sum m_{λ} \leq n$ , $tr A = \sum λ_{i}$ (avec multiplicités), $det A = \prod λ_{i}$ dès que $χ$ est scindé.

2.6 Trigonalisabilité

Définition 2.19Trigonalisable

$u$ est trigonalisable s'il existe une base où sa matrice est triangulaire (supérieure) ; une matrice est trigonalisable si elle est semblable à une triangulaire. Interprétation géométrique : il existe un « drapeau » de sous-espaces stables emboîtés $F_{1} \subset F_{2} \subset \dots \subset F_{n} = E$ avec $dim F_{k} = k$ . (La pratique de la trigonalisation n'est pas un objectif du programme.)

◆Théorème 2.20Critère de trigonalisabilité

$u trigonalisable ⟺ χ_{u} est scind e ˊ sur K .$

En particulier, sur $C$ , tout endomorphisme est trigonalisable (d'Alembert-Gauss).

◆Théorème 2.21Trace et déterminant d'un trigonalisable

Si $u$ est trigonalisable, de valeurs propres $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ comptées avec multiplicité :

$tr (u) = i = 1 \sum n λ_{i}, det (u) = i = 1 \prod n λ_{i}$

(lire la matrice triangulaire ; trace et déterminant sont invariants de similitude, première année).

2.7 Endomorphismes nilpotents

◆Théorème 2.22Caractérisations des nilpotents

Pour $u \in L (E)$ , $dim E = n$ , il y a équivalence entre :

$u$ est nilpotent : $u^{k} = 0$ pour un $k \geq 1$ (le plus petit tel $k$ est l'indice de nilpotence) ;
$u$ est trigonalisable avec $0$ pour seule valeur propre ;
$χ_{u} = X^{n}$ .

De plus, l'indice de nilpotence est majoré par $n = dim E$ .

Démonstration (Éléments de démonstration)

$(1) \Rightarrow$ : si $u^{k} = 0$ , le polynôme $X^{k}$ annule $u$ , donc toute valeur propre (dans $C$ ) vérifie $λ^{k} = 0$ : $Sp_{C} (u) = {0}$ et $χ_{u} = X^{n}$ (scindé !), d'où la trigonalisabilité avec des zéros sur la diagonale. Réciproquement, une matrice triangulaire stricte $T$ vérifie $T^{n} = 0$ (chaque produit décale la diagonale de zéros). La majoration de l'indice en découle : $u^{n} = 0$ dès que $u$ est nilpotent — on le retrouvera avec le polynôme minimal, qui divise $X^{n}$ .

2.8 Polynômes d'un endomorphisme

Définition 2.23L'algèbre

K [u]

, l'idéal annulateur, le polynôme minimal

Pour $u \in L (E)$ , l'application $P \mapsto P (u)$ est un morphisme d'algèbres de $K [X]$ dans $L (E)$ (chapitre 1). Son image est la sous-algèbre commutative $K [u]$ ; son noyau, l'idéal annulateur de $u$ , est un idéal non nul de $K [X]$ (dimension finie, chapitre 1) : son générateur unitaire est le polynôme minimal $μ_{u}$ (notations $π_{u}, μ_{u}$ ; de même $μ_{M}$ pour une matrice).

◆Théorème 2.24Base de

K [u]

Si $d = de g μ_{u}$ , alors $(id, u, u^{2}, \dots, u^{d - 1})$ est une base de $K [u]$ — en particulier $dim K [u] = de g μ_{u}$ .

Démonstration

Génératrice : pour tout $P$ , la division euclidienne $P = Q μ_{u} + R$ ( $de g R < d$ ) donne $P (u) = R (u)$ — tout polynôme en $u$ se réduit en degré $< d$ . Libre : une relation $\sum_{k < d} a_{k} u^{k} = 0$ fournirait un polynôme annulateur non nul de degré $< d$ , contredisant la minimalité. (La division euclidienne, une fois encore.)

◆Théorème 2.25Polynômes annulateurs et valeurs propres

Si $u (x) = λ x$ , alors $P (u) (x) = P (λ) x$ pour tout polynôme $P$ (immédiat sur les monômes, puis par linéarité).
Si $P$ annule $u$ , toute valeur propre de $u$ est racine de $P$ (car $P (λ) x = P (u) (x) = 0$ avec $x \neq = 0$ ).
Mieux : les racines de $μ_{u}$ dans $K$ sont exactement les valeurs propres de $u$ .

Démonstration (Démonstration du dernier point)

Toute valeur propre est racine de $μ_{u}$ (point précédent). Réciproquement, si $μ_{u} (λ) = 0$ , écrivons $μ_{u} = (X - λ) Q$ : par minimalité, $Q (u) \neq = 0$ , donc il existe $y$ avec $z = Q (u) (y) \neq = 0$ ; et $(u - λ id) (z) = μ_{u} (u) (y) = 0$ : $z$ est un vecteur propre pour $λ$ .

2.9 Lemme de décomposition des noyaux

◆Théorème 2.26Lemme des noyaux

Si $P_{1}, \dots, P_{r} \in K [X]$ sont deux à deux premiers entre eux, de produit $P = P_{1} \dots P_{r}$ , alors :

$Ker (P (u)) = i = 1 ⨁ r Ker (P_{i} (u)) .$

Démonstration (Démonstration pour

r = 2

(le cas général s'en déduit par récurrence))

Soit $P = P_{1} P_{2}$ , $P_{1} \land P_{2} = 1$ : Bézout (chapitre 1 !) fournit $U_{1} P_{1} + U_{2} P_{2} = 1$ , donc

$U_{1} (u) P_{1} (u) + U_{2} (u) P_{2} (u) = id .$

Somme : pour $x \in Ker P (u)$ , posons $x_{2} = U_{1} (u) P_{1} (u) (x)$ et $x_{1} = U_{2} (u) P_{2} (u) (x)$ : alors $x = x_{1} + x_{2}$ , et $P_{1} (u) (x_{1}) = U_{2} (u) P (u) (x) = 0$ (les polynômes en $u$ commutent !), donc $x_{1} \in Ker P_{1} (u)$ ; de même $x_{2} \in Ker P_{2} (u)$ . Directe : si $x \in Ker P_{1} (u) \cap Ker P_{2} (u)$ , la relation de Bézout appliquée à $x$ donne $x = 0$ . Enfin chaque $Ker P_{i} (u) \subset Ker P (u)$ .

2.10 Polynômes annulateurs et réduction

◆Théorème 2.27Le critère algébrique de diagonalisabilité

Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est diagonalisable ;
$u$ annule un polynôme scindé à racines simples ;
$μ_{u}$ est scindé à racines simples.

Démonstration

$(2) \Rightarrow (1)$ : si $P = \prod_{i} (X - λ_{i})$ (racines distinctes) annule $u$ , le lemme des noyaux donne

$E = Ker P (u) = i ⨁ Ker (u - λ_{i} id) :$

$E$ est somme directe de sous-espaces propres (ou nuls) — diagonalisable. $(1) \Rightarrow (3)$ : si $u$ est diagonalisable de spectre ${λ_{1}, \dots, λ_{p}}$ , le polynôme $\prod (X - λ_{i})$ annule $u$ (il annule chaque vecteur propre), donc $μ_{u}$ le divise ; et toutes les valeurs propres sont racines de $μ_{u}$ : égalité, scindé à racines simples. $(3) \Rightarrow (2)$ est clair.

◆Théorème 2.28Endomorphisme induit

Si $F$ est stable par $u$ , le polynôme minimal de l'induit $u_{F}$ divise $μ_{u}$ ( $μ_{u}$ annule aussi $u_{F}$ ). En conséquence : tout endomorphisme induit par un endomorphisme diagonalisable sur un sous-espace stable est diagonalisable ( $μ_{u_{F}}$ divise un polynôme scindé à racines simples, donc l'est aussi) — un résultat presque inaccessible par la voie géométrique, immédiat par la voie algébrique.

◆Théorème 2.29Critère algébrique de trigonalisabilité

$u$ est trigonalisable si et seulement si $u$ annule un polynôme scindé, si et seulement si $μ_{u}$ est scindé. (Traductions matricielles immédiates.)

2.11 Théorème de Cayley-Hamilton et sous-espaces caractéristiques

◆Théorème 2.30Théorème de Cayley-Hamilton

Le polynôme caractéristique annule son endomorphisme :

$χ_{u} (u) = 0 — en particulier, μ_{u} divise χ_{u}, et de g μ_{u} \leq n .$

(La démonstration n'est pas exigible. Vérification instructive en dimension $2$ : $A^{2} - tr (A) A + det (A) I_{2} = 0$ , calcul direct — exercice 39.)

Définition 2.31Sous-espaces caractéristiques

Supposons $χ_{u}$ scindé : $χ_{u} = \prod_{i = 1}^{p} (X - λ_{i})^{m_{i}}$ (valeurs propres distinctes, multiplicités). Le sous-espace caractéristique associé à $λ_{i}$ est

$N_{i} = Ker ((u - λ_{i} id)^{m_{i}}) \supset E_{λ_{i}} (u) .$

◆Théorème 2.32Décomposition en sous-espaces caractéristiques

Si $χ_{u}$ est scindé :

$E = i = 1 ⨁ p N_{i}, dim N_{i} = m_{i},$

chaque $N_{i}$ est stable par $u$ , et dans une base adaptée la matrice de $u$ est diagonale par blocs, chaque bloc étant triangulaire à diagonale constante $λ_{i}$ :

$Mat (u) = T_{1} ⋱ T_{p}, T_{i} = λ_{i} I_{m_{i}} + (nilpotent triangulaire) .$

Démonstration (Principe)

Les $(X - λ_{i})^{m_{i}}$ sont deux à deux premiers entre eux (racines distinctes), de produit $χ_{u}$ qui annule $u$ (Cayley-Hamilton) : le lemme des noyaux donne $E = ⨁ N_{i}$ . Chaque $N_{i}$ est stable (noyau d'un polynôme en $u$ ) ; l'induit $u_{i}$ sur $N_{i}$ vérifie $(u_{i} - λ_{i} id)^{m_{i}} = 0$ : $u_{i} - λ_{i} id$ est nilpotent, donc trigonalisable à diagonale nulle, et $u_{i}$ se trigonalise à diagonale constante $λ_{i}$ ; on a $χ_{u_{i}} = (X - λ_{i})^{d i m N_{i}}$ , et le produit des $χ_{u_{i}}$ valant $χ_{u}$ , $dim N_{i} = m_{i}$ . Cette décomposition $D + N$ (diagonalisable $+$ nilpotent qui commutent) est l'aboutissement du chapitre : tout endomorphisme à $χ$ scindé est « diagonalisable à un nilpotent près ».

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