Réduction des endomorphismes et des matrices carrées

Cours · mathématiques (MP/MPI), chapitre 2 · MP et MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une matrice symétrique transforme le cercle en ellipse : ses vecteurs propres donnent les axes et ne changent pas de direction.

2.1 Introduction et motivation

Réduire un endomorphisme, c'est trouver une base où sa matrice devient simple — diagonale dans le meilleur des cas, triangulaire sinon. L'enjeu dépasse l'esthétique : calculer $A^{n}$ (systèmes dynamiques discrets, chaînes de Markov), résoudre des systèmes différentiels, comprendre la géométrie d'une transformation — tout devient transparent dans une bonne base. Ce chapitre, qui prolonge l'algèbre linéaire de première année, donne une introduction substantielle au problème de la réduction.

Deux approches s'entrelacent, qu'il convient d'identifier à chaque instant :

l'approche géométrique : sous-espaces stables, valeurs propres, vecteurs propres — on découpe l'espace en morceaux sur lesquels $u$ agit simplement ;
l'approche algébrique : polynômes annulateurs, polynôme minimal, lemme des noyaux — l'algèbre $K [u]$ et les idéaux du chapitre 1 prennent le pouvoir.

Les notions de première année s'étendent sans difficulté à un corps de base quelconque ; pour éviter les subtilités des polynômes en caractéristique non nulle, on suppose que $K$ est un sous-corps de $C$ . Sauf mention contraire, $E$ est un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ .

2.2 Compléments d'algèbre linéaire

2.2.1 Sommes directes d'une famille finie

Définition 2.1Somme directe d'une famille finie

La somme $F_{1} + \dots + F_{p}$ de sous-espaces de $E$ est l'ensemble des $x_{1} + \dots + x_{p}$ , $x_{i} \in F_{i}$ . Elle est directe, notée $⨁_{i = 1}^{p} F_{i}$ , si la décomposition de tout vecteur de la somme est unique — de façon équivalente, si $x_{1} + \dots + x_{p} = 0$ (avec $x_{i} \in F_{i}$ ) entraîne tous les $x_{i}$ nuls. Attention : pour $p \geq 3$ , il ne suffit pas que les $F_{i}$ soient deux à deux d'intersection nulle (trois droites distinctes du plan !).

◆Théorème 2.2Dimension d'une somme

Si $F_{1}, \dots, F_{p}$ sont de dimension finie :

$dim (i = 1 \sum p F_{i}) \leq i = 1 \sum p dim F_{i},$

avec égalité si et seulement si la somme est directe. (Concaténer des bases des $F_{i}$ : la famille obtenue engendre la somme, et elle est libre exactement quand la somme est directe — on obtient alors une base adaptée à la décomposition.)

Proposition 2.3Projecteurs associés, recollement

Soit $E = ⨁_{i = 1}^{p} E_{i}$ .

Les projecteurs associés $p_{i}$ (sur $E_{i}$ parallèlement à $⨁_{j \neq = i} E_{j}$ ) vérifient $p_{i} \circ p_{j} = 0$ pour $i \neq = j$ , $p_{i}^{2} = p_{i}$ et $p_{1} + \dots + p_{p} = id_{E}$ .
Recollement : si $u_{i} \in L (E_{i}, F)$ pour tout $i$ , il existe une et une seule $u \in L (E, F)$ telle que $u_{∣ E_{i}} = u_{i}$ — définir un endomorphisme morceau par morceau est licite (généralisation du cas $p = 2$ de première année).

2.2.2 Matrices par blocs

Définition 2.4Matrices définies par blocs

Une matrice peut être décrite par blocs : $M = (A C B D)$ où $A, B, C, D$ sont des matrices de tailles compatibles. Interprétation géométrique : si $E = E_{1} \oplus E_{2}$ avec une base adaptée, les blocs décrivent les composantes de $u (E_{1})$ et $u (E_{2})$ sur $E_{1}$ et $E_{2}$ ; en particulier

$E_{1} est stable par u ⟺ Mat (u) = (A 0 B D) (bloc C nul),$

et $A$ est alors la matrice de l'endomorphisme induit sur $E_{1}$ .

◆Théorème 2.5Calcul par blocs

Les opérations se font comme si les blocs étaient des scalaires (en respectant tailles et ordre des produits) : combinaison linéaire bloc à bloc, transposition $(A C B D)^{⊤} = (A^{⊤} B^{⊤} C^{⊤} D^{⊤})$ , et produit par blocs (démonstration non exigible) :

$(A C B D) (A^{'} C^{'} B^{'} D^{'}) = (A A^{'} + B C^{'} C A^{'} + D C^{'} A B^{'} + B D^{'} C B^{'} + D D^{'}) .$

Les transvections par blocs ( $L_{i} \leftarrow L_{i} + Λ L_{j}$ par blocs) laissent le déterminant invariant, et :

$det (A 0 B D) = det (A) det (D)$

(déterminant d'une matrice triangulaire par blocs $=$ produit des déterminants des blocs diagonaux ; extension immédiate à plus de deux blocs).

2.3 Éléments propres

2.3.1 Sous-espaces stables, valeurs propres

Définition 2.6Sous-espace stable, endomorphisme induit

Un sous-espace $F$ est stable par $u \in L (E)$ si $u (F) \subset F$ ; $u$ induit alors un endomorphisme $u_{F} \in L (F)$ . En dimension finie, dans une base adaptée à $F$ , la matrice de $u$ est triangulaire par blocs (bloc inférieur gauche nul) — la stabilité se voit sur la matrice.

Définition 2.7Éléments propres

Une droite stable par $u$ est une droite $K x$ ( $x \neq = 0$ ) avec $u (x) = λ x$ : c'est l'équation aux éléments propres. On dit que :

$λ \in K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe $x \neq = 0$ avec $u (x) = λ x$ ;
un tel $x$ (non nul !) est un vecteur propre associé à $λ$ ;
le sous-espace propre associé est $E_{λ} (u) = Ker (u - λ id) \neq = {0}$ (les vecteurs propres, plus le vecteur nul) ;
le spectre $Sp (u)$ est l'ensemble des valeurs propres ( $E$ de dimension finie ; la notion de valeur spectrale est hors programme).

Version matricielle : $M X = λ X$ , $X \neq = 0$ ; mêmes définitions pour $Sp (M)$ .

◆Théorème 2.8La somme des sous-espaces propres est directe

Si $λ_{1}, \dots, λ_{p}$ sont des valeurs propres deux à deux distinctes de $u$ , la somme $E_{λ_{1}} + \dots + E_{λ_{p}}$ est directe. En particulier :

toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre ;
le spectre d'un endomorphisme en dimension $n$ est fini, de cardinal au plus $n$ .

Démonstration

Par récurrence sur $p$ . Soit $x_{1} + \dots + x_{p} = 0$ avec $x_{i} \in E_{λ_{i}}$ . Appliquons $u$ : $\sum λ_{i} x_{i} = 0$ ; retranchons $λ_{p}$ fois la première relation : $\sum_{i < p} (λ_{i} - λ_{p}) x_{i} = 0$ . L'hypothèse de récurrence donne $(λ_{i} - λ_{p}) x_{i} = 0$ , donc $x_{i} = 0$ pour $i < p$ (valeurs propres distinctes !), puis $x_{p} = 0$ .

◆Théorème 2.9Commutation et stabilité

Si $u$ et $v$ commutent ( $uv = v u$ ), alors le noyau, l'image et tout sous-espace propre de $u$ sont stables par $v$ .

Démonstration

Si $u (x) = λ x$ , alors $u (v (x)) = v (u (x)) = λ v (x)$ : $v (x) \in E_{λ} (u)$ (qui contient le cas du noyau, $λ = 0$ ). Pour l'image : $v (u (x)) = u (v (x)) \in Im u$ . (Ce théorème discret est l'outil clé de la « réduction simultanée » : les endomorphismes qui commutent partagent leurs espaces propres.)

Exercices du chapitre

Stabilité, blocs, et inversibilité corrigé
Matrices stochastiques : le spectre dans le disque unité corrigé
La matrice compagnon : $χ_{C} = μ_{C} = P$ corrigé
Les matrices de rang $1$ corrigé
Le théorème de l'image spectrale corrigé
Nilpotence lue sur les traces corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre