Exercices corrigés — Réduction des endomorphismes et des matrices carrées (mathématiques (MP/MPI))

20 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Sommes directes et blocs

• Stabilité, blocs, et inversibilité Exercice de TD

B. Éléments propres

• Matrices stochastiques : le spectre dans le disque unité Exercice de TD
• Les matrices de rang $1$ Exercice de TD
• Le théorème de l'image spectrale Exercice de TD
• uv et vu ont le même spectre Application directe du cours

C. Diagonalisation pratique

• La matrice compagnon : ${\chi }_C={\mu }_C=P$ Exercice de TD

D. Polynômes annulateurs et minimal

• Nilpotence lue sur les traces Exercice de TD
• Le commutant d'une matrice à spectre simple Exercice de TD
• Fabriquer un annulateur scindé à racines simples Exercice de TD
• Codiagonalisation de deux endomorphismes qui commutent Exercice de TD

E. Cayley-Hamilton et sous-espaces caractéristiques

• Problème — La décomposition de Dunford : $u=d+\nu$, existence et unicité Exercice de TD

Niveau ★ — application directe du cours

• Premiers éléments propres Application directe du cours
• Lire un spectre Application directe du cours
• Diagonalisation complète en dimension 3 Application directe du cours

Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

• Le contre-exemple fondamental Application directe du cours
• Puissances par diagonalisation Application directe du cours
• Diagonaliser sans rien calculer Application directe du cours

Niveau ★★★ — approfondissement

• Le lemme des noyaux en action Application directe du cours
• Une matrice nilpotente Application directe du cours
• Décomposition D + N et puissances Application directe du cours

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