Endomorphismes d'un espace euclidien

Cours · mathématiques (MP/MPI), chapitre 3 · MP et MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une isométrie conserve les longueurs : un triangle et son image par une réflexion.

3.1 Introduction et motivation

Que devient la réduction quand l'espace possède un produit scalaire ? Ce chapitre marie les deux acquis majeurs — les espaces euclidiens de première année et la réduction du chapitre 2 — autour d'un double objectif :

approfondir la réduction dans le cadre euclidien, à travers deux familles d'endomorphismes : les autoadjoints (couronnés par le théorème spectral : diagonalisables en base orthonormée) et les isométries (classifiées en dimensions 2 et 3 : rotations et réflexions) ;
introduire les endomorphismes autoadjoints positifs, notamment en vue du calcul différentiel d'ordre 2 (la hessienne d'une fonction en un point critique est symétrique : son signe spectral décidera des extremums).

Dans tout le chapitre, $E$ est un espace euclidien (préhilbertien réel de dimension finie $n$ ) ; la notion de produit scalaire hermitien est hors programme.

3.2 Adjoint d'un endomorphisme

◆Théorème 3.1Représentation des formes linéaires

Pour toute forme linéaire $φ$ sur l'espace euclidien $E$ , il existe un unique vecteur $a \in E$ tel que :

$\forall x \in E, φ (x) = ⟨ a, x ⟩ .$

Démonstration

Soit $(e_{1}, \dots, e_{n})$ une base orthonormée. Existence : poser $a = \sum φ (e_{i}) e_{i}$ ; alors $⟨ a, e_{j} ⟩ = φ (e_{j})$ pour tout $j$ , et les deux formes linéaires coïncident sur une base. Unicité : si $⟨ a - a^{'}, x ⟩ = 0$ pour tout $x$ , prendre $x = a - a^{'}$ : $∥ a - a^{'} ∥^{2} = 0$ . (Toute forme linéaire est un « produit scalaire contre un vecteur fixe » : la dualité devient géométrie.)

◆Théorème 3.2Adjoint

Pour tout $u \in L (E)$ , il existe un unique endomorphisme $u^{*} \in L (E)$ , l'adjoint de $u$ , tel que :

$\forall x, y \in E, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u^{*} (y)⟩ .$

Propriétés : $u \mapsto u^{*}$ est linéaire, $(v \circ u)^{*} = u^{*} \circ v^{*}$ (l'ordre s'inverse !), et le passage à l'adjoint est involutif : $(u^{*})^{*} = u$ .

Démonstration (Construction)

À $y$ fixé, $x \mapsto ⟨ u (x), y ⟩$ est une forme linéaire : le théorème de représentation fournit un unique vecteur, noté $u^{*} (y)$ , tel que $⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u^{*} (y)⟩$ . La linéarité de $u^{*}$ et les propriétés se vérifient par unicité de la représentation (pour la composée : $⟨ v u (x), y ⟩ = ⟨ u (x), v^{*} (y)⟩ = ⟨ x, u^{*} v^{*} (y)⟩$ ).

◆Théorème 3.3Matrice de l'adjoint, stabilité

En base orthonormée : si $A = Mat (u)$ , alors $Mat (u^{*}) = A^{⊤}$ — l'adjoint, c'est la transposée (en base orthonormée seulement !).
Si $F$ est stable par $u$ , alors $F^{⊥}$ est stable par $u^{*}$ .

Démonstration

Matrice : $(Mat u^{*})_{i, j} = ⟨ e_{i}, u^{*} (e_{j})⟩ = ⟨ u (e_{i}), e_{j} ⟩ = a_{j, i}$ (coordonnées $=$ produits scalaires en base orthonormée, première année). Stabilité : soient $y \in F^{⊥}$ et $x \in F$ ; alors $⟨ x, u^{*} (y)⟩ = ⟨ u (x), y ⟩ = 0$ car $u (x) \in F$ : ainsi $u^{*} (y) ⊥ F$ .

3.3 Matrices orthogonales

Définition 3.4Matrice orthogonale

$A \in M_{n} (R)$ est orthogonale si $A^{⊤} A = I_{n}$ (de façon équivalente : $A$ inversible avec $A^{- 1} = A^{⊤}$ ). Caractérisations : $A$ est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment une famille orthonormée de $R^{n}$ — si et seulement si ses lignes en forment une ( $A A^{⊤} = I_{n}$ , inversible d'un seul côté suffit).

Proposition 3.5Interprétation, groupe orthogonal

Les matrices orthogonales sont exactement les matrices de passage entre bases orthonormées. Deux matrices $A$ , $B$ sont orthogonalement semblables si $B = P^{⊤} A P$ avec $P$ orthogonale (même endomorphisme dans deux bases orthonormées).
Les matrices orthogonales forment un groupe, le groupe orthogonal $O_{n} (R)$ (ou $O (n)$ ).
Si $A$ est orthogonale, $det A = \pm 1$ ( $det (A^{⊤} A) = (det A)^{2} = 1$ ) : $A$ est positive (ou directe) si $det A = 1$ — elles forment le sous-groupe $SO_{n} (R)$ (ou $SO (n)$ ) — négative (ou indirecte) si $det A = - 1$ .

Exercices du chapitre

Les quatre sous-espaces de l'adjoint, et le rang de Gram corrigé
La stabilité de l'orthogonal, moteur du chapitre corrigé
Orthogonale et symétrique : les symétries orthogonales corrigé
Polarisation, et la linéarité automatique corrigé
Deux réflexions font une rotation d'angle double corrigé
Toute isométrie se réduit corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre