Endomorphismes d'un espace euclidien

Pour toute forme linéaire $\phi$ sur l'espace euclidien $E$, il existe un unique vecteur $a\in E$ tel que :

$$\forall x\in E,\phi (x)=⟨a,x⟩.$$

Pour tout $u\in \mathcal{L}(E)$, il existe un unique endomorphisme $u^{\ast }\in \mathcal{L}(E)$, l'adjoint de $u$, tel que :

$$\forall x,y\in E,\boxed{⟨u(x),y⟩=⟨x,u^{\ast }(y)⟩.}$$

Propriétés : $u\mapsto u^{\ast }$ est linéaire, $(v\circ u{)}^{\ast }=u^{\ast }\circ v^{\ast }$ (l'ordre s'inverse !), et le passage à l'adjoint est involutif : $(u^{\ast }{)}^{\ast }=u$.

• En base orthonormée : si $A=\mathrm{Mat}(u)$, alors $\mathrm{Mat}(u^{\ast })=A^{\top }$ — l'adjoint, c'est la transposée (en base orthonormée seulement !).
• Si $F$ est stable par $u$, alors $F^{\perp }$ est stable par $u^{\ast }$.

• Les matrices orthogonales sont exactement les matrices de passage entre bases orthonormées. Deux matrices $A$, $B$ sont orthogonalement semblables si $B=P^{\top }AP$ avec $P$ orthogonale (même endomorphisme dans deux bases orthonormées).
• Les matrices orthogonales forment un groupe, le groupe orthogonal ${\mathrm{O}}_n(\mathbb{R})$ (ou $\mathrm{O}(n)$).
• Si $A$ est orthogonale, $\det A=\pm 1$ ($\det (A^{\top }A)=(\det A{)}^2=1$) : $A$ est positive (ou directe) si $\det A=1$ — elles forment le sous-groupe ${\mathrm{SO}}_n(\mathbb{R})$ (ou $\mathrm{SO}(n)$) — négative (ou indirecte) si $\det A=-1$.

Pour $u\in \mathcal{L}(E)$, il y a équivalence entre :

• $u$ est une isométrie vectorielle (conservation des normes) ;
• $u$ conserve le produit scalaire : $⟨u(x),u(y)⟩=⟨x,y⟩$ pour tous $x,y$ ;
• l'image par $u$ d'une (de toute) base orthonormée est une base orthonormée ;
• $u$ est inversible et $\boxed{u^{\ast }=u^{-1}}$   (matriciellement, en base orthonormée : $A^{\top }A=I_n$ — les isométries sont les endomorphismes à matrice orthogonale en base orthonormée).

Les isométries de $E$ forment un groupe, noté $\mathrm{O}(E)$. Le déterminant d'une isométrie vaut $\pm 1$ : elle est directe ($\det =1$, sous-groupe $\mathrm{SO}(E)$, le groupe spécial orthogonal) ou indirecte ($\det =-1$ — par exemple les réflexions).

Les matrices orthogonales de taille $2$ sont exactement :

$$R(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)(\text{directes, }\det =1),$$

$$S(\theta )=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \end{array}\right)(\text{indirectes, }\det =-1).$$

Soit $E$ un plan euclidien orienté.

• Les isométries directes sont les rotations vectorielles : dans toute base orthonormée directe, la matrice de la rotation d'angle $\theta$ est $R(\theta )$ — ce qui définit, sans soulever de difficulté, la mesure de l'angle orienté entre un vecteur unitaire et son image (et plus généralement entre deux vecteurs non nuls).
• L'application $t\mapsto R(t)$ est un morphisme surjectif de $(\mathbb{R},+)$ sur ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$, de noyau $2\pi \mathbb{Z}$ — c'est l'addition des angles : $R(t)R(t^{\prime })=R(t+t^{\prime })$. Il induit un isomorphisme de $\mathbb{U}$ sur ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$ ($e^{it}\mapsto R(t)$ : le cercle unité du chapitre des complexes, première année). En particulier, ${\mathrm{SO}}_2(\mathbb{R})$ est commutatif.
• Classification des isométries du plan : les directes sont les rotations ; les indirectes sont les réflexions ($S(\theta )$ est la symétrie orthogonale par rapport à la droite d'angle polaire $\theta /2$ — elle vérifie $S(\theta {)}^2=I_2$, et ses valeurs propres sont $1$ et $-1$).

Si $u$ est une isométrie et $F$ un sous-espace stable par $u$, alors $F^{\perp }$ est stable par $u$.

Pour toute isométrie $u$ de $E$, il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale par blocs :

$$\mathrm{Mat}(u)=\mathrm{diag}(\underset{\text{invariants}}{\underbrace{1,\dots ,1}},\underset{\text{retourneˊs}}{\underbrace{-1,\dots ,-1}},R({\theta }_1),\dots ,R({\theta }_k))$$

(blocs $1\times 1$ valant $\pm 1$, blocs $2\times 2$ de rotation $R({\theta }_j)$, ${\theta }_j\not\equiv 0[\pi ]$). Principe : un sous-espace stable de dimension $1$ ou $2$ existe toujours ; son orthogonal est stable (théorème précédent) et l'on recommence — récurrence sur la dimension.

Soit $u$ une isométrie directe d'un espace euclidien orienté de dimension $3$, $u\ne \mathrm{id}$. Il existe une base orthonormée directe $(e_1,e_2,e_3)$ dans laquelle

$$\mathrm{Mat}(u)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos \theta & -\sin \theta \\ 0& \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right):$$

$u$ est la rotation d'axe $\mathrm{Vect}(e_1)$ (la droite des vecteurs invariants) et d'angle $\theta$ — la forme réduite justifie la terminologie. En pratique : $\mathrm{tr}(u)=1+2\cos \theta$ donne l'angle au signe près. (Le calcul systématique des éléments géométriques d'un élément de ${\mathrm{SO}}_3(\mathbb{R})$ n'est pas un attendu du programme.)

Les projecteurs orthogonaux (projections sur $F$ parallèlement à $F^{\perp }$, première année) sont exactement les projecteurs autoadjoints.

Soit $u\in \mathcal{L}(E)$, $E$ euclidien. Il y a équivalence entre :

• $u$ est autoadjoint ;
• $E$ est somme directe orthogonale des sous-espaces propres de $u$ ;
• il existe une base orthonormée de vecteurs propres de $u$ (diagonalisation en base orthonormée).

Version matricielle : $A\in {\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$ (symétrique réelle) si et seulement si $A$ est orthogonalement diagonalisable :

$$A=PD{P}^{\top },P\in {\mathrm{O}}_n(\mathbb{R}),D\text{ diagonale reˊelle.}$$

Pour $u$ autoadjoint :

$$u\in {\mathcal{S}}^{+}(E)⟺\mathrm{Sp}(u)\subset {\mathbb{R}}_{+},u\in {\mathcal{S}}^{++}(E)⟺\mathrm{Sp}(u)\subset {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }.$$

(En particulier, défini positif $⟺$ positif et inversible.)