Topologie des espaces vectoriels normés

Une norme sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ est une application $N=\Vert \cdot \Vert :E\to {\mathbb{R}}_{+}$ vérifiant :

• séparation : $\Vert x\Vert =0⟺x=0$ ;
• homogénéité : $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert$ pour tous $\lambda \in \mathbb{K}$, $x\in E$ ;
• inégalité triangulaire : $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$.

Le couple $(E,\Vert \cdot \Vert )$ est un espace vectoriel normé ; un vecteur de norme $1$ est unitaire. La distance associée est $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ (elle vérifie l'inégalité triangulaire $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$, et la seconde forme $|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |\le \Vert x-y\Vert$).

Pour $a\in E$ et $r>0$ : boule ouverte $B(a,r)=\{x:\Vert x-a\Vert <r\}$, boule fermée $\overline{B}(a,r)=\{x:\Vert x-a\Vert \le r\}$, sphère $S(a,r)=\{x:\Vert x-a\Vert =r\}$. Une partie (une suite, une fonction) est bornée si elle est incluse dans une boule.

Une partie $C$ d'un espace vectoriel réel est convexe si elle contient tout segment joignant deux de ses points : $\forall x,y\in C,\forall t\in [0,1],(1-t)x+ty\in C$. Les boules (ouvertes ou fermées) sont convexes : si $\Vert x-a\Vert \le r$ et $\Vert y-a\Vert \le r$, alors $\Vert (1-t)x+ty-a\Vert \le (1-t)\Vert x-a\Vert +t\Vert y-a\Vert \le r$ (inégalités strictes pour la boule ouverte).

La suite $(u_n)$ de $E$ converge vers $\ell \in E$ si $\Vert u_n-\ell \Vert \to 0$ (dans $\mathbb{R}$). La limite est alors unique, la suite est bornée, et les opérations algébriques passent à la limite ($u_n+v_n\to \ell +{\ell }^{\prime }$, ${\lambda }_n{u}_n\to \lambda \ell$ pour ${\lambda }_n\to \lambda$ dans $\mathbb{K}$). Dans un produit fini, une suite converge si et seulement si chaque composante converge.

Une valeur d'adhérence de $(u_n)$ est la limite d'une suite extraite convergente. Une suite convergente a une unique valeur d'adhérence (sa limite) ; par contraposée : une suite ayant au moins deux valeurs d'adhérence diverge (l'outil de divergence le plus maniable : $(-1{)}^n$ adhère à $1$ et $-1$).

Deux normes $N$ et $N^{\prime }$ sur $E$ sont équivalentes s'il existe $c,C>0$ tels que

$$cN(x)\le N^{\prime }(x)\le CN(x)\text{pour tout }x\in E.$$

Des normes équivalentes définissent les mêmes parties bornées, les mêmes suites convergentes (avec les mêmes limites) — et, plus loin, la même topologie.

• Une partie $U$ de $E$ est un ouvert si chacun de ses points est le centre d'une boule ouverte incluse dans $U$. Une partie $V$ est un voisinage de $a$ si $V$ contient une boule ouverte centrée en $a$.
• Stabilité : toute réunion (quelconque) d'ouverts est un ouvert ; toute intersection finie d'ouverts est un ouvert (le « finie » est essentiel : ${\bigcap }_n\left]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right[=\{0\}$). Une boule ouverte est un ouvert ; un produit fini d'ouverts est un ouvert.
• Une partie $F$ est un fermé si son complémentaire est ouvert. Stabilité : intersection quelconque, réunion finie. Une boule fermée, une sphère, sont fermées ; un produit fini de fermés est fermé.

Soit $A\subset E$. Un point $a$ est intérieur à $A$ si $A$ est un voisinage de $a$ ; il est adhérent à $A$ si toute boule $B(a,r)$ rencontre $A$. L'intérieur $\mathring{A}$ (le plus grand ouvert inclus dans $A$), l'adhérence $\overline{A}$ (le plus petit fermé contenant $A$) et la frontière $\partial A=\overline{A}\setminus \mathring{A}$ s'en déduisent. $A$ est dense dans $E$ si $\overline{A}=E$.

Soit $A\subset E$. Une partie $U\subset A$ est un ouvert relatif de $A$ si $U$ est voisinage relatif de chacun de ses points (un voisinage relatif de $a$ contient l'intersection avec $A$ d'une boule centrée en $a$). Caractérisation : les ouverts relatifs de $A$ sont les $\Omega \cap A$, $\Omega$ ouvert de $E$ ; les fermés relatifs (complémentaires dans $A$ des ouverts relatifs) sont les $F\cap A$, $F$ fermé de $E$, caractérisés séquentiellement par : toute suite de la partie convergeant dans $A$ a sa limite dans la partie. (Exemple : $[0,\frac{1}{2}[$ est un ouvert relatif de $[0,1]$ sans être ouvert dans $\mathbb{R}$.)

Soient $f:A\subset E\to F$ et $a$ adhérent à $A$. On dit que $f(x)\to \ell$ quand $x\to a$ si : $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$, $\Vert x-a{\Vert }_E\le \delta$ et $x\in A$ impliquent $\Vert f(x)-\ell {\Vert }_F\le \epsilon$. Caractérisation séquentielle : pour toute suite $u_n\to a$ (dans $A$), $f(u_n)\to \ell$. Extensions naturelles : limite quand $\Vert x\Vert \to +\infty$ ; quand $x\to \pm \infty$ ($A\subset \mathbb{R}$) ; limite infinie pour $f$ réelle. À valeurs dans un produit fini : convergence composante par composante.

$f$ est continue en $a\in A$ si $f(x)\to f(a)$ quand $x\to a$ ; continue sur $A$ si elle l'est en tout point. Opérations algébriques et composition : comme en première année.

Pour $u\in {\mathcal{L}}_c(E,F)$, la norme subordonnée (ou norme d'opérateur) est

$$|||u|||=\Vert u{\Vert }_{\mathrm{op}}=\underset{\Vert x{\Vert }_E\le 1}{\sup }\Vert u(x){\Vert }_F=\underset{x\ne 0}{\sup }\frac{\Vert u(x){\Vert }_F}{\Vert x{\Vert }_E}$$

— la plus petite constante $C$ admissible dans l'inégalité linéaire : $\Vert u(x)\Vert \le |||u|||\Vert x\Vert$ pour tout $x$. C'est une norme sur ${\mathcal{L}}_c(E,F)$, et elle est sous-multiplicative :

$$|||v\circ u|||\le |||v|||\cdot |||u|||$$

(enchaîner les deux inégalités linéaires). Adaptation immédiate aux matrices : $|||A|||={\sup }_{\Vert X\Vert \le 1}\Vert AX\Vert$, sous-multiplicative pour le produit matriciel.

Une partie $K\subset E$ est compacte si toute suite d'éléments de $K$ admet une valeur d'adhérence dans $K$ (une suite extraite convergeant dans $K$). (La propriété de Borel-Lebesgue est hors programme.)

Un chemin (ou arc) joignant $a$ à $b$ dans une partie $A$ est une application continue $\gamma :[0,1]\to A$ avec $\gamma (0)=a$, $\gamma (1)=b$. La partie $A$ est connexe par arcs si deux points quelconques de $A$ peuvent être joints par un chemin tracé dans $A$ — « $A$ est d'un seul tenant ». La relation « être joignables dans $A$ » est une relation d'équivalence ; ses classes sont les composantes connexes par arcs de $A$.