Topologie des espaces vectoriels normés

Une norme sur un $\mathbb{K}$-espace vectoriel $E$ est une application $N=\Vert \cdot \Vert :E\to {\mathbb{R}}_{+}$ vérifiant :

• séparation : $\Vert x\Vert =0⟺x=0$ ;
• homogénéité : $\Vert \lambda x\Vert =|\lambda |\Vert x\Vert$ pour tous $\lambda \in \mathbb{K}$, $x\in E$ ;
• inégalité triangulaire : $\Vert x+y\Vert \le \Vert x\Vert +\Vert y\Vert$.

Le couple $(E,\Vert \cdot \Vert )$ est un espace vectoriel normé ; un vecteur de norme $1$ est unitaire. La distance associée est $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ (elle vérifie l'inégalité triangulaire $d(x,z)\le d(x,y)+d(y,z)$, et la seconde forme $|\Vert x\Vert -\Vert y\Vert |\le \Vert x-y\Vert$).

Pour $a\in E$ et $r>0$ : boule ouverte $B(a,r)=\{x:\Vert x-a\Vert <r\}$, boule fermée $\overline{B}(a,r)=\{x:\Vert x-a\Vert \le r\}$, sphère $S(a,r)=\{x:\Vert x-a\Vert =r\}$. Une partie (une suite, une fonction) est bornée si elle est incluse dans une boule.

Une partie $C$ d'un espace vectoriel réel est convexe si elle contient tout segment joignant deux de ses points : $\forall x,y\in C,\forall t\in [0,1],(1-t)x+ty\in C$. Les boules (ouvertes ou fermées) sont convexes : si $\Vert x-a\Vert \le r$ et $\Vert y-a\Vert \le r$, alors $\Vert (1-t)x+ty-a\Vert \le (1-t)\Vert x-a\Vert +t\Vert y-a\Vert \le r$ (inégalités strictes pour la boule ouverte).

La suite $(u_n)$ de $E$ converge vers $\ell \in E$ si $\Vert u_n-\ell \Vert \to 0$ (dans $\mathbb{R}$). La limite est alors unique, la suite est bornée, et les opérations algébriques passent à la limite ($u_n+v_n\to \ell +{\ell }^{\prime }$, ${\lambda }_n{u}_n\to \lambda \ell$ pour ${\lambda }_n\to \lambda$ dans $\mathbb{K}$). Dans un produit fini, une suite converge si et seulement si chaque composante converge.

Une valeur d'adhérence de $(u_n)$ est la limite d'une suite extraite convergente. Une suite convergente a une unique valeur d'adhérence (sa limite) ; par contraposée : une suite ayant au moins deux valeurs d'adhérence diverge (l'outil de divergence le plus maniable : $(-1{)}^n$ adhère à $1$ et $-1$).

Deux normes $N$ et $N^{\prime }$ sur $E$ sont équivalentes s'il existe $c,C>0$ tels que

$$cN(x)\le N^{\prime }(x)\le CN(x)\text{pour tout }x\in E.$$

Des normes équivalentes définissent les mêmes parties bornées, les mêmes suites convergentes (avec les mêmes limites) — et, plus loin, la même topologie.