Séries numériques et vectorielles

Cours complet · mathématiques (MP/MPI), chapitre 5 · MP et MPI (2e année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>5.1 Introduction et motivation

Les séries de première année reviennent, avec un double objectif :

consolider les acquis numériques, en particulier à travers le calcul asymptotique : estimer des restes, des sommes partielles, sommer des équivalents — les techniques qui transforment « la série converge » en « la série converge à telle vitesse » ;
étendre la notion de série au cadre des espaces vectoriels normés de dimension finie (chapitre 4) : séries de vecteurs, de matrices — avec en ligne de mire la série exponentielle $\sum \frac{A ^{n}}{n !}$ , future clef des équations différentielles linéaires.

L'esprit du programme : les séries sont avant tout un outil. L'étude des séries semi-convergentes n'est pas un objectif — la convergence absolue est reine, et trois techniques nouvelles ou approfondies l'accompagnent : la comparaison série-intégrale (version restes), la règle de d'Alembert, et la sommation des relations de comparaison, dont le théorème de Cesàro est un cas particulier.

5.2 Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie

Définition 5.1Séries vectorielles

Soit $(u_{n})$ une suite d'un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie. La série $\sum u_{n}$ est la suite des sommes partielles $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ ; elle converge si $(S_{N})$ converge dans $E$ (chapitre 4), et sa somme est alors notée $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ , avec les restes $R_{N} = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_{n} \to 0$ . La somme est linéaire. Comme en première année :

le terme général d'une série convergente tend vers $0$ (sinon : divergence grossière) ;
lien suite-série : la suite $(u_{n})$ et la série télescopique $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ sont de même nature.

(L'équivalence des normes en dimension finie rend ces notions intrinsèques ; la convergence équivaut à celle de chaque coordonnée dans une base.)

◆Théorème 5.2Convergence absolue

La série $\sum u_{n}$ est absolument convergente si la série numérique $\sum ∥ u_{n} ∥$ converge. Théorème : dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toute série absolument convergente est convergente, et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∥ u_{n} ∥$ . (Le critère de Cauchy est hors programme.)

Démonstration

Fixons une base et notons $u_{n} = (u_{n}^{(1)}, \dots, u_{n}^{(d)})$ en coordonnées. Par équivalence des normes, $u_{n}^{(i)} \leq C ∥ u_{n} ∥$ pour tout $i$ : chaque série de coordonnées $\sum u_{n}^{(i)}$ est absolument convergente dans $K$ , donc convergente (première année). La série converge alors coordonnée par coordonnée (chapitre 4). L'inégalité de la somme s'obtient par passage à la limite dans l'inégalité triangulaire.

Exemple 5.3Séries géométriques de matrices : la série de Neumann

Soit $A \in M_{d} (K)$ avec $∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣ < 1$ pour une norme sous-multiplicative (chapitre 4). Alors $∥ A^{n} ∥ \leq ∣ ∣ ∣ A ∣ ∣ ∣^{n}$ : la série $\sum A^{n}$ est absolument convergente, donc convergente, et sa somme inverse $I - A$ :

$(I - A) n = 0 \sum N A^{n} = I - A^{N + 1} N \to \infty I, d’o u ˋ n = 0 \sum + \infty A^{n} = (I - A)^{- 1} .$

La série géométrique de première année, promue aux matrices — c'est l'outil des perturbations : $I - A$ est inversible dès que $A$ est « petite ».

5.3 Compléments sur les séries numériques

5.3.1 Comparaison série-intégrale : sommes partielles et restes

◆Théorème 5.4Comparaison série-intégrale

Soit $f$ monotone (disons décroissante, positive) sur $[n_{0}, + \infty [$ . L'encadrement des rectangles (première année) :

$\int_{n}^{n + 1} f (t) d t \leq f (n) \leq \int_{n - 1}^{n} f (t) d t$

permet, en sommant sur la plage utile :

de décider de la nature de $\sum f (n)$ (celle de l'intégrale) ;
d'estimer les sommes partielles d'une série divergente : $k = n_{0} \sum n f (k) \approx \int_{n_{0}}^{n} f (t) d t$ ;
d'estimer les restes d'une série convergente :

$\int_{n + 1}^{+ \infty} f (t) d t \leq R_{n} = k = n + 1 \sum + \infty f (k) \leq \int_{n}^{+ \infty} f (t) d t .$

Exemple 5.5

Pour $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ : $\int_{n + 1}^{\infty} \frac{d t}{t ^{2}} \leq R_{n} \leq \int_{n}^{\infty} \frac{d t}{t ^{2}}$ , soit $\frac{1}{n + 1} \leq R_{n} \leq \frac{1}{n}$ : $R_{n} \sim \frac{1}{n}$ — convergence lente (mille termes pour trois décimales). Pour $\sum \frac{1}{n}$ (divergente) : $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} \sim 2 n$ .

5.3.2 Règle de d'Alembert

◆Théorème 5.6Règle de d'Alembert

Soit $(u_{n})$ une suite de réels strictement positifs telle que $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \to ℓ \in [0, + \infty]$ .

Si $ℓ < 1$ : la série $\sum u_{n}$ converge ;
si $ℓ > 1$ : la série diverge grossièrement ( $u_{n} \to + \infty$ ) ;
si $ℓ = 1$ : on ne peut pas conclure ( $\sum \frac{1}{n}$ diverge, $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ converge — les deux ont $ℓ = 1$ ).

Démonstration

Si $ℓ < 1$ , choisissons $q \in] ℓ, 1 [$ : à partir d'un rang $N$ , $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}} \leq q$ , donc $u_{n} \leq u_{N} q^{n - N}$ : domination par une série géométrique convergente. Si $ℓ > 1$ : choisissons $q \in] 1, ℓ [$ ; à partir d'un rang $N$ , $u_{n + 1} \geq q u_{n}$ avec $q > 1$ , donc $u_{n} \geq u_{N} q^{n - N} \to + \infty$ — divergence grossière. (La règle est taillée pour les termes « produits » : factorielles, puissances — et elle pilotera le rayon de convergence des séries entières.)

5.3.3 Sommation des relations de comparaison

◆Théorème 5.7Sommation des relations de comparaison

Soient $(u_{n})$ une suite numérique et $(v_{n})$ une suite de signe constant à partir d'un certain rang (la suite de référence).

Cas convergent (si $\sum v_{n}$ converge) : les relations se transmettent aux restes :

$u_{n} = O (v_{n}) \Rightarrow R_{n} (u) = O (R_{n} (v)), u_{n} = o (v_{n}) \Rightarrow R_{n} (u) = o (R_{n} (v)),$

$u_{n} \sim v_{n} \Rightarrow \sum u_{n} converge et R_{n} (u) \sim R_{n} (v) .$

Cas divergent (si $\sum v_{n}$ diverge) : les relations se transmettent aux sommes partielles :

$u_{n} = O (v_{n}) \Rightarrow S_{n} (u) = O (S_{n} (v)), u_{n} = o (v_{n}) \Rightarrow S_{n} (u) = o (S_{n} (v)),$

$u_{n} \sim v_{n} \Rightarrow \sum u_{n} diverge et S_{n} (u) \sim S_{n} (v) .$

En bref : on peut sommer les $O$ , les $o$ et les équivalents — côté restes si ça converge, côté sommes partielles si ça diverge — pourvu que la référence garde un signe constant.

◆Théorème 5.8Théorème de Cesàro

Si $u_{n} \to ℓ$ (limite finie ou infinie), alors la suite des moyennes converge vers la même limite :

$\frac{u _{1} + u _{2} + \dots + u _{n}}{n} n \to \infty ℓ .$

(C'est la sommation des relations de comparaison appliquée à la référence $v_{n} = 1$ , divergente : si $ℓ \neq = 0$ fini, $u_{n} \sim ℓ$ donne $S_{n} (u) \sim ℓ n$ ; si $ℓ = 0$ , $u_{n} = o (1)$ donne $S_{n} (u) = o (n)$ ; si $ℓ = + \infty$ , comparer à des constantes arbitraires. La réciproque est fausse : $(- 1)^{n}$ a des moyennes qui tendent vers $0$ sans converger.)

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