Séries numériques et vectorielles

Cours · mathématiques (MP/MPI), chapitre 5 · MP et MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La série géométrique 1/2 + 1/4 + 1/8 + … remplit peu à peu un carré d'aire 1.

5.1 Introduction et motivation

Les séries de première année reviennent, avec un double objectif :

consolider les acquis numériques, en particulier à travers le calcul asymptotique : estimer des restes, des sommes partielles, sommer des équivalents — les techniques qui transforment « la série converge » en « la série converge à telle vitesse » ;
étendre la notion de série au cadre des espaces vectoriels normés de dimension finie (chapitre 4) : séries de vecteurs, de matrices — avec en ligne de mire la série exponentielle $\sum \frac{A ^{n}}{n !}$ , future clef des équations différentielles linéaires.

L'esprit du programme : les séries sont avant tout un outil. L'étude des séries semi-convergentes n'est pas un objectif — la convergence absolue est reine, et trois techniques nouvelles ou approfondies l'accompagnent : la comparaison série-intégrale (version restes), la règle de d'Alembert, et la sommation des relations de comparaison, dont le théorème de Cesàro est un cas particulier.

5.2 Séries à valeurs dans un espace normé de dimension finie

Définition 5.1Séries vectorielles

Soit $(u_{n})$ une suite d'un espace vectoriel normé $E$ de dimension finie. La série $\sum u_{n}$ est la suite des sommes partielles $S_{N} = \sum_{n = 0}^{N} u_{n}$ ; elle converge si $(S_{N})$ converge dans $E$ (chapitre 4), et sa somme est alors notée $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ , avec les restes $R_{N} = \sum_{n = N + 1}^{+ \infty} u_{n} \to 0$ . La somme est linéaire. Comme en première année :

le terme général d'une série convergente tend vers $0$ (sinon : divergence grossière) ;
lien suite-série : la suite $(u_{n})$ et la série télescopique $\sum (u_{n + 1} - u_{n})$ sont de même nature.

(L'équivalence des normes en dimension finie rend ces notions intrinsèques ; la convergence équivaut à celle de chaque coordonnée dans une base.)

◆Théorème 5.2Convergence absolue

La série $\sum u_{n}$ est absolument convergente si la série numérique $\sum ∥ u_{n} ∥$ converge. Théorème : dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toute série absolument convergente est convergente, et $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} \leq \sum_{n = 0}^{+ \infty} ∥ u_{n} ∥$ . (Le critère de Cauchy est hors programme.)

Exercices du chapitre

Séries vectorielles : ce que la dimension finie autorise corrigé
L'exponentielle d'une matrice, et l'hypothèse de commutation corrigé
Une convergence arbitrairement lente corrigé
Le lien suite-série, machine à développements asymptotiques corrigé
d'Alembert aux frontières corrigé
Sommer les équivalents, et l'hypothèse qu'on oublie corrigé

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