Suites et séries de fonctions, séries entières

Si les $u_n$ sont continues en $a\in A$ et si $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur $A$, alors $u$ est continue en $a$. En particulier, toute limite uniforme de fonctions continues est continue.

Le théorème s'applique dès que la convergence uniforme a lieu localement — en particulier sur tout segment de l'intervalle d'étude. En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur des intervalles adaptés à la situation : c'est le réflexe central du chapitre (la continuité est une propriété locale, l'uniformité globale est souvent fausse et toujours inutile).

Soit $(u_n)$ convergeant uniformément vers $u$ sur $A$, et $a$ adhérent à $A$. Si chaque $u_n$ admet une limite ${\ell }_n$ en $a$, alors $({\ell }_n)$ converge vers un $\ell$, et

$$u(x)\underset{x\to a}{\to }\ell \text{— autrement dit :}\underset{x\to a}{\lim }\underset{n\to \infty }{\lim }{u}_n(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\underset{x\to a}{\lim }{u}_n(x).$$

(Démonstration hors programme ; adaptation aux cas $a=\pm \infty$ lorsque $A\subset \mathbb{R}$.) L'uniformité autorise l'échange des limites — sans elle, l'échange est un pari perdu d'avance.

Soit $(u_n)$ une suite de fonctions continues sur un intervalle $I$, à valeurs dans $F$, convergeant uniformément sur tout segment de $I$ vers $u$, et $a\in I$. Alors les primitives $U_n(x)={\int }_a^x{u}_n$ convergent uniformément sur tout segment vers $U(x)={\int }_a^{x}u$. En particulier, si $(u_n)$ converge uniformément sur le segment $[a,b]$ :

$${\int }_a^b{u}_n\underset{n\to \infty }{\to }{\int }_a^{b}u.$$

Soit $(u_n)$ une suite de fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un intervalle $I$, à valeurs dans $F$. Si :

• $(u_n)$ converge simplement sur $I$ vers $u$,
• $(u_n^{\prime })$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers une fonction $v$,

alors $(u_n)$ converge uniformément sur tout segment vers $u$, $u$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $\boxed{u^{\prime }=v}$. Extension ${\mathcal{C}}^k$ : convergence simple des $u_n^{(j)}$ pour $j\le k-1$ et convergence uniforme sur tout segment de $\left(u_n^{(k)}\right)$ : alors $u$ est ${\mathcal{C}}^k$ et $u^{(j)}=\lim u_n^{(j)}$. En bref : c'est l'uniformité de la suite dérivée qui compte — toujours sur des intervalles adaptés.

$\zeta (x)=\sum _{n=1}^{+\infty }\frac{1}{n^x}$ : convergence simple pour $x>1$ (Riemann) ; normale sur tout $[a,+\infty [$, $a>1$ (majoration $n^{-x}\le n^{-a}$) — donc $\zeta$ est continue sur $]1,+\infty [$ (uniformité locale !) ; en $+\infty$, la double limite donne $\zeta (x)\to 1$ (chaque terme tend vers $0$ sauf le premier) ; et la comparaison série-intégrale (chapitre 5) fournit l'asymptotique $\zeta (x)\sim \frac{1}{x-1}$ en $1^{+}$. Régularité, limites, asymptotique : le programme complet d'étude d'une somme de série.

Soit $S=[a,b]$ un segment.

• Toute fonction continue par morceaux sur $S$ est limite uniforme de fonctions en escalier.
• Théorème de Weierstrass : toute fonction continue sur $S$, à valeurs dans $\mathbb{K}$, est limite uniforme de fonctions polynomiales (démonstration non exigible).

En langage topologique (chapitre 4) : les polynômes sont denses dans $(\mathcal{C}(S,\mathbb{K}),\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$. C'est le pont entre l'algèbre (les polynômes, objets finis) et l'analyse (les fonctions continues) — et la source d'innombrables raisonnements par densité (exercice 9).

Si la suite $\left(a_n{z}_0^n\right)$ est bornée, alors pour tout $z$ avec $|z|<|z_0|$, la série $\sum a_n{z}^n$ est absolument convergente.

• Comparaisons : si $a_n=O(b_n)$ (a fortiori $o$), alors $R_a\ge R_b$ ; si $a_n\sim b_n$, alors $R_a=R_b$.
• $\sum n^{\alpha }{x}^n$ a pour rayon $1$ pour tout $\alpha$ (les puissances ne déplacent pas le rayon).
• d'Alembert : si $\frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}\to \ell$ ($a_n\ne 0$ à partir d'un certain rang), alors $R=\frac{1}{\ell }$ (avec $\frac{1}{0}=+\infty$, $\frac{1}{\infty }=0$) — la limite du rapport peut être utilisée directement.
• Somme et produit : $\sum (a_n+b_n)z^n$ et le produit de Cauchy $\sum c_n{z}^n$ ($c_n=\sum a_k{b}_{n-k}$) ont un rayon $\ge \min (R_a,R_b)$, et sur le disque commun, somme et produit des sommes.

Une série entière de rayon $R$ converge normalement sur tout disque fermé $\overline{D}(0,r)$, $r<R$ (par le lemme d'Abel : $|a_n{z}^n|\le |a_n|r^n$, série convergente). En conséquence, la somme est continue sur le disque ouvert de convergence.

Soit $f(x)={\sum }_{n=0}^{+\infty }{a}_n{x}^n$ de rayon $R>0$.

• $\sum a_n{x}^n$ et $\sum n{a}_n{x}^n$ ont même rayon : on peut dériver sans perdre de disque.
• $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]-R,R[$, et ses dérivées s'obtiennent par dérivation terme à terme :

$$f^{(k)}(x)=\sum _{n\ge k}n(n-1)\cdots (n-k+1)a_n{x}^{n-k}.$$

• Coefficients : $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ — la série entière est la série de Taylor de sa somme.
• Unicité : si deux sommes de séries entières coïncident sur un intervalle $]0,\alpha ]$ ($\alpha >0$), alors leurs coefficients sont égaux — on peut identifier les coefficients, l'outil de toutes les méthodes par équations différentielles.

Si $\sum a_n{x}^n$ a pour rayon $R\in {\mathbb{R}}_{+}^{\ast }$ et si la série numérique $\sum a_n{R}^n$ converge, alors

$$\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{x}^n\underset{x\to R^{-}}{\to }\sum _{n=0}^{+\infty }{a}_n{R}^n$$

(démonstration hors programme) : la somme se prolonge continûment jusqu'au bord lorsque la série y converge — le moyen de calculer des sommes au bord du disque (exercice et banque : $\ln 2$ et $\frac{\pi }{4}$).