Suites et séries de fonctions, séries entières

Cours · mathématiques (MP/MPI), chapitre 6 · MP et MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La suite de fonctions x puissance n sur [0, 1] : la limite simple est discontinue en 1.

6.1 Introduction et motivation

Une suite de fonctions peut converger de bien des façons — et les propriétés (continuité, intégrale, dérivée) ne survivent pas toutes au passage à la limite. Ce chapitre :

définit les modes usuels de convergence (simple, uniforme, normale) et leur hiérarchie ;
étudie la stabilité des propriétés par passage à la limite : quand peut-on dire « la limite est continue », « l'intégrale de la limite est la limite des intégrales », « on dérive terme à terme » ?
introduit la thématique de l'approximation, reliée à la densité topologique (chapitre 4), par deux théorèmes d'approximation uniforme — escaliers et Weierstrass ;
développe l'outil le plus puissant du paysage : les séries entières — rayon de convergence, régularité de la somme, développements usuels — clefs des équations différentielles et des fonctions génératrices en probabilités.

La technique n'est pas un but en soi : on privilégie les exemples significatifs (construction de solutions d'équations fonctionnelles ou différentielles, fonctions remarquables). Les fonctions sont définies sur une partie $A$ d'un espace de dimension finie, à valeurs dans un espace normé $F$ de dimension finie — en pratique, $R$ ou $C$ , le cas général s'y ramenant par coordonnées.

6.2 Convergence simple, convergence uniforme

Définition 6.1Les deux modes fondamentaux

Soit $(u_{n})$ une suite de fonctions de $A$ dans $F$ , et $u : A \to F$ .

$(u_{n})$ converge simplement vers $u$ si pour chaque $x \in A$ , $u_{n} (x) \to u (x)$ — la convergence point par point, $n$ pouvant devoir travailler plus dur selon le $x$ .
$(u_{n})$ converge uniformément vers $u$ sur $A$ si

$x \in A sup ∥ u_{n} (x) - u (x) ∥ n \to \infty 0$

— le même effort pour tous les $x$ : à partir d'un rang, tout le graphe de $u_{n}$ vit dans le tube de rayon $ε$ autour de $u$ . Pour des fonctions bornées : $∥ u_{n} - u ∥_{\infty} \to 0$ , la convergence pour la norme uniforme du chapitre 4.

La convergence uniforme entraîne la convergence simple ; la réciproque est fausse ( $x^{n}$ sur $[0, 1]$ , exercice 1).

6.3 Continuité et double limite

◆Théorème 6.2Continuité de la limite uniforme

Si les $u_{n}$ sont continues en $a \in A$ et si $(u_{n})$ converge uniformément vers $u$ sur $A$ , alors $u$ est continue en $a$ . En particulier, toute limite uniforme de fonctions continues est continue.

Démonstration

Le découpage en trois (« $ε /3$ ») : pour $x$ proche de $a$ ,

$∥ u (x) - u (a) ∥ \leq \leq ε /3 (CVU) ∥ u (x) - u_{n} (x) ∥ + \leq ε /3 (u_{n} continue) ∥ u_{n} (x) - u_{n} (a) ∥ + \leq ε /3 (CVU) ∥ u_{n} (a) - u (a) ∥ .$

On fixe d'abord $n$ assez grand (uniformité : le même $n$ sert pour tous les $x$ !), puis le voisinage de $a$ . (Contraposée utile : si une suite de fonctions continues converge simplement vers une fonction discontinue, la convergence n'est pas uniforme.)

iRemarqueUniformité locale

Le théorème s'applique dès que la convergence uniforme a lieu localement — en particulier sur tout segment de l'intervalle d'étude. En pratique, on vérifie la convergence uniforme sur des intervalles adaptés à la situation : c'est le réflexe central du chapitre (la continuité est une propriété locale, l'uniformité globale est souvent fausse et toujours inutile).

◆Théorème 6.3Théorème de la double limite

Soit $(u_{n})$ convergeant uniformément vers $u$ sur $A$ , et $a$ adhérent à $A$ . Si chaque $u_{n}$ admet une limite $ℓ_{n}$ en $a$ , alors $(ℓ_{n})$ converge vers un $ℓ$ , et

$u (x) x \to a ℓ — autrement dit : x \to a lim n \to \infty lim u_{n} (x) = n \to \infty lim x \to a lim u_{n} (x) .$

(Démonstration hors programme ; adaptation aux cas $a = \pm \infty$ lorsque $A \subset R$ .) L'uniformité autorise l'échange des limites — sans elle, l'échange est un pari perdu d'avance.

Exercices du chapitre

Le critère séquentiel de la convergence uniforme corrigé
La bosse glissante corrigé
La fonction $ζ$ , de bout en bout corrigé
Deux séries de fonctions, deux régimes : normale ou seulement uniforme corrigé
Dérivation terme à terme, et comportement au bord corrigé
Les moments déterminent la fonction corrigé

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