Fonctions vectorielles

Cours · mathématiques (MP/MPI), chapitre 7 · MP et MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les positions successives d'un mobile sur sa trajectoire, avec son vecteur vitesse tangent.

7.1 Introduction et motivation

Ce chapitre a deux objectifs :

étendre rapidement le programme d'analyse réelle de première année au cadre des fonctions vectorielles — dérivation, intégration sur un segment, formules de Taylor ;
fournir les outils de deux chapitres à venir : les équations différentielles linéaires et le calcul différentiel.

Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $R$ , à valeurs dans un espace normé $E$ de dimension finie. Grâce à l'équivalence des normes (chapitre 4), toutes les notions introduites sont indépendantes du choix de la norme — et tout se lit coordonnée par coordonnée dans une base.

Le principe directeur : ce qui se définit par des limites s'étend tel quel ; ce qui repose sur l'ordre de $R$ (théorème de Rolle, égalité des accroissements finis, monotonie) tombe — mais survit sous forme d'inégalités. Les égalités de première année deviennent des inégalités, et l'inégalité des accroissements finis suffit à presque tout.

7.2 Dérivabilité en un point

Définition 7.1Dérivée en un point

Soit $f : I \to E$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement

$τ_{a} (t) = \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a} (t \in I ∖ {a})$

admet une limite dans $E$ quand $t \to a$ . Cette limite est notée $f^{'} (a)$ . Si $f$ est dérivable en tout point de $I$ , la fonction $f^{'} : I \to E$ est sa dérivée.

Proposition 7.2Caractérisation par le développement limité à l'ordre 1

$f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe $v \in E$ tel que

$f (a + h) = f (a) + h v + o (h) (h \to 0),$

et dans ce cas $v = f^{'} (a)$ . En particulier, toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ .

Démonstration

Si $f$ est dérivable en $a$ , poser $ε (h) = τ_{a} (a + h) - f^{'} (a) \to 0$ : alors $f (a + h) = f (a) + h f^{'} (a) + h ε (h)$ . Réciproquement, le développement donne $τ_{a} (a + h) = v + o (1) \to v$ . La continuité s'en déduit en faisant $h \to 0$ dans le développement.

iRemarqueInterprétation cinématique

Si $t$ est le temps et $f (t)$ la position d'un point mobile, $f^{'} (a)$ est le vecteur vitesse à l'instant $a$ : il dirige la tangente à la trajectoire, et sa norme $∥ f^{'} (a) ∥$ est la vitesse scalaire. Les notations physiciennes $f ˙$ , $f ¨$ désignent $f^{'}$ , $f^{''}$ .

Le vecteur vitesse $f^{'} (t)$ est tangent à la trajectoire au point $f (t)$

Proposition 7.3Traduction en coordonnées

Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ et $f = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} e_{i}$ ( $f_{i} : I \to R$ les fonctions coordonnées). Alors $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si chaque $f_{i}$ est dérivable en $a$ , et dans ce cas

$f^{'} (a) = i = 1 \sum n f_{i}^{'} (a) e_{i} .$

Démonstration

Le taux d'accroissement de $f$ a pour coordonnées les taux d'accroissement des $f_{i}$ , et en dimension finie une fonction converge si et seulement si ses coordonnées convergent (chapitre 4).

ImportantLe réflexe pratique

On dérive (et on intégrera) coordonnée par coordonnée. Toute la théorie de première année s'applique alors à chaque coordonnée — c'est l'extension « rapide » annoncée. Exemple : $f (t) = (cos t, sin t, t)$ est dérivable sur $R$ et $f^{'} (t) = (- sin t, cos t, 1)$ .

Définition 7.4Dérivabilité à droite et à gauche

$f$ est dérivable à droite en $a$ si $τ_{a} (t)$ admet une limite quand $t \to a^{+}$ , notée $f_{d}^{'} (a)$ ; de même à gauche. Si $a$ est intérieur à $I$ : $f$ dérivable en $a$ $⟺$ dérivable à droite et à gauche avec $f_{d}^{'} (a) = f_{g}^{'} (a)$ . Exemple : $t \mapsto (t, ∣ t ∣)$ est dérivable à droite et à gauche en $0$ , avec $f_{d}^{'} (0) = (1, 1) \neq = (1, - 1) = f_{g}^{'} (0)$ : la trajectoire a un point anguleux.

7.3 Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition 7.5Combinaisons linéaires

Si $f, g : I \to E$ sont dérivables en $a$ et $λ, μ \in R$ , alors $λ f + μg$ est dérivable en $a$ et $(λ f + μg)^{'} (a) = λ f^{'} (a) + μ g^{'} (a)$ .

◆Théorème 7.6Image par une application linéaire

Soit $L \in L (E, F)$ et $f : I \to E$ dérivable en $a$ . Alors $L \circ f$ est dérivable en $a$ et

$(L \circ f)^{'} (a) = L (f^{'} (a)) .$

Démonstration

Par linéarité, le taux d'accroissement de $L \circ f$ en $a$ vaut $L (τ_{a} (t))$ . Or $L$ est continue ( $E$ de dimension finie, chapitre 4) : quand $t \to a$ , $L (τ_{a} (t)) \to L (f^{'} (a))$ .

◆Théorème 7.7Image par une application bilinéaire

Soit $B : E \times F \to G$ bilinéaire, $f : I \to E$ et $g : I \to F$ dérivables en $a$ . Alors $t \mapsto B (f (t), g (t))$ est dérivable en $a$ et

$(B (f, g))^{'} (a) = B (f^{'} (a), g (a)) + B (f (a), g^{'} (a)) .$

Exercices du chapitre

Ce qui meurt et ce qui survit en dimension supérieure à un corrigé
Norme constante, orthogonalité, et la dérivabilité de la norme corrigé
Produit vectoriel, loi des aires, et l'évaluation corrigé
La dérivée de l'inverse d'une matrice corrigé
Ce qui passe sous le signe intégrale, et ce qui n'y passe pas corrigé
La moyenne temporelle d'un mouvement périodique corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre