Fonctions vectorielles

Cours complet · mathématiques (MP/MPI), chapitre 7 · MP et MPI (2e année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>7.1 Introduction et motivation

Ce chapitre a deux objectifs :

étendre rapidement le programme d'analyse réelle de première année au cadre des fonctions vectorielles — dérivation, intégration sur un segment, formules de Taylor ;
fournir les outils de deux chapitres à venir : les équations différentielles linéaires et le calcul différentiel.

Les fonctions sont définies sur un intervalle $I$ de $R$ , à valeurs dans un espace normé $E$ de dimension finie. Grâce à l'équivalence des normes (chapitre 4), toutes les notions introduites sont indépendantes du choix de la norme — et tout se lit coordonnée par coordonnée dans une base.

Le principe directeur : ce qui se définit par des limites s'étend tel quel ; ce qui repose sur l'ordre de $R$ (théorème de Rolle, égalité des accroissements finis, monotonie) tombe — mais survit sous forme d'inégalités. Les égalités de première année deviennent des inégalités, et l'inégalité des accroissements finis suffit à presque tout.

7.2 Dérivabilité en un point

Définition 7.1Dérivée en un point

Soit $f : I \to E$ et $a \in I$ . On dit que $f$ est dérivable en $a$ si le taux d'accroissement

$τ_{a} (t) = \frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a} (t \in I ∖ {a})$

admet une limite dans $E$ quand $t \to a$ . Cette limite est notée $f^{'} (a)$ . Si $f$ est dérivable en tout point de $I$ , la fonction $f^{'} : I \to E$ est sa dérivée.

Proposition 7.2Caractérisation par le développement limité à l'ordre 1

$f$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe $v \in E$ tel que

$f (a + h) = f (a) + h v + o (h) (h \to 0),$

et dans ce cas $v = f^{'} (a)$ . En particulier, toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ .

Démonstration

Si $f$ est dérivable en $a$ , poser $ε (h) = τ_{a} (a + h) - f^{'} (a) \to 0$ : alors $f (a + h) = f (a) + h f^{'} (a) + h ε (h)$ . Réciproquement, le développement donne $τ_{a} (a + h) = v + o (1) \to v$ . La continuité s'en déduit en faisant $h \to 0$ dans le développement.

iRemarqueInterprétation cinématique

Si $t$ est le temps et $f (t)$ la position d'un point mobile, $f^{'} (a)$ est le vecteur vitesse à l'instant $a$ : il dirige la tangente à la trajectoire, et sa norme $∥ f^{'} (a) ∥$ est la vitesse scalaire. Les notations physiciennes $f ˙$ , $f ¨$ désignent $f^{'}$ , $f^{''}$ .

Le vecteur vitesse $f^{'} (t)$ est tangent à la trajectoire au point $f (t)$

Proposition 7.3Traduction en coordonnées

Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ et $f = \sum_{i = 1}^{n} f_{i} e_{i}$ ( $f_{i} : I \to R$ les fonctions coordonnées). Alors $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si chaque $f_{i}$ est dérivable en $a$ , et dans ce cas

$f^{'} (a) = i = 1 \sum n f_{i}^{'} (a) e_{i} .$

Démonstration

Le taux d'accroissement de $f$ a pour coordonnées les taux d'accroissement des $f_{i}$ , et en dimension finie une fonction converge si et seulement si ses coordonnées convergent (chapitre 4).

ImportantLe réflexe pratique

On dérive (et on intégrera) coordonnée par coordonnée. Toute la théorie de première année s'applique alors à chaque coordonnée — c'est l'extension « rapide » annoncée. Exemple : $f (t) = (cos t, sin t, t)$ est dérivable sur $R$ et $f^{'} (t) = (- sin t, cos t, 1)$ .

Définition 7.4Dérivabilité à droite et à gauche

$f$ est dérivable à droite en $a$ si $τ_{a} (t)$ admet une limite quand $t \to a^{+}$ , notée $f_{d}^{'} (a)$ ; de même à gauche. Si $a$ est intérieur à $I$ : $f$ dérivable en $a$ $⟺$ dérivable à droite et à gauche avec $f_{d}^{'} (a) = f_{g}^{'} (a)$ . Exemple : $t \mapsto (t, ∣ t ∣)$ est dérivable à droite et à gauche en $0$ , avec $f_{d}^{'} (0) = (1, 1) \neq = (1, - 1) = f_{g}^{'} (0)$ : la trajectoire a un point anguleux.

7.3 Opérations sur les fonctions dérivables

Proposition 7.5Combinaisons linéaires

Si $f, g : I \to E$ sont dérivables en $a$ et $λ, μ \in R$ , alors $λ f + μg$ est dérivable en $a$ et $(λ f + μg)^{'} (a) = λ f^{'} (a) + μ g^{'} (a)$ .

◆Théorème 7.6Image par une application linéaire

Soit $L \in L (E, F)$ et $f : I \to E$ dérivable en $a$ . Alors $L \circ f$ est dérivable en $a$ et

$(L \circ f)^{'} (a) = L (f^{'} (a)) .$

Démonstration

Par linéarité, le taux d'accroissement de $L \circ f$ en $a$ vaut $L (τ_{a} (t))$ . Or $L$ est continue ( $E$ de dimension finie, chapitre 4) : quand $t \to a$ , $L (τ_{a} (t)) \to L (f^{'} (a))$ .

◆Théorème 7.7Image par une application bilinéaire

Soit $B : E \times F \to G$ bilinéaire, $f : I \to E$ et $g : I \to F$ dérivables en $a$ . Alors $t \mapsto B (f (t), g (t))$ est dérivable en $a$ et

$(B (f, g))^{'} (a) = B (f^{'} (a), g (a)) + B (f (a), g^{'} (a)) .$

Démonstration

On ajoute et retranche (l'astuce du produit de première année) :

$\frac{B ( f ( t ) , g ( t )) - B ( f ( a ) , g ( a ))}{t - a} = B (\frac{f ( t ) - f ( a )}{t - a}, g (t)) + B (f (a), \frac{g ( t ) - g ( a )}{t - a}) .$

En dimension finie, $B$ est continue (chapitre 4 : $∥ B (x, y) ∥ \leq C ∥ x ∥ ∥ y ∥$ ) : le premier terme tend vers $B (f^{'} (a), g (a))$ (car $g (t) \to g (a)$ ), le second vers $B (f (a), g^{'} (a))$ .

↳Corollaire 7.8Image par une application multilinéaire

Si $M : E_{1} \times \dots \times E_{p} \to F$ est $p$ -linéaire et $f_{1}, \dots, f_{p}$ dérivables en $a$ , alors $t \mapsto M (f_{1} (t), \dots, f_{p} (t))$ est dérivable en $a$ , de dérivée

$j = 1 \sum p M (f_{1} (a), \dots, f_{j}^{'} (a), \dots, f_{p} (a))$

(on dérive une position à la fois, comme pour un produit de $p$ facteurs).

Exemple 7.9Produit scalaire et norme euclidienne

Si $E$ est euclidien et $f, g$ dérivables, alors $t \mapsto ⟨ f (t), g (t)⟩$ est dérivable et

$⟨ f, g ⟩^{'} = ⟨ f^{'}, g ⟩ + ⟨ f, g^{'} ⟩, en particulier (∥ f ∥^{2})^{'} = 2 ⟨ f^{'}, f ⟩ .$

ImportantNorme constante et orthogonalité

Pour $f$ dérivable à valeurs dans un espace euclidien :

$∥ f ∥ est constante ⟺ \forall t \in I, ⟨ f (t), f^{'} (t)⟩ = 0.$

Lecture cinématique : un mobile reste sur une sphère centrée en l'origine si et seulement si sa vitesse est en permanence orthogonale à sa position — le mouvement circulaire uniforme en est l'archétype. (Sens direct : dériver $∥ f ∥^{2}$ ; réciproque : $∥ f ∥^{2}$ a une dérivée nulle sur l'intervalle $I$ .)

Norme constante : le mobile reste sur le cercle, la vitesse est orthogonale au rayon vecteur

Exemple 7.10Déterminant

Le déterminant dans une base est $n$ -linéaire par rapport aux colonnes : si $f_{1}, \dots, f_{n} : I \to E$ sont dérivables,

$(det (f_{1}, \dots, f_{n}))^{'} = j = 1 \sum n det (f_{1}, \dots, f_{j}^{'}, \dots, f_{n}) .$

Cette formule est la clef du wronskien des équations différentielles linéaires (exercice 5) et du calcul de $det (exp A)$ (exercice 10).

Proposition 7.11Composition avec une fonction réelle

Soit $φ : J \to I$ dérivable en $a$ (fonction réelle de variable réelle) et $f : I \to E$ dérivable en $φ (a)$ . Alors $f \circ φ$ est dérivable en $a$ et

$(f \circ φ)^{'} (a) = φ^{'} (a) f^{'} (φ (a)) .$

Démonstration

En coordonnées : chaque $(f_{i} \circ φ)^{'} (a) = φ^{'} (a) f_{i}^{'} (φ (a))$ (première année), et on recompose.

Définition 7.12Applications de classe Ck

$f : I \to E$ est de classe $C^{k}$ si $f$ est $k$ fois dérivable et si $f^{(k)}$ est continue ; de classe $C^{\infty}$ si elle est $C^{k}$ pour tout $k$ . En coordonnées : $f \in C^{k} ⟺$ chaque $f_{i} \in C^{k}$ .

Proposition 7.13Opérations sur les applications de classe Ck

Les combinaisons linéaires, $L (f)$ ( $L$ linéaire), $B (f, g)$ ( $B$ bilinéaire) et $f \circ φ$ ( $φ$ réelle $C^{k}$ ) d'applications de classe $C^{k}$ sont de classe $C^{k}$ . Pour le cas bilinéaire on dispose de la formule de Leibniz :

$(B (f, g))^{(k)} = j = 0 \sum k (j k) B (f^{(j)}, g^{(k - j)}) .$

7.4 Intégration sur un segment

Définition 7.14Intégrale d'une fonction vectorielle

$f : [a, b] \to E$ est continue par morceaux si ses coordonnées dans une base (donc dans toute base, par combinaisons linéaires) le sont. On pose alors

$\int_{[a, b]} f = \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} f (t) d t := i = 1 \sum n (\int_{a}^{b} f_{i} (t) d t) e_{i} \in E .$

Cette définition ne dépend pas de la base choisie (linéarité de l'intégrale réelle).

Proposition 7.15Linéarité, Chasles, image linéaire

Pour $f, g$ continues par morceaux et $L \in L (E, F)$ :

$\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g, \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{c} f + \int_{c}^{b} f, \int_{a}^{b} L (f) = L (\int_{a}^{b} f) .$

Démonstration

Tout se vérifie coordonnée par coordonnée ; pour la dernière, écrire $L (f)$ dans une base de $F$ : ses coordonnées sont des combinaisons linéaires fixes des $f_{i}$ , et on conclut par linéarité de l'intégrale réelle.

◆Théorème 7.16Sommes de Riemann

Soit $f : [a, b] \to E$ continue par morceaux. Les sommes de Riemann associées à la subdivision régulière,

$S_{n} = \frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 f (a + k \frac{b - a}{n}),$

convergent vers $\int_{a}^{b} f$ quand $n \to + \infty$ .

Démonstration

Chaque coordonnée de $S_{n}$ est la somme de Riemann de la coordonnée $f_{i}$ , qui converge vers $\int_{a}^{b} f_{i}$ (première année, via l'uniforme continuité de Heine dans le cas continu) ; on conclut par convergence coordonnée par coordonnée.

◆Théorème 7.17Inégalité triangulaire

Pour $f : [a, b] \to E$ continue par morceaux ( $a \leq b$ ) :

$\int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} ∥ f ∥.$

Démonstration

Pour les sommes de Riemann, c'est l'inégalité triangulaire ordinaire :

$∥ S_{n} ∥ \leq \frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 f (a + k \frac{b - a}{n}),$

et le membre de droite est la somme de Riemann de la fonction réelle continue par morceaux $∥ f ∥$ (composée de $f$ et de la norme, continue). On passe à la limite des deux côtés. (L'inégalité peut être stricte même pour $f$ ne s'annulant pas : les contributions vectorielles se compensent par direction — voir l'exercice 3.)

Somme de Riemann de $f (t) = (cos t, sin t)$ sur $[0, π]$ : les directions tournent et se compensent, $∥ \sum ∥ < \sum ∥ \cdot ∥$

7.5 Intégrale fonction de sa borne supérieure

◆Théorème 7.18Dérivation de la primitive

Soit $f : I \to E$ continue et $a \in I$ . La fonction $F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ et $F^{'} = f$ .

Démonstration

Pour $h \neq = 0$ (et $x + h \in I$ ), par Chasles et linéarité :

$\frac{F ( x + h ) - F ( x )}{h} - f (x) = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} (f (t) - f (x)) d t \leq ∣ t - x ∣ \leq ∣ h ∣ sup ∥ f (t) - f (x) ∥,$

qui tend vers $0$ par continuité de $f$ en $x$ . Donc $F^{'} = f$ , continue : $F \in C^{1}$ .

↳Corollaire 7.19Théorème fondamental

Si $f : I \to E$ est de classe $C^{1}$ , alors pour tous $a, b \in I$ :

$f (b) - f (a) = \int_{a}^{b} f^{'} (t) d t .$

Démonstration

$x \mapsto f (x) - f (a) - \int_{a}^{x} f^{'}$ a une dérivée nulle coordonnée par coordonnée sur l'intervalle $I$ , et s'annule en $a$ .

◆Théorème 7.20Inégalité des accroissements finis

Soit $f : I \to E$ de classe $C^{1}$ et $a \leq b$ dans $I$ . Alors

$∥ f (b) - f (a) ∥ \leq (b - a) t \in [a, b] sup ∥ f^{'} (t) ∥$

(le sup est fini, et même atteint : $∥ f^{'} ∥$ est continue sur un compact, chapitre 4).

Démonstration

On enchaîne le théorème fondamental et l'inégalité triangulaire :

$∥ f (b) - f (a) ∥ = \int_{a}^{b} f^{'} \leq \int_{a}^{b} ∥ f^{'} ∥ \leq (b - a) [a, b] sup ∥ f^{'} ∥.$

Le déplacement (corde en pointillés) est toujours plus court que le chemin parcouru

Attention

Ce qui ne survit pas au passage vectoriel : le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis reposent sur l'ordre de $R$ et tombent. Contre-exemple : $f (t) = (cos t, sin t)$ vérifie $f (0) = f (2 π)$ mais $∥ f^{'} (t) ∥ = 1$ pour tout $t$ — la vitesse ne s'annule jamais. Moralité : en analyse vectorielle, les égalités deviennent des inégalités, et l'inégalité des accroissements finis est l'outil universel.

Rolle en défaut : la trajectoire revient à son point de départ sans que la vitesse s'annule

↳Corollaire 7.21Fonctions de dérivée nulle

Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur l'intervalle $I$ et $f^{'} = 0$ , alors $f$ est constante.

7.6 Formules de Taylor

◆Théorème 7.22Formule de Taylor avec reste intégral

Soit $f : I \to E$ de classe $C^{n}$ ( $n \geq 1$ ) et $a, b \in I$ . Alors

$f (b) = k = 0 \sum n - 1 \frac{( b - a ) ^{k}}{k !} f^{(k)} (a) + \int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} f^{(n)} (t) d t .$

Démonstration

Récurrence sur $n$ . Pour $n = 1$ , c'est le théorème fondamental. Hérédité : si la formule vaut au rang $n$ et $f \in C^{n + 1}$ , on intègre par parties le reste — licite, car $t \mapsto \frac{( b - t ) ^{n}}{n !} f^{(n)} (t)$ est un produit scalaire-vecteur (bilinéaire) de classe $C^{1}$ :

$\int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} f^{(n)} (t) d t = [- \frac{( b - t ) ^{n}}{n !} f^{(n)} (t)]_{a}^{b} + \int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t,$

ce qui fait apparaître le terme $\frac{( b - a ) ^{n}}{n !} f^{(n)} (a)$ et le reste au rang $n + 1$ .

◆Théorème 7.23Inégalité de Taylor-Lagrange

Soit $f : I \to E$ de classe $C^{n}$ et $a, b \in I$ . Alors

$f (b) - k = 0 \sum n - 1 \frac{( b - a ) ^{k}}{k !} f^{(k)} (a) \leq \frac{∣ b - a ∣ ^{n}}{n !} t \in [m i n (a, b), m a x (a, b)] sup f^{(n)} (t) .$

Démonstration

Inégalité triangulaire sur le reste intégral (cas $a \leq b$ , l'autre étant symétrique) :

$\int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} f^{(n)} (t) d t \leq M \int_{a}^{b} \frac{( b - t ) ^{n - 1}}{( n - 1 )!} d t = M \frac{( b - a ) ^{n}}{n !}, M = [a, b] sup ∥ f^{(n)} ∥.$

◆Théorème 7.24Formule de Taylor-Young

Soit $f : I \to E$ de classe $C^{n}$ et $a \in I$ . Alors, quand $h \to 0$ :

$f (a + h) = k = 0 \sum n \frac{h ^{k}}{k !} f^{(k)} (a) + o (h^{n}) .$

Démonstration

On écrit le reste intégral à l'ordre $n$ entre $a$ et $a + h$ , et on y remplace $f^{(n)} (t)$ par $f^{(n)} (a) + (f^{(n)} (t) - f^{(n)} (a))$ . Le premier morceau s'intègre exactement en $\frac{h ^{n}}{n !} f^{(n)} (a)$ ; le second est majoré en norme par

$\frac{∣ h ∣ ^{n}}{n !} ∣ t - a ∣ \leq ∣ h ∣ sup f^{(n)} (t) - f^{(n)} (a) = o (h^{n})$

par continuité de $f^{(n)}$ en $a$ .

iRemarqueQuelle formule pour quel usage ?

Le reste intégral est une identité exacte — la plus précise, dont les deux autres découlent. L'inégalité de Taylor-Lagrange majore une erreur globalement : c'est l'outil des approximations quantifiées (méthode d'Euler, exercice 29 de la banque) et des développements en série (exercice 31). Taylor-Young décrit le comportement local : c'est l'outil des développements limités — qui, pour une fonction vectorielle, se calculent coordonnée par coordonnée.

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