Intégration sur un intervalle quelconque

Cours · mathématiques (MP/MPI), chapitre 8 · MP et MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'aire sous la courbe de 1/x² à partir de 1 reste finie alors que l'intervalle est infini.

8.1 Introduction et motivation

Ce chapitre a trois objectifs :

définir, dans le cadre des fonctions continues par morceaux, les notions d'intégrale convergente et d'intégrabilité sur un intervalle non compact ;
donner des outils efficaces de passage à la limite sous l'intégrale — au premier rang desquels le théorème de convergence dominée ;
compléter l'étude des séries de fonctions (chapitre 6) par celle des intégrales à paramètre.

La technique n'est pas un but en soi : on privilégie les exemples significatifs — transformées intégrales (Fourier, Laplace), intégrales eulériennes ( $Γ$ ), intégrale de Gauss. Le plan est calqué sur celui des séries (chapitre 5) : définition par les « sommes partielles » $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ , cas des fonctions positives, convergence absolue, théorèmes de comparaison, intégration des relations de comparaison — le lecteur retrouvera systématiquement les réflexes des séries, l'indice $n$ étant remplacé par la borne $x$ . Les fonctions sont à valeurs dans $K$ ( $R$ ou $C$ ).

Conformément au programme, on évite tout excès de rigueur : dans les calculs concrets (intégration par parties, changement de variable) on ne rappelle pas les hypothèses de régularité, et dans l'application des théorèmes de passage à la limite on vérifie les hypothèses cruciales (convergence simple, domination), sans insister sur la continuité par morceaux en la variable d'intégration.

8.2 Intégrales généralisées en l'infini

Définition 8.1Intégrale convergente

Soit $f : [a, + \infty [\to K$ continue par morceaux. L'intégrale $\int_{a}^{+ \infty} f$ est dite convergente si la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ admet une limite finie quand $x \to + \infty$ ; cette limite est alors notée $\int_{a}^{+ \infty} f$ ou $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ . Sinon, l'intégrale est dite divergente. On dit aussi que l'intégrale de $f$ converge en $+ \infty$ (la convergence ne dépend pas du choix de $a$ , par Chasles).

Exemple 8.2Les deux références fondamentales

Riemann en l'infini : pour $α \in R$ ,

$\int_{1}^{+ \infty} \frac{d t}{t ^{α}} converge ⟺ α > 1 (et vaut alors \frac{1}{α - 1}) .$

En effet $\int_{1}^{x} t^{- α} d t = \frac{x ^{1 - α} - 1}{1 - α}$ si $α \neq = 1$ (limite finie si et seulement si $α > 1$ ), et $ln x \to + \infty$ si $α = 1$ . Exponentielle : pour $a \in R$ , $\int_{0}^{+ \infty} e^{- a t} d t$ converge si et seulement si $a > 0$ , et vaut alors $\frac{1}{a}$ (calcul direct de $\int_{0}^{x} = \frac{1 - e ^{- a x}}{a}$ ).

Proposition 8.3Dérivation du reste

Si $f : [a, + \infty [\to K$ est continue et d'intégrale convergente, alors $x \mapsto \int_{x}^{+ \infty} f$ est de classe $C^{1}$ , de dérivée $- f$ .

Démonstration

$\int_{x}^{+ \infty} f = \int_{a}^{+ \infty} f - \int_{a}^{x} f$ : c'est une constante moins une primitive de $f$ (chapitre 7), donc une fonction de classe $C^{1}$ de dérivée $- f (x)$ .

◆Théorème 8.4Fonctions positives : la convergence est une bornitude

Soit $f : [a, + \infty [\to R_{+}$ continue par morceaux. Alors $\int_{a}^{+ \infty} f$ converge si et seulement si $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est majorée. En cas de divergence, $\int_{a}^{x} f \to + \infty$ et l'on écrit $\int_{a}^{+ \infty} f = + \infty$ .

Démonstration

$F (x) = \int_{a}^{x} f$ est croissante ( $f \geq 0$ ) : elle admet une limite en $+ \infty$ , finie si elle est majorée, égale à $+ \infty$ sinon (théorème de la limite monotone, première année). C'est l'exact analogue des séries à termes positifs : sommes partielles majorées $⟺$ convergence.

◆Théorème 8.5Comparaison des fonctions positives

Soient $f, g$ continues par morceaux sur $[a, + \infty [$ avec $0 \leq f \leq g$ . Si $\int_{a}^{+ \infty} g$ converge, alors $\int_{a}^{+ \infty} f$ converge (et $\int_{a}^{+ \infty} f \leq \int_{a}^{+ \infty} g$ ). Par contraposée, si $\int_{a}^{+ \infty} f = + \infty$ alors $\int_{a}^{+ \infty} g = + \infty$ .

Démonstration

$\int_{a}^{x} f \leq \int_{a}^{x} g \leq \int_{a}^{+ \infty} g$ : la fonction croissante $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est majorée.

L'échelle de Riemann en $+ \infty$ : la queue de $1/ t^{α}$ enferme une aire finie si et seulement si $α > 1$

8.3 Intégrabilité en l'infini

Définition 8.6Fonction intégrable

$f : [a, + \infty [\to K$ est dite intégrable sur $[a, + \infty [$ si elle est continue par morceaux et si $\int_{a}^{+ \infty} ∣ f ∣$ converge. On dit indifféremment « $f$ est intégrable sur $[a, + \infty [$ » ou « l'intégrale $\int_{a}^{+ \infty} f$ converge absolument », ou encore « $f$ est intégrable en $+ \infty$ ». Pour $f$ de signe constant, convergence et intégrabilité coïncident.

iRemarque

Pour une fonction positive, un calcul aboutissant à un résultat fini vaut preuve d'intégrabilité : si une suite d'opérations légitimes mène à $\int_{I} ∣ f ∣ < + \infty$ , l'intégrabilité est acquise — c'est le confort du cadre positif, où tout a un sens dans $[0, + \infty]$ .

◆Théorème 8.7La convergence absolue implique la convergence

Si $f$ est intégrable sur $[a, + \infty [$ , alors $\int_{a}^{+ \infty} f$ converge, et $\int_{a}^{+ \infty} f \leq \int_{a}^{+ \infty} ∣ f ∣$ .

Démonstration

Cas réel : $0 \leq f + ∣ f ∣ \leq 2∣ f ∣$ , donc $\int_{a}^{+ \infty} (f + ∣ f ∣)$ converge par comparaison positive, et $\int_{a}^{x} f = \int_{a}^{x} (f + ∣ f ∣) - \int_{a}^{x} ∣ f ∣$ a une limite finie comme différence de deux quantités convergentes. Cas complexe : appliquer le cas réel à $Re f$ et $Im f$ , dominées par $∣ f ∣$ . L'inégalité s'obtient en passant à la limite dans $\int_{a}^{x} f \leq \int_{a}^{x} ∣ f ∣$ (chapitre 7).

iRemarqueSemi-convergence

La réciproque est fausse : $\int_{0}^{+ \infty} \frac{s i n t}{t} d t$ converge sans converger absolument (exercice 15 de la banque). Comme pour les séries, l'étude des intégrales semi-convergentes n'est pas un objectif du programme : le cadre de travail est l'intégrabilité.

◆Théorème 8.8Théorème de comparaison

Soient $f, g$ continues par morceaux sur $[a, + \infty [$ , à valeurs dans $K$ :

si $f (x) x \to + \infty = O (g (x))$ (a fortiori si $f = o (g)$ ), l'intégrabilité de $g$ implique celle de $f$ ;
si $f (x) x \to + \infty \sim g (x)$ , l'intégrabilité de $g$ équivaut à celle de $f$ .

Exercices du chapitre

Convergente sans être intégrable corrigé
Ce que l'intégrabilité ne dit pas corrigé
Deux bornes généralisées, et le changement de variable qui symétrise corrigé
Intégrer les $O$ , les $o$ et les équivalents corrigé
La domination décide, en trois situations corrigé
Le cas positif, la roue de secours, et le rêve de l'étudiant corrigé

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