Intégration sur un intervalle quelconque

Riemann en l'infini : pour $\alpha \in \mathbb{R}$,

$${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}\text{converge}⟺\alpha >1\left(\text{et vaut alors }\frac{1}{\alpha -1}\right).$$

En effet ${\int }_1^x{t}^{-\alpha }\mathrm{d}t=\frac{x^{1-\alpha }-1}{1-\alpha }$ si $\alpha \ne 1$ (limite finie si et seulement si $\alpha >1$), et $\ln x\to +\infty$ si $\alpha =1$. Exponentielle : pour $a\in \mathbb{R}$, ${\int }_0^{+\infty }{e}^{-at}\mathrm{d}t$ converge si et seulement si $a>0$, et vaut alors $\frac{1}{a}$ (calcul direct de ${\int }_0^x=\frac{1-e^{-ax}}{a}$).

Si $f:[a,+\infty [\to \mathbb{K}$ est continue et d'intégrale convergente, alors $x\mapsto {\int }_x^{+\infty }f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, de dérivée $-f$.

Soit $f:[a,+\infty [\to {\mathbb{R}}_{+}$ continue par morceaux. Alors ${\int }_a^{+\infty }f$ converge si et seulement si $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ est majorée. En cas de divergence, ${\int }_a^{x}f\to +\infty$ et l'on écrit ${\int }_a^{+\infty }f=+\infty$.

Soient $f,g$ continues par morceaux sur $[a,+\infty [$ avec $0\le f\le g$. Si ${\int }_a^{+\infty }g$ converge, alors ${\int }_a^{+\infty }f$ converge (et ${\int }_a^{+\infty }f\le {\int }_a^{+\infty }g$). Par contraposée, si ${\int }_a^{+\infty }f=+\infty$ alors ${\int }_a^{+\infty }g=+\infty$.

Pour une fonction positive, un calcul aboutissant à un résultat fini vaut preuve d'intégrabilité : si une suite d'opérations légitimes mène à ${\int }_I|f|<+\infty$, l'intégrabilité est acquise — c'est le confort du cadre positif, où tout a un sens dans $[0,+\infty ]$.

Si $f$ est intégrable sur $[a,+\infty [$, alors ${\int }_a^{+\infty }f$ converge, et $\left|{\int }_a^{+\infty }f\right|\le {\int }_a^{+\infty }|f|$.

La réciproque est fausse : ${\int }_0^{+\infty }\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t$ converge sans converger absolument (exercice 15 de la banque). Comme pour les séries, l'étude des intégrales semi-convergentes n'est pas un objectif du programme : le cadre de travail est l'intégrabilité.

Soient $f,g$ continues par morceaux sur $[a,+\infty [$, à valeurs dans $\mathbb{K}$ :

• si $f(x)\underset{x\to +\infty }{=}O(g(x))$ (a fortiori si $f=o(g)$), l'intégrabilité de $g$ implique celle de $f$ ;
• si $f(x)\underset{x\to +\infty }{\sim }g(x)$, l'intégrabilité de $g$ équivaut à celle de $f$.

Pour $\alpha \in \mathbb{R}$ et $a<b$ réels :

$${\int }_a^b\frac{\mathrm{d}x}{|x-a{|}^{\alpha }}\text{converge}⟺\alpha <1.$$

(Calcul direct comme en $+\infty$ : ${\int }_{a+\epsilon }^b=\frac{(b-a{)}^{1-\alpha }-{\epsilon }^{1-\alpha }}{1-\alpha }$ pour $\alpha \ne 1$.) Retenir le miroir : en $+\infty$, Riemann converge pour $\alpha >1$ ; en une borne finie, pour $\alpha <1$ — et $\alpha =1$ diverge des deux côtés ($\ln$). En particulier ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }}$ ne converge pour aucun $\alpha$.

Sur un intervalle $I$ d'extrémités $a<b$ (finies ou non), les intégrales convergentes vérifient : linéarité ($\int (\lambda f+\mu g)=\lambda \int f+\mu \int g$), positivité ($f\ge 0\Rightarrow \int f\ge 0$), croissance ($f\le g\Rightarrow \int f\le \int g$), et relation de Chasles (${\int }_a^b={\int }_a^c+{\int }_c^b$).

Soient $f,g$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]a,b[$. Si le produit $fg$ admet des limites finies en $a$ et en $b$, alors les intégrales ${\int }_a^{b}f{g}^{\prime }$ et ${\int }_a^b{f}^{\prime }g$ sont de même nature, et en cas de convergence :

$${\int }_a^{b}f(t)g^{\prime }(t)\mathrm{d}t=[fg{]}_a^b-{\int }_a^b{f}^{\prime }(t)g(t)\mathrm{d}t,$$

où $[fg{]}_a^b$ désigne la différence des limites. (En pratique, on ne rappelle pas les hypothèses de régularité — mais on vérifie toujours l'existence des limites du crochet.)

Soient $f$ continue sur $]a,b[$ et $\phi :]\alpha ,\beta [\to ]a,b[$ bijective, strictement croissante et de classe ${\mathcal{C}}^1$. Les intégrales

$${\int }_a^{b}f(t)\mathrm{d}t\text{et}{\int }_{\alpha }^{\beta }f(\phi (u)){\phi }^{\prime }(u)\mathrm{d}u$$

sont de même nature, et égales en cas de convergence. Si $\phi$ est strictement décroissante, le résultat subsiste en échangeant les bornes (d'où un signe). On applique ce résultat sans justification dans les cas de changements de variable usuels.

Si $f$ est continue, positive et intégrable sur $I$, et si ${\int }_{I}f=0$, alors $f$ est identiquement nulle.

Ce théorème dit exactement que $\Vert f{\Vert }_1={\int }_I|f|$ est une norme sur l'espace des fonctions continues intégrables sur $I$ — la norme de la moyenne du chapitre 4, étendue aux intervalles quelconques. (Sur les fonctions continues par morceaux, l'axiome de séparation échoue : une fonction nulle sauf en un point a une « norme » nulle.)

Le théorème de comparaison ($O$, $o$, $\sim$) s'adapte en toute borne : si $f=O(g)$ au voisinage de $b$, l'intégrabilité de $g$ en $b$ implique celle de $f$ ; si $f\sim g$ en $b$, elles sont simultanément intégrables en $b$. Enfin, $f$ est intégrable en $a$ (resp. en $b$, finies) si et seulement si $t\mapsto f(a+t)$ (resp. $t\mapsto f(b-t)$) est intégrable en $0$ — on ramène toute borne finie à $0$ par translation ou symétrie.

Étude de ${\int }_0^{+\infty }\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\mathrm{d}t$ : deux bornes problématiques. En $0$ : $\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}\sim \frac{1}{\sqrt{t}}$, Riemann $\alpha =\frac{1}{2}<1$, intégrable. En $+\infty$ : $\frac{e^{-t}}{\sqrt{t}}=o\left(\frac{1}{t^2}\right)$, intégrable. Conclusion : l'intégrale converge (c'est $\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi }$, voir exercices 8 et 10).

Soient $f$ continue par morceaux à valeurs dans $\mathbb{K}$ et $g$ continue par morceaux positive au voisinage de $b$ (la fonction de référence est réelle de signe constant).

• Cas convergent (si $g$ est intégrable en $b$) — les restes se comparent :

$$f=O(g)\Rightarrow {\int }_x^{b}f=O\left({\int }_x^{b}g\right),f=o(g)\Rightarrow {\int }_x^{b}f=o\left({\int }_x^{b}g\right),$$

$$f\sim g\Rightarrow {\int }_x^{b}f\sim {\int }_x^{b}g$$

(dans les deux premiers cas, $f$ est de plus intégrable en $b$).

• Cas divergent (si ${\int }^{b}g=+\infty$) — les intégrales partielles se comparent :

$$f=O(g)\Rightarrow {\int }_a^{x}f=O\left({\int }_a^{x}g\right),f=o(g)\Rightarrow {\int }_a^{x}f=o\left({\int }_a^{x}g\right),$$

$$f\sim g\Rightarrow {\int }_a^{x}f\sim {\int }_a^{x}g.$$

${\int }_x^{+\infty }\frac{e^{-t}}{t}\mathrm{d}t\sim \frac{e^{-x}}{x}$ en $+\infty$ : une intégration par parties donne ${\int }_x^{+\infty }\frac{e^{-t}}{t}=\frac{e^{-x}}{x}-{\int }_x^{+\infty }\frac{e^{-t}}{t^2}\mathrm{d}t$, et $\frac{e^{-t}}{t^2}=o\left(\frac{e^{-t}}{t}\right)$ donne, par intégration des restes, un second terme négligeable. Le couple « IPP + intégration des comparaisons » est la machine à équivalents de restes (exercices 31 et 33).

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb{K}$ telle que :

• (convergence simple) $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux ;
• (domination) il existe $\phi$ positive, intégrable sur $I$, indépendante de $n$ telle que $|f_n|\le \phi$ pour tout $n$.

Alors les $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$, et

$${\int }_I{f}_n\underset{n\to \infty }{\to }{\int }_{I}f.$$

La démonstration est hors programme. Extension : l'énoncé vaut pour une famille à paramètre réel $(f_{\lambda }{)}_{\lambda \in J}$ ($J$ intervalle, $\lambda \to {\lambda }_0$ borne ou point de $J$), avec les mêmes hypothèses.

Limite de $I_n={\int }_0^{+\infty }{e}^{-t^n}\mathrm{d}t$. Convergence simple : à $t$ fixé, $e^{-t^n}\to 1$ si $t<1$, $\to 0$ si $t>1$ (et $e^{-1}$ en $t=1$, sans influence) : la limite simple est $1_{[0,1]}$, continue par morceaux. Domination : pour $n\ge 1$, $e^{-t^n}\le 1$ sur $[0,1]$ et $e^{-t^n}\le e^{-t}$ sur $[1,+\infty [$ (car $t^n\ge t$) : la fonction $\phi =1_{[0,1]}+e^{-t}{1}_{[1,+\infty [}$ est intégrable et indépendante de $n$. Donc $I_n\to {\int }_0^{1}1\mathrm{d}t=1$.

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur $I$, à valeurs dans ${\mathbb{R}}_{+}$, telle que $\sum f_n$ converge simplement sur $I$ et que sa somme soit continue par morceaux. Alors, dans $[0,+\infty ]$ :

$${\int }_I(\sum _{n=0}^{+\infty }{f}_n(t))\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\infty }{\int }_I{f}_n(t)\mathrm{d}t.$$

En particulier, l'intégrabilité de $\sum f_n$ équivaut à ${\sum }_n{\int }_I{f}_n<+\infty$. (Démonstration hors programme.)

Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux et intégrables sur $I$, à valeurs dans $\mathbb{K}$, telle que $\sum f_n$ converge simplement sur $I$ vers une somme continue par morceaux, et que

$$\sum _{n=0}^{+\infty }{\int }_I|f_n(t)|\mathrm{d}t<+\infty .$$

Alors $\sum f_n$ est intégrable sur $I$ et ${\int }_I\sum _{n=0}^{+\infty }{f}_n=\sum _{n=0}^{+\infty }{\int }_I{f}_n$. (Démonstration hors programme.)

Le réflexe : positif $\Rightarrow$ premier théorème, tout est permis dans $[0,+\infty ]$ ; signes variables $\Rightarrow$ vérifier la condition de sommabilité $\sum \int |f_n|<+\infty$. Quand celle-ci échoue (séries alternées typiquement), tout n'est pas perdu : on applique la convergence dominée aux sommes partielles $S_n={\sum }_{k\le n}{f}_k$, souvent bornées par une fonction intégrable fixe — c'est l'exercice 9, où $\sum \int |f_n|=+\infty$ mais où l'échange est pourtant justifié. Le parallèle avec les familles sommables est complet : « positif : tout marche ; sommable : tout marche ; sinon : prudence ».

Soient $A$ une partie d'un espace normé de dimension finie, $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f:A\times I\to \mathbb{K}$ telle que :

• pour tout $t\in I$, $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$ ;
• pour tout $x\in A$, $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
• (domination) il existe $\phi$ intégrable sur $I$ telle que $|f(x,\cdot )|\le \phi$ pour tout $x\in A$.

Alors $g:x\mapsto {\int }_{I}f(x,t)\mathrm{d}t$ est définie et continue sur $A$.

Soient $A$ et $I$ deux intervalles de $\mathbb{R}$ et $f:A\times I\to \mathbb{K}$ telle que :

• pour tout $t\in I$, $x\mapsto f(x,t)$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $A$ ;
• pour tout $x\in A$, $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$ ;
• pour tout $x\in A$, $t\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ ;
• (domination de la dérivée) il existe $\phi$ positive intégrable sur $I$ telle que $|\frac{\partial f}{\partial x}(x,\cdot )|\le \phi$ pour tout $x\in A$.

Alors $g:x\mapsto {\int }_{I}f(x,t)\mathrm{d}t$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $A$ et l'on dérive sous l'intégrale :

$$\forall x\in A,g^{\prime }(x)={\int }_I\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\mathrm{d}t.$$

Extension ${\mathcal{C}}^k$ : sous domination de $\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x^k}$ et intégrabilité des $\frac{{\partial }^{j}f}{\partial x^j}(x,\cdot )$ pour $0\le j\le k-1$, la fonction $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ et $g^{(k)}(x)={\int }_I\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x^k}(x,t)\mathrm{d}t$.