Variables aléatoires discrètes

Cours · mathématiques (MP/MPI), chapitre 9 · MP et MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La loi d'une variable aléatoire discrète, en bâtons, et son espérance.

9.1 Introduction et motivation

Ce chapitre généralise aux variables aléatoires discrètes l'étude menée en première année des variables aléatoires à valeurs dans un ensemble fini. Cette généralisation nécessite quelques notions générales de théorie des probabilités, exposées a minima :

la notion de tribu est introduite pour donner un cadre rigoureux, mais n'appelle aucun développement théorique (la manipulation de tribus n'est pas un objectif) ;
la construction d'espaces probabilisés n'est pas un objectif du programme ;
les notions de convergence (presque sûre, en probabilité, en loi), les variables à densité et l'espérance conditionnelle sont hors programme.

La théorie des familles sommables permet une extension très naturelle des notions de première année : les sommes finies deviennent des sommes de familles indexées par un ensemble au plus dénombrable. L'objectif est de renforcer la compréhension de l'aléatoire : l'essentiel du chapitre vit dans les exemples — lois géométrique et de Poisson, pile ou face infini, permutations aléatoires, marches aléatoires, inégalités de concentration, fonctions génératrices (où les séries entières du chapitre 6 deviennent un outil probabiliste).

9.2 Ensembles dénombrables

Définition 9.1Dénombrable, au plus dénombrable

Un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec $N$ — ses éléments peuvent être énumérés en une suite $(x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots)$ sans répétition. Un ensemble est au plus dénombrable s'il est fini ou dénombrable, ce qui équivaut à être en bijection avec une partie de $N$ .

◆Théorème 9.2Propriétés fondamentales

Toute partie infinie de $N$ est dénombrable.
Un produit cartésien fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.

Les démonstrations ne sont pas exigibles. (Idées : pour 1, énumérer la partie par ordre croissant ; pour 2, il suffit de traiter $N^{2}$ , énuméré par diagonales successives — voir la figure ; pour 3, fusionner les énumérations en gérant les répétitions.)

Exemple 9.3Le bestiaire

$N^{p}$ ( $p \in N^{*}$ ), $Z$ et $Q$ sont dénombrables ( $Z$ : énumérer $0, 1, - 1, 2, - 2, \dots$ ; $Q$ : injecter dans $Z \times N^{*}$ par $\frac{p}{q}$ irréductible). Le support d'une famille sommable de nombres complexes est au plus dénombrable (pour chaque $n$ , les indices avec $∣ a_{i} ∣ \geq \frac{1}{n}$ sont en nombre fini, et on prend la réunion dénombrable). En revanche, $R$ n'est pas dénombrable (démonstration non exigible — l'argument diagonal de Cantor : si l'on énumère des réels de $] 0, 1 [$ par leurs développements décimaux, le réel dont la $n$ -ième décimale diffère de la $n$ -ième décimale du $n$ -ième réel échappe à l'énumération).

ImportantFamilles sommables : le minimum vital

On utilisera librement les faits suivants sur les sommes indexées par un ensemble $J$ au plus dénombrable.

Cas positif : pour $(a_{j})_{j \in J}$ à valeurs dans $[0, + \infty]$ , la somme $\sum_{j \in J} a_{j} = sup {\sum_{j \in F} a_{j} : F \subset J fini}$ a toujours un sens dans $[0, + \infty]$ , ne dépend d'aucun ordre d'énumération, et la sommation par paquets est toujours licite : si $J = ⨆_{k} J_{k}$ (partition au plus dénombrable), alors $\sum_{J} a_{j} = \sum_{k} (\sum_{J_{k}} a_{j})$ .
Cas sommable : $(a_{j})$ complexe est sommable si $\sum_{J} ∣ a_{j} ∣ < + \infty$ ; sa somme est alors bien définie (indépendante de l'ordre), et paquets et Fubini discret ( $\sum_{(i, j)} b_{i} c_{j} = (\sum b_{i}) (\sum c_{j})$ , et plus généralement l'échange des deux indices d'une famille double sommable) sont licites.

Pour une famille indexée par $N$ : $(u_{n})_{n \in N}$ est sommable si et seulement si la série $\sum u_{n}$ converge absolument, et la somme de la famille est alors la somme de la série.

Le parallèle avec le chapitre 8 est exact : « positif : tout est permis dans $[0, + \infty]$ ; sommable : tout est permis ; sinon : prudence ». Toutes les sommes de ce chapitre relèvent de l'un de ces deux cas.

9.3 Espaces probabilisés

Définition 9.4Tribu, espace probabilisable

Une tribu sur un ensemble $Ω$ est un ensemble $A$ de parties de $Ω$ contenant $Ω$ , stable par passage au complémentaire et par réunion dénombrable. Le couple $(Ω, A)$ est un espace probabilisable ; les éléments de $A$ sont les événements. Tout le vocabulaire de première année se généralise : événement contraire $A$ , « $A$ et $B$ » ( $A \cap B$ ), « $A$ ou $B$ » ( $A \cup B$ ), incompatibles ( $A \cap B = \emptyset$ ), événement élémentaire, système complet.

Définition 9.5Probabilité

Une probabilité sur $(Ω, A)$ est une application $P : A \to [0, 1]$ telle que $P (Ω) = 1$ et, pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements deux à deux incompatibles ( $σ$ -additivité) :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) = n = 0 \sum + \infty P (A_{n}) .$

Le triplet $(Ω, A, P)$ est un espace probabilisé. On retrouve les propriétés de première année : $P (\emptyset) = 0$ , additivité finie, $P (A) = 1 - P (A)$ , croissance, $P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .

◆Théorème 9.6Continuité monotone

Soit $(A_{n})$ une suite d'événements.

Continuité croissante : si $A_{n} \subset A_{n + 1}$ pour tout $n$ , alors $P (⋃_{n} A_{n}) = n \to \infty lim P (A_{n})$ .
Continuité décroissante : si $A_{n + 1} \subset A_{n}$ pour tout $n$ , alors $P (⋂_{n} A_{n}) = n \to \infty lim P (A_{n})$ .

Application : pour une suite $(A_{n})$ quelconque, $P (⋃_{k = 0}^{n} A_{k}) \to P (⋃_{k = 0}^{+ \infty} A_{k})$ et $P (⋂_{k = 0}^{n} A_{k}) \to P (⋂_{k = 0}^{+ \infty} A_{k})$ (les suites $⋃_{k \leq n} A_{k}$ et $⋂_{k \leq n} A_{k}$ sont monotones).

Démonstration

Cas croissant : posons $B_{0} = A_{0}$ et $B_{n} = A_{n} ∖ A_{n - 1}$ ( $n \geq 1$ ) : les $B_{n}$ sont deux à deux incompatibles, de réunion $⋃_{n} A_{n}$ , et $⋃_{k \leq n} B_{k} = A_{n}$ . La $σ$ -additivité donne

$P (n ⋃ A_{n}) = k = 0 \sum + \infty P (B_{k}) = n \to \infty lim k = 0 \sum n P (B_{k}) = n \to \infty lim P (A_{n}) .$

Cas décroissant : passer aux complémentaires ( $A_{n}$ est croissante) et utiliser $P (\cdot) = 1 - P (\cdot)$ .

◆Théorème 9.7Sous-additivité dénombrable

Pour toute suite $(A_{n})$ d'événements : $P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) \leq n = 0 \sum + \infty P (A_{n})$ .

Démonstration

$C_{n} = A_{n} ∖ (A_{0} \cup \dots \cup A_{n - 1})$ : les $C_{n}$ sont incompatibles, de même réunion, et $C_{n} \subset A_{n}$ donne $P (C_{n}) \leq P (A_{n})$ ; on conclut par $σ$ -additivité.

Définition 9.8Négligeables, presque sûrs, systèmes quasi-complets

Un événement $A$ est négligeable si $P (A) = 0$ , presque sûr si $P (A) = 1$ . Par sous-additivité, une réunion finie ou dénombrable de négligeables est négligeable (et par complémentaire, une intersection au plus dénombrable de presque sûrs est presque sûre). Un système quasi-complet est une famille au plus dénombrable d'événements deux à deux incompatibles dont la réunion est presque sûre. Tout développement supplémentaire sur ces notions est hors programme.

9.4 Probabilités conditionnelles et indépendance

◆Théorème 9.9Conditionnement : extension de la première année

Si $P (B) > 0$ , la probabilité conditionnelle $P_{B} (A) = P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )}$ définit une probabilité sur $(Ω, A)$ , et l'on dispose, comme en première année :

de la formule des probabilités composées : $P (A_{1} \cap \dots \cap A_{n}) = P (A_{1}) P (A_{2} ∣ A_{1}) \dots P (A_{n} ∣ A_{1} \cap \dots \cap A_{n - 1})$ ;
de la formule des probabilités totales, désormais avec un système quasi-complet au plus dénombrable $(B_{n})$ : $P (A) = \sum_{n} P (A \cap B_{n}) = \sum_{n} P (A ∣ B_{n}) P (B_{n})$ (somme d'une famille positive, avec la convention $P (A ∣ B_{n}) P (B_{n}) = 0$ si $P (B_{n}) = 0$ ) ;
de la formule de Bayes : $P (B_{k} ∣ A) = \frac{P ( A ∣ B _{k} ) P ( B _{k} )}{\sum _{n} P ( A ∣ B _{n} ) P ( B _{n} )}$ si $P (A) > 0$ .

Définition 9.10Indépendance

$A$ et $B$ sont indépendants si $P (A \cap B) = P (A) P (B)$ — lorsque $P (B) > 0$ , cela s'écrit $P (A ∣ B) = P (A)$ : savoir que $B$ est réalisé ne change rien à la probabilité de $A$ . Une famille $(A_{i})_{i \in I}$ est indépendante (on dit aussi mutuellement indépendante) si pour toute partie finie $F \subset I$ : $P (⋂_{i \in F} A_{i}) = \prod_{i \in F} P (A_{i})$ .

Attention

L'indépendance deux à deux n'implique pas l'indépendance de la famille : avec deux dés équilibrés, $A$ = « le premier dé est pair », $B$ = « le second est pair », $C$ = « la somme est paire » sont deux à deux indépendants ( $P = \frac{1}{2}$ , intersections deux à deux $= \frac{1}{4}$ ), mais $P (A \cap B \cap C) = \frac{1}{4} \neq = \frac{1}{8}$ (exercice 14 de la banque). L'indépendance mutuelle exige toutes les intersections finies.

Proposition 9.11Stabilité par complémentaire

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $B$ le sont aussi (puis $A$ et $B$ ).

Exercices du chapitre

Aucune probabilité uniforme sur $N$ corrigé
Pile ou face infini : presque sûrement une infinité de piles corrigé
L'absence de mémoire caractérise la loi géométrique corrigé
Le minimum de deux géométriques indépendantes corrigé
L'amincissement d'une loi de Poisson corrigé
Le collectionneur de coupons corrigé

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