Équations différentielles linéaires

Cours complet · mathématiques (MP/MPI), chapitre 10 · MP et MPI (2e année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>10.1 Introduction et motivation

La notion générale d'équation différentielle linéaire est introduite à partir des exemples de première année : l'équation scalaire d'ordre 1 ( $x^{'} = a (t) x + b (t)$ ) et l'équation scalaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants ( $x^{''} + p x^{'} + q x = 0$ ). Le cadre est désormais vectoriel : $I$ est un intervalle de $R$ , $E$ un espace normé de dimension finie $n$ .

Ce chapitre est un point de convergence du cours : les fonctions vectorielles (chapitre 7) fournissent le cadre, l'exponentielle de matrice (chapitres 5 et 7) résout les systèmes à coefficients constants, la réduction (chapitre 2) rend l'exponentielle calculable, les séries entières (chapitre 6) donnent des solutions développables, et le wronskien (chapitre 7) structure les équations d'ordre 2.

Conformément au programme, la résolution explicite des systèmes à coefficients constants n'est pas un objectif : les calculs se limitent au cas diagonalisable et à la dimension $\leq 3$ . En revanche, on insiste sur les études qualitatives : le signe des parties réelles des valeurs propres gouverne le comportement en temps long, et en dimension 2 les courbes intégrales se dessinent (nœuds, selles, foyers, centres).

10.2 Généralités

Définition 10.1Équation différentielle linéaire

Une équation différentielle linéaire (d'ordre 1, vectorielle) est une équation de la forme

$x^{'} = a (t) \cdot x + b (t),$

où $a : I \to L (E)$ et $b : I \to E$ sont continues. Une solution est une fonction dérivable $x : I \to E$ vérifiant $x^{'} (t) = a (t) (x (t)) + b (t)$ pour tout $t$ — elle est alors automatiquement de classe $C^{1}$ (le second membre est continu). Forme matricielle : dans une base de $E$ , l'équation devient un système différentiel linéaire $X^{'} = A (t) X + B (t)$ , avec $A : I \to M_{n} (K)$ et $B : I \to K^{n}$ continues. L'équation homogène associée est $x^{'} = a (t) \cdot x$ .

Proposition 10.2Principe de superposition

Si $x_{1}$ est solution de $x^{'} = a (t) x + b_{1} (t)$ et $x_{2}$ de $x^{'} = a (t) x + b_{2} (t)$ , alors $λ x_{1} + μ x_{2}$ est solution de $x^{'} = a (t) x + λ b_{1} (t) + μ b_{2} (t)$ . On peut découper un second membre en morceaux simples et additionner les solutions particulières (exercice 13 de la banque).

Définition 10.3Problème de Cauchy

Le problème de Cauchy associé à l'équation, au point $(t_{0}, x_{0}) \in I \times E$ , consiste à chercher les solutions vérifiant la condition initiale $x (t_{0}) = x_{0}$ .

Proposition 10.4Mise sous forme intégrale

$x : I \to E$ est solution du problème de Cauchy si et seulement si $x$ est continue sur $I$ et vérifie

$\forall t \in I, x (t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} (a (s) \cdot x (s) + b (s)) d s .$

Démonstration

Si $x$ est solution, on intègre $x^{'}$ entre $t_{0}$ et $t$ (théorème fondamental, chapitre 7). Réciproquement, si $x$ est continue et vérifie l'équation intégrale, le membre de droite est de classe $C^{1}$ (primitive d'une fonction continue, chapitre 7) : donc $x$ l'est aussi, et en dérivant, $x^{'} = a (t) x + b (t)$ , avec $x (t_{0}) = x_{0}$ . (Cette reformulation transforme une équation différentielle en équation « de point fixe » — c'est le point de départ de la démonstration du théorème de Cauchy.)

Proposition 10.5Équations scalaires d'ordre n

L'équation scalaire linéaire d'ordre $n$

$y^{(n)} + a_{n - 1} (t) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (t) y^{'} + a_{0} (t) y = c (t)$

équivaut au système $X^{'} = A (t) X + B (t)$ obtenu en posant $X = (y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)})$ :

$A (t) = 0 - a_{0} (t) 1 ⋱ - a_{1} (t) ⋱ 0 \dots 1 - a_{n - 1} (t), B (t) = 0 ⋮ 0 c (t)$

(une matrice compagnon, chapitre 2). Le problème de Cauchy d'ordre $n$ consiste à imposer les $n$ valeurs $y (t_{0}), y^{'} (t_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (t_{0})$ .

10.3 Solutions d'une équation différentielle linéaire

◆Théorème 10.6Théorème de Cauchy linéaire

Soient $a : I \to L (E)$ et $b : I \to E$ continues, $t_{0} \in I$ et $x_{0} \in E$ . Le problème de Cauchy

$x^{'} = a (t) \cdot x + b (t), x (t_{0}) = x_{0}$

admet une unique solution, définie sur $I$ tout entier. (La démonstration n'est pas exigible — elle repose sur la forme intégrale et un argument de point fixe.) L'énoncé s'adapte aux systèmes $X^{'} = A (t) X + B (t)$ , et aux équations scalaires d'ordre $n$ : pour toutes valeurs initiales $y (t_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (t_{0})$ prescrites, existence et unicité de la solution sur $I$ .

iRemarque

Deux lectures à retenir. Géométrique : par chaque point $(t_{0}, x_{0})$ passe une et une seule courbe intégrale — deux solutions distinctes ne se croisent jamais. Globale : dans le monde linéaire, les solutions vivent sur tout l'intervalle $I$ , sans explosion en temps fini — privilège que les équations non linéaires ne partagent pas.

Champ de directions de $x^{'} = t - x$ : par chaque condition initiale passe une unique courbe intégrale, et deux courbes ne se croisent jamais — toutes convergent vers la solution particulière $x_{p}$ (en tirets).

◆Théorème 10.7Structure de l'ensemble des solutions

Cas homogène : l'ensemble $S_{H}$ des solutions de $x^{'} = a (t) \cdot x$ est un sous-espace vectoriel de $F (I, E)$ , et pour tout $t_{0} \in I$ , l'application d'évaluation

$ev_{t_{0}} : S_{H} \to E, x \mapsto x (t_{0})$

est un isomorphisme. En particulier $dim S_{H} = dim E = n$ , et pour une équation scalaire homogène d'ordre $n$ , l'espace des solutions est de dimension $n$ .

Cas avec second membre : l'ensemble des solutions de $x^{'} = a (t) x + b (t)$ est le sous-espace affine $x_{p} + S_{H}$ , où $x_{p}$ est une solution particulière quelconque : solution générale $=$ particulière $+$ homogène générale.

Démonstration

$S_{H}$ est un sous-espace : combinaison linéaire de solutions est solution (linéarité de $a (t)$ et de la dérivation). $ev_{t_{0}}$ est linéaire ; elle est surjective par existence (tout $x_{0}$ est atteint) et injective par unicité (une solution nulle en $t_{0}$ coïncide avec la solution nulle) : c'est le théorème de Cauchy qui fait tout. Pour le cas affine : $x$ est solution si et seulement si $x - x_{p}$ est solution de l'homogène (linéarité).

Attention

Équations non normalisées. Pour $α (t) x^{'} + β (t) x = γ (t)$ ou $α (t) x^{''} + β (t) x^{'} + γ (t) x = δ (t)$ , la théorie ci-dessus s'applique sur chaque intervalle où $α$ ne s'annule pas (on divise par $α$ ). Aux zéros de $α$ , tout peut arriver : la dimension de l'espace des solutions peut chuter ou augmenter lors du raccordement (exercice 8) — réflexe : résoudre sur chaque sous-intervalle, puis raccorder en exigeant la régularité ( $C^{1}$ ou $C^{2}$ ) aux points de jonction.

iRemarqueSolutions développables en série entière

Pour une équation à coefficients polynomiaux, on peut chercher les solutions sous la forme $y = \sum a_{n} t^{n}$ : la dérivation terme à terme (chapitre 6) et l'unicité des coefficients transforment l'équation en une récurrence sur les $a_{n}$ ; on vérifie ensuite que le rayon de convergence est non nul (souvent infini), et la fonction somme est alors une vraie solution. C'est la méthode imposée par le programme du chapitre 6, dans son habitat naturel (exercice 7, et l'équation d'Airy en banque).

10.4 Exponentielle d'un endomorphisme, d'une matrice

Définition 10.8Exponentielle

Pour $a \in L (E)$ (ou $A \in M_{n} (K)$ ), la série $\sum \frac{a ^{k}}{k !}$ converge absolument ( $∣ ∣ ∣ \frac{a ^{k}}{k !} ∣ ∣ ∣ \leq \frac{∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ^{k}}{k !}$ , norme sous-multiplicative, chapitres 4--5), donc converge. On pose

$exp (a) = e^{a} = k = 0 \sum + \infty \frac{a ^{k}}{k !}, exp (A) = e^{A} = k = 0 \sum + \infty \frac{A ^{k}}{k !} .$

Proposition 10.9Calculs fondamentaux

Diagonale : $exp (diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})) = diag (e^{λ_{1}}, \dots, e^{λ_{n}})$ .
Matrices semblables : $exp (P A P^{- 1}) = P exp (A) P^{- 1}$ .
Spectre : $Sp (exp A) = {e^{λ} : λ \in Sp (A)}$ (spectre complexe).

Démonstration

Diagonale : les puissances se calculent coefficient par coefficient. Semblables : $(P A P^{- 1})^{k} = P A^{k} P^{- 1}$ pour les sommes partielles, et $M \mapsto P M P^{- 1}$ est linéaire donc continue (dimension finie, chapitre 4) : on passe à la limite. Spectre : trigonalisons $A = P T P^{- 1}$ sur $C$ (chapitre 2) ; les sommes partielles de $exp (T)$ sont triangulaires de diagonale $\sum_{k \leq N} \frac{λ _{i}^{k}}{k !}$ , et l'ensemble des matrices triangulaires supérieures est fermé (chapitre 4) : $exp (T)$ est triangulaire de diagonale $(e^{λ_{i}})$ , et $exp (A)$ lui est semblable. (Au passage, on retrouve $det (exp A) = \prod e^{λ_{i}} = e^{tr A}$ , démontré autrement au chapitre 7.)

◆Théorème 10.10Continuité et dérivation

L'application $exp$ est continue sur $L (E)$ (et sur $M_{n} (K)$ ).
Pour $a \in L (E)$ fixé, $t \mapsto exp (t a)$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ , avec

$\frac{d}{d t} exp (t a) = a \circ exp (t a) = exp (t a) \circ a .$

Démonstration

Continuité : sur toute boule ${∣ ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ \leq R}$ , le terme général est dominé par $\frac{R ^{k}}{k !}$ (convergence normale, chapitre 6 adapté aux fonctions à valeurs dans $L (E)$ ), et chaque application $a \mapsto \frac{a ^{k}}{k !}$ est continue (polynomiale, chapitre 4) : $exp$ est limite uniforme de fonctions continues sur chaque boule, donc continue. Dérivation : démontrée au chapitre 7 (exercice 8) — chaque coefficient de $exp (t A)$ est une série entière en $t$ de rayon infini, que l'on dérive terme à terme.

◆Théorème 10.11Exponentielle d'une somme : le cas commutatif

Si $a, b \in L (E)$ commutent ( $ab = ba$ ), alors

$exp (a + b) = exp (a) \circ exp (b) .$

En particulier $exp (a)$ est toujours inversible, d'inverse $exp (- a)$ . Sans commutation, l'égalité est fausse en général (exercice 19 de la banque).

Démonstration

Démonstration « différentielle », dans l'esprit du chapitre : posons $φ (t) = exp (t (a + b))$ et $ψ (t) = exp (t a) exp (t b)$ . Comme $b$ commute avec $a$ , il commute avec chaque $\frac{( t a ) ^{k}}{k !}$ , donc avec $exp (t a)$ (passage à la limite, le produit étant continu). La dérivée du produit (chapitre 7) donne alors

$ψ^{'} (t) = a exp (t a) exp (t b) + exp (t a) b exp (t b) = (a + b) ψ (t),$

et $φ^{'} = (a + b) φ$ également, avec $φ (0) = ψ (0) = id$ . Par unicité dans le théorème de Cauchy (l'équation $u^{'} = (a + b) \circ u$ est linéaire sur $L (E)$ , espace de dimension finie), $φ = ψ$ ; en $t = 1$ , c'est l'égalité voulue. Avec $b = - a$ : $exp (a) exp (- a) = exp (0) = id$ .

10.5 Systèmes différentiels homogènes à coefficients constants

◆Théorème 10.12Résolution par l'exponentielle

Soit $a \in L (E)$ (constant) et $(t_{0}, x_{0}) \in R \times E$ . L'unique solution du problème de Cauchy

$x^{'} = a (x), x (t_{0}) = x_{0}$

est

$x (t) = exp ((t - t_{0}) a) (x_{0}), soit matriciellement X (t) = e^{(t - t_{0}) A} X_{0} .$

Démonstration

Existence : la dérivation de $t \mapsto exp ((t - t_{0}) a)$ donne $x^{'} (t) = a (exp ((t - t_{0}) a) (x_{0})) = a (x (t))$ , et $x (t_{0}) = x_{0}$ . Unicité (sans invoquer le théorème admis) : si $x$ est solution, posons $z (t) = exp (- (t - t_{0}) a) (x (t))$ . La dérivée d'un produit (chapitre 7, bilinéarité de l'évaluation) donne

$z^{'} (t) = - a exp (- (t - t_{0}) a) (x (t)) + exp (- (t - t_{0}) a) (a (x (t))) = 0$

( $a$ commute avec son exponentielle) : $z$ est constante sur l'intervalle (chapitre 7), égale à $z (t_{0}) = x_{0}$ , et $x (t) = exp ((t - t_{0}) a) (x_{0})$ . Pour les systèmes à coefficients constants, tout le théorème de Cauchy se démontre en trois lignes.

ImportantCalculs explicites : les deux situations du programme

$a$ diagonalisable : si $(v_{1}, \dots, v_{n})$ est une base de vecteurs propres ( $a (v_{i}) = λ_{i} v_{i}$ ) et $x_{0} = \sum c_{i} v_{i}$ , alors

$x (t) = i = 1 \sum n c_{i} e^{λ_{i} (t - t_{0})} v_{i}$

— inutile de calculer $e^{t A}$ : on décompose la condition initiale sur la base propre et chaque coordonnée évolue exponentiellement. (Les solutions sont les combinaisons des $t \mapsto e^{λ_{i} t} v_{i}$ .)

$dim E \leq 3$ : trigonalisation ou décomposition $A = λ I + N$ avec $N$ nilpotente ( $e^{t A} = e^{λ t} (I + tN + \frac{t ^{2}}{2} N^{2})$ , somme finie car $N$ commute avec $λ I$ — chapitre 2).

Proposition 10.13Comportement en temps long

Soit $A \in M_{n} (R)$ diagonalisable sur $C$ , de valeurs propres $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ .

Si $Re (λ_{i}) < 0$ pour tout $i$ , toute solution de $X^{'} = A X$ tend vers $0$ en $+ \infty$ .
Si $Re (λ_{i}) > 0$ pour un $i$ , il existe des solutions non bornées.

(Le cas général, non diagonalisable, s'obtient par trigonalisation : les solutions sont des polynômes en $t$ multipliés par des $e^{λ_{i} t}$ , et la conclusion subsiste — exercice 33 de la banque.)

Démonstration

Sur une base propre complexe, $X (t) = \sum c_{i} e^{λ_{i} t} v_{i}$ et $c_{i} e^{λ_{i} t} v_{i} = ∣ c_{i} ∣ e^{Re (λ_{i}) t} ∥ v_{i} ∥$ : chaque terme tend vers $0$ si $Re (λ_{i}) < 0$ . Si $Re (λ_{j}) > 0$ , la solution $e^{λ_{j} t} v_{j}$ (ou sa partie réelle) est non bornée. Le signe des parties réelles des valeurs propres décide seul de la stabilité : c'est la lecture qualitative essentielle.

Les quatre portraits de phase types de $X^{'} = A X$ en dimension 2 — le spectre de $A$ dicte la géométrie

10.6 Variation des constantes

Dans cette section, on considère une équation scalaire linéaire d'ordre 2 normalisée

$x^{''} + α (t) x^{'} + β (t) x = δ (t), α, β, δ continues sur I,$

dont l'espace des solutions homogènes $S_{H}$ est de dimension $2$ .

Définition 10.14Wronskien

Le wronskien d'un couple $(x_{1}, x_{2})$ de solutions de l'équation homogène est

$W (t) = x_{1} (t) x_{1}^{'} (t) x_{2} (t) x_{2}^{'} (t) = x_{1} (t) x_{2}^{'} (t) - x_{1}^{'} (t) x_{2} (t) .$

◆Théorème 10.15Caractérisation des bases

Soit $(x_{1}, x_{2})$ un couple de solutions de l'équation homogène. Le wronskien vérifie $W^{'} = - α (t) W$ ; en conséquence, $W$ est soit partout nul, soit jamais nul, et les assertions suivantes sont équivalentes :

$(x_{1}, x_{2})$ est une base de $S_{H}$ ;
$W (t_{0}) \neq = 0$ pour un $t_{0} \in I$ ;
$W (t) \neq = 0$ pour tout $t \in I$ .

Démonstration

Équation du wronskien : en dérivant (produits, chapitre 7) puis en remplaçant $x_{i}^{''} = - α x_{i}^{'} - β x_{i}$ :

$W^{'} = x_{1} x_{2}^{''} - x_{1}^{''} x_{2} = x_{1} (- α x_{2}^{'} - β x_{2}) - (- α x_{1}^{'} - β x_{1}) x_{2} = - α (x_{1} x_{2}^{'} - x_{1}^{'} x_{2}) = - α W .$

Donc $W (t) = W (t_{0}) e^{- \int_{t_{0}}^{t} α}$ (équation scalaire d'ordre 1, première année) : $W$ ne s'annule qu'identiquement. Équivalences : via le système compagnon, l'évaluation $x \mapsto (x (t_{0}), x^{'} (t_{0}))$ est un isomorphisme de $S_{H}$ sur $R^{2}$ ; $(x_{1}, x_{2})$ est une base de $S_{H}$ si et seulement si leurs images $(x_{i} (t_{0}), x_{i}^{'} (t_{0}))$ forment une base de $R^{2}$ , c'est-à-dire $W (t_{0}) \neq = 0$ .

◆Théorème 10.16Méthode de variation des constantes

Soit $(x_{1}, x_{2})$ une base de solutions de l'équation homogène, de wronskien $W$ . On cherche une solution particulière sous la forme $x = c_{1} (t) x_{1} + c_{2} (t) x_{2}$ , en imposant le système

${c_{1}^{'} x_{1} + c_{2}^{'} x_{2} = 0 c_{1}^{'} x_{1}^{'} + c_{2}^{'} x_{2}^{'} = δ (t), soit c_{1}^{'} = - \frac{x _{2} δ}{W}, c_{2}^{'} = \frac{x _{1} δ}{W}$

(formules de Cramer, le déterminant du système étant $W \neq = 0$ ). Toute primitive $(c_{1}, c_{2})$ fournit une solution particulière, et donc la solution générale.

Démonstration

Avec la première contrainte, $x^{'} = c_{1} x_{1}^{'} + c_{2} x_{2}^{'}$ (les termes en $c_{i}^{'}$ disparaissent) ; en dérivant encore et en utilisant la seconde : $x^{''} = c_{1} x_{1}^{''} + c_{2} x_{2}^{''} + δ$ . Alors

$x^{''} + α x^{'} + β x = c_{1} = 0 (x_{1}^{''} + α x_{1}^{'} + β x_{1}) + c_{2} = 0 (x_{2}^{''} + α x_{2}^{'} + β x_{2}) + δ = δ .$

La première équation du système n'est pas une conséquence : c'est un choix — on dispose de deux fonctions inconnues pour une seule équation, et ce choix rend le calcul linéaire.

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