Équations différentielles linéaires

Cours · mathématiques (MP/MPI), chapitre 10 · MP et MPI (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le champ de directions de l'équation y′ = x − y et une courbe solution.

10.1 Introduction et motivation

La notion générale d'équation différentielle linéaire est introduite à partir des exemples de première année : l'équation scalaire d'ordre 1 ( $x^{'} = a (t) x + b (t)$ ) et l'équation scalaire homogène d'ordre 2 à coefficients constants ( $x^{''} + p x^{'} + q x = 0$ ). Le cadre est désormais vectoriel : $I$ est un intervalle de $R$ , $E$ un espace normé de dimension finie $n$ .

Ce chapitre est un point de convergence du cours : les fonctions vectorielles (chapitre 7) fournissent le cadre, l'exponentielle de matrice (chapitres 5 et 7) résout les systèmes à coefficients constants, la réduction (chapitre 2) rend l'exponentielle calculable, les séries entières (chapitre 6) donnent des solutions développables, et le wronskien (chapitre 7) structure les équations d'ordre 2.

Conformément au programme, la résolution explicite des systèmes à coefficients constants n'est pas un objectif : les calculs se limitent au cas diagonalisable et à la dimension $\leq 3$ . En revanche, on insiste sur les études qualitatives : le signe des parties réelles des valeurs propres gouverne le comportement en temps long, et en dimension 2 les courbes intégrales se dessinent (nœuds, selles, foyers, centres).

10.2 Généralités

Définition 10.1Équation différentielle linéaire

Une équation différentielle linéaire (d'ordre 1, vectorielle) est une équation de la forme

$x^{'} = a (t) \cdot x + b (t),$

où $a : I \to L (E)$ et $b : I \to E$ sont continues. Une solution est une fonction dérivable $x : I \to E$ vérifiant $x^{'} (t) = a (t) (x (t)) + b (t)$ pour tout $t$ — elle est alors automatiquement de classe $C^{1}$ (le second membre est continu). Forme matricielle : dans une base de $E$ , l'équation devient un système différentiel linéaire $X^{'} = A (t) X + B (t)$ , avec $A : I \to M_{n} (K)$ et $B : I \to K^{n}$ continues. L'équation homogène associée est $x^{'} = a (t) \cdot x$ .

Proposition 10.2Principe de superposition

Si $x_{1}$ est solution de $x^{'} = a (t) x + b_{1} (t)$ et $x_{2}$ de $x^{'} = a (t) x + b_{2} (t)$ , alors $λ x_{1} + μ x_{2}$ est solution de $x^{'} = a (t) x + λ b_{1} (t) + μ b_{2} (t)$ . On peut découper un second membre en morceaux simples et additionner les solutions particulières (exercice 13 de la banque).

Définition 10.3Problème de Cauchy

Le problème de Cauchy associé à l'équation, au point $(t_{0}, x_{0}) \in I \times E$ , consiste à chercher les solutions vérifiant la condition initiale $x (t_{0}) = x_{0}$ .

Proposition 10.4Mise sous forme intégrale

$x : I \to E$ est solution du problème de Cauchy si et seulement si $x$ est continue sur $I$ et vérifie

$\forall t \in I, x (t) = x_{0} + \int_{t_{0}}^{t} (a (s) \cdot x (s) + b (s)) d s .$

Démonstration

Si $x$ est solution, on intègre $x^{'}$ entre $t_{0}$ et $t$ (théorème fondamental, chapitre 7). Réciproquement, si $x$ est continue et vérifie l'équation intégrale, le membre de droite est de classe $C^{1}$ (primitive d'une fonction continue, chapitre 7) : donc $x$ l'est aussi, et en dérivant, $x^{'} = a (t) x + b (t)$ , avec $x (t_{0}) = x_{0}$ . (Cette reformulation transforme une équation différentielle en équation « de point fixe » — c'est le point de départ de la démonstration du théorème de Cauchy.)

Proposition 10.5Équations scalaires d'ordre n

L'équation scalaire linéaire d'ordre $n$

$y^{(n)} + a_{n - 1} (t) y^{(n - 1)} + \dots + a_{1} (t) y^{'} + a_{0} (t) y = c (t)$

équivaut au système $X^{'} = A (t) X + B (t)$ obtenu en posant $X = (y, y^{'}, \dots, y^{(n - 1)})$ :

$A (t) = 0 - a_{0} (t) 1 ⋱ - a_{1} (t) ⋱ 0 \dots 1 - a_{n - 1} (t), B (t) = 0 ⋮ 0 c (t)$

(une matrice compagnon, chapitre 2). Le problème de Cauchy d'ordre $n$ consiste à imposer les $n$ valeurs $y (t_{0}), y^{'} (t_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (t_{0})$ .

10.3 Solutions d'une équation différentielle linéaire

◆Théorème 10.6Théorème de Cauchy linéaire

Soient $a : I \to L (E)$ et $b : I \to E$ continues, $t_{0} \in I$ et $x_{0} \in E$ . Le problème de Cauchy

$x^{'} = a (t) \cdot x + b (t), x (t_{0}) = x_{0}$

admet une unique solution, définie sur $I$ tout entier. (La démonstration n'est pas exigible — elle repose sur la forme intégrale et un argument de point fixe.) L'énoncé s'adapte aux systèmes $X^{'} = A (t) X + B (t)$ , et aux équations scalaires d'ordre $n$ : pour toutes valeurs initiales $y (t_{0}), \dots, y^{(n - 1)} (t_{0})$ prescrites, existence et unicité de la solution sur $I$ .

iRemarque

Deux lectures à retenir. Géométrique : par chaque point $(t_{0}, x_{0})$ passe une et une seule courbe intégrale — deux solutions distinctes ne se croisent jamais. Globale : dans le monde linéaire, les solutions vivent sur tout l'intervalle $I$ , sans explosion en temps fini — privilège que les équations non linéaires ne partagent pas.

Champ de directions de $x^{'} = t - x$ : par chaque condition initiale passe une unique courbe intégrale, et deux courbes ne se croisent jamais — toutes convergent vers la solution particulière $x_{p}$ (en tirets).

Exercices du chapitre

Problème de Cauchy contre problème aux limites corrigé
Raccordement : quand le coefficient dominant s'annule corrigé
L'équation d'Airy et sa récurrence à trois crans corrigé
L'exponentielle par intérêts composés corrigé
Trois corps en contact thermique : le retour à la moyenne corrigé
Stabilité sans diagonalisabilité corrigé

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