Calcul différentiel et optimisation

Si $f$ est différentiable en $a$, alors :

• $f$ est continue en $a$ ;
• $f$ est dérivable en $a$ selon tout vecteur $v$, avec

$$D_{v}f(a)=\mathrm{d}f(a)\cdot v$$

(ce qui prouve l'unicité de la différentielle) ;

• si $f=(f_1,\dots ,f_p)$ dans une base de $F$ : $f$ est différentiable en $a$ si et seulement si chaque $f_i$ l'est.

Application constante : $\mathrm{d}f(a)=0$ pour tout $a$. Application linéaire $u\in \mathcal{L}(E,F)$ : $u(a+h)=u(a)+u(h)$ exactement, donc $u$ est différentiable partout et $\mathrm{d}u(a)=u$ pour tout $a$ — une application linéaire est sa propre approximation linéaire.

Si $f$ est différentiable en $a$ et $\mathcal{B}=(e_1,\dots ,e_n)$ est une base de $E$, alors pour $h=\sum h_i{e}_i$ :

$$\mathrm{d}f(a)\cdot h=\sum _{i=1}^n{h}_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(a).$$

Si $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ et $F={\mathbb{R}}^m$ (bases canoniques), la matrice de $\mathrm{d}f(a)$ est la matrice jacobienne

$$J_f(a)=(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(a){)}_{1\le i\le m,1\le j\le n}\in {\mathcal{M}}_{m,n}(\mathbb{R}).$$

Cas d'une variable ($\Omega$ intervalle ouvert de $\mathbb{R}$) : différentiabilité en $a$ $⟺$ dérivabilité en $a$, avec $f^{\prime }(a)=\mathrm{d}f(a)\cdot 1$.

• Si $f,g$ sont différentiables en $a$ : $\mathrm{d}(\lambda f+\mu g)(a)=\lambda \mathrm{d}f(a)+\mu \mathrm{d}g(a)$.
• Si $M:F_1\times \cdots \times F_p\to G$ est multilinéaire et $f_1,\dots ,f_p$ différentiables en $a$, alors $x\mapsto M(f_1(x),\dots ,f_p(x))$ est différentiable en $a$, de différentielle

$$h\mapsto \sum _{j=1}^{p}M(f_1(a),\dots ,\mathrm{d}{f}_j(a)\cdot h,\dots ,f_p(a))$$

— une position à la fois, comme au chapitre 7. Cas usuels : produit $fg$ de fonctions numériques ($\mathrm{d}(fg)(a)=f(a)\mathrm{d}g(a)+g(a)\mathrm{d}f(a)$), produit scalaire $⟨f,g⟩$.

Si $f:\Omega \to F$ est différentiable en $a$ et $g:{\Omega }^{\prime }\to G$ ($f(\Omega )\subset {\Omega }^{\prime }$) est différentiable en $f(a)$, alors $g\circ f$ est différentiable en $a$ et

$$\mathrm{d}(g\circ f)(a)=\mathrm{d}g(f(a))\circ \mathrm{d}f(a)$$

— les applications linéaires tangentes se composent (et les matrices jacobiennes se multiplient).

Si $\gamma :I\to \Omega$ est dérivable en $t$ et $f$ différentiable en $\gamma (t)$, alors $f\circ \gamma$ est dérivable en $t$ et

$$(f\circ \gamma {)}^{\prime }(t)=\mathrm{d}f(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t).$$

Cas fondamental $\gamma (t)=x+tv$ : on retrouve $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x+tv)=\mathrm{d}f(x+tv)\cdot v$. En coordonnées : si $\gamma (t)=(x_1(t),\dots ,x_n(t))$,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x_1(t),\dots ,x_n(t))=\sum _{i=1}^n{x}_i^{\prime }(t)\frac{\partial f}{\partial x_i}(\gamma (t)).$$

Interprétation : la valeur de $f$ vue par un mobile varie selon le produit de la linéaire tangente par le vecteur vitesse — la géométrie du chapitre 7 rencontre la différentielle.

Si $f(x_1,\dots ,x_n)$ et $x_i=x_i(u_1,\dots ,u_m)$ sont différentiables, alors

$$\frac{\partial }{\partial u_j}f(x_1(u),\dots ,x_n(u))=\sum _{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial u_j}$$

(règle de la chaîne appliquée selon le vecteur $e_j$ des variables $u$ — le produit des jacobiennes, ligne par colonne). Exemple type : les coordonnées polaires (exercice 4).

$f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\Omega$ si et seulement si ses dérivées partielles dans une base de $E$ existent en tout point de $\Omega$ et sont continues sur $\Omega$. (La démonstration n'est pas exigible — l'idée : l'accroissement $f(a+h)-f(a)$ se découpe en accroissements selon chaque coordonnée, contrôlés par les accroissements finis et la continuité des ${\partial }_{i}f$.)

Si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\Omega$ et $\gamma :[0,1]\to \Omega$ de classe ${\mathcal{C}}^1$ avec $\gamma (0)=a$, $\gamma (1)=b$, alors

$$f(b)-f(a)={\int }_0^1\mathrm{d}f(\gamma (t))\cdot {\gamma }^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$

Cas particulier du segment $\gamma (t)=a+t(b-a)$ (licite si $[a,b]\subset \Omega$) : $f(b)-f(a)={\int }_0^1\mathrm{d}f(a+t(b-a))\cdot (b-a)\mathrm{d}t$.

Si $\Omega$ est un ouvert connexe par arcs et $f\in {\mathcal{C}}^1(\Omega ,F)$, alors

$$f\text{ est constante sur }\Omega ⟺\mathrm{d}f=0\text{ sur }\Omega .$$

Sous-espace affine $X=x_0+V$ : $T_{x}X=V$ (les arcs $t\mapsto x+tv$, $v\in V$, restent dans $X$ ; réciproquement tout arc dans $X$ a sa dérivée dans la direction $V$). Sphère euclidienne $S=\{x:\Vert x\Vert =R\}$ : $T_{x}S=x^{\perp }$. En effet, si $\gamma$ est un arc dans $S$, $\Vert \gamma \Vert$ est constante donc ${\gamma }^{\prime }(0)\perp \gamma (0)=x$ (chapitre 7) ; réciproquement, pour $v\perp x$ non nul, le grand cercle $\gamma (t)=\cos (t\Vert v\Vert /R)x+\sin (t\Vert v\Vert /R)R\frac{v}{\Vert v\Vert }$ reste sur $S$, avec $\gamma (0)=x$ et ${\gamma }^{\prime }(0)=v$. Graphe $X=\{(x,y,h(x,y))\}$ d'une fonction $h$ différentiable sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^2$ : au point $(a,b,h(a,b))$, le plan tangent est engendré par $(1,0,{\partial }_{1}h)$ et $(0,1,{\partial }_{2}h)$ (arcs coordonnés relevés sur le graphe).

Soient $g$ une fonction numérique de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur l'ouvert $\Omega$, $X=\{y\in \Omega :g(y)=0\}$ et $x\in X$ tel que $\mathrm{d}g(x)\ne 0$. Alors

$$T_{x}X=\mathrm{Ker}\mathrm{d}g(x),$$

un hyperplan de $E$. (La démonstration — et le théorème des fonctions implicites qui la fonde — sont hors programme ; l'inclusion $\subset$ est facile : si $\gamma$ est un arc dans $X$, $g\circ \gamma \equiv 0$ se dérive en $\mathrm{d}g(x)\cdot {\gamma }^{\prime }(0)=0$.) Traduction euclidienne : $T_{x}X=\nabla g(x{)}^{\perp }$ — le gradient est orthogonal aux ensembles de niveau (la figure du gradient). Exemple : pour une surface de ${\mathbb{R}}^3$ d'équation $g(x,y,z)=0$, le plan tangent en un point régulier $x_0$ est le plan passant par $x_0$ et de vecteur normal $\nabla g(x_0)$.

Si $f:\Omega \to \mathbb{R}$ est différentiable et admet un extremum local en un point $x$ intérieur à son domaine (ce qui est automatique, $\Omega$ étant ouvert), alors $x$ est un point critique de $f$.

Soient $f$ numérique différentiable sur $\Omega$ et $X\subset \Omega$. Si la restriction $f{|}_X$ admet un extremum local en $x\in X$, alors

$$\forall v\in T_{x}X,\mathrm{d}f(x)\cdot v=0$$

— la différentielle s'annule sur tous les vecteurs tangents à la contrainte.

Soient $f,g$ numériques de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\Omega$, $X=\{g=0\}$ et $x\in X$ avec $\mathrm{d}g(x)\ne 0$. Si $f{|}_X$ admet un extremum local en $x$, alors

$$\mathrm{d}f(x)\text{ est colineˊaire aˋ }\mathrm{d}g(x),\text{soit en euclidien : }\exists \lambda \in \mathbb{R},\nabla f(x)=\lambda \nabla g(x).$$

(Le scalaire $\lambda$ est le multiplicateur de Lagrange.)

Si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^n$, alors pour tous $i,j$ :

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_j\partial x_i}$$

— l'ordre de dérivation est indifférent (et de même à tout ordre pour $f\in {\mathcal{C}}^k$). La démonstration n'est pas exigible. L'hypothèse ${\mathcal{C}}^2$ est essentielle : il existe des fonctions dont les dérivées croisées en un point diffèrent (exercice 13 de la banque).

Combinaisons linéaires, produits, quotients (à dénominateur non nul) et composées d'applications de classe ${\mathcal{C}}^k$ sont de classe ${\mathcal{C}}^k$ (démonstrations non exigibles). Toute fonction « formule » est ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur son ouvert de définition.

La règle de la chaîne permet de résoudre des EDP simples par changement de variables : une EDP du premier ordre à coefficients constants se ramène à $\frac{\partial g}{\partial u}=0$ (exercice 5), l'équation des ondes à $\frac{{\partial }^{2}g}{\partial u\partial v}=0$ (exercice 10) — dans les deux cas, le changement de variables redresse l'équation, et le théorème de Schwarz sécurise les calculs d'ordre 2.

Si $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^n$, alors quand $h\to 0$ :

$$f(x+h)=f(x)+⟨\nabla f(x),h⟩+\frac{1}{2}⟨H_f(x)h,h⟩+o(\Vert h{\Vert }^2),$$

soit matriciellement $f(x+h)=f(x)+\nabla f(x{)}^{\mathsf{T}}h+\frac{1}{2}{h}^{\mathsf{T}}{H}_f(x)h+o(\Vert h{\Vert }^2)$. (Démonstration non exigible.)

Soit $f$ de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur un ouvert de ${\mathbb{R}}^n$.

• (condition nécessaire) Si $f$ admet un minimum local en $x$, alors $x$ est critique et $H_f(x)\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ (positive). Pour un maximum local : $-H_f(x)\in {\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$.
• (condition suffisante) Si $x$ est un point critique et $H_f(x)\in {\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ (définie positive), alors $f$ admet un minimum local strict en $x$. Pour un maximum local strict : $H_f(x)$ définie négative.