Exercices corrigés — Topologie des espaces vectoriels normés (mathématiques (MP/MPI))

19 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Normes

• L'identité du parallélogramme caractérise l'euclidien Exercice de TD

B. Suites, normes équivalentes

• Deux normes non équivalentes sur $\mathbb{R}[X]$ Exercice de TD

C. Topologie

• Les diagonalisables : ni ouvertes, ni fermées, mais denses sur $\mathbb{C}$ Exercice de TD
• Même polynôme caractéristique pour $AB$ et $BA$, par densité Exercice de TD

D. Continuité et normes d'opérateurs

• Séparer deux fermés par une fonction continue Exercice de TD
• Les trois normes subordonnées : infinie, un, euclidienne Exercice de TD

E. Compacité et connexité

• $O_n(\mathbb{R})$ est compact, $S{L}_n(\mathbb{R})$ ne l'est pas Exercice de TD
• Coercivité et minimum global Exercice de TD
• $G{L}_n(\mathbb{R})$ coupé en deux, $G{L}_n(\mathbb{C})$ d'un seul tenant Exercice de TD
• Problème — Le théorème de Riesz : la boule unité et la dimension Exercice de TD
• Les matrices définies positives : un ouvert convexe Application directe du cours

Niveau ★ — application directe du cours

• Norme ou pas ? Application directe du cours
• Les trois normes Application directe du cours
• Ouvert, fermé, ni l'un ni l'autre Application directe du cours

Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

• Normes non équivalentes Application directe du cours
• Densité et unicité Application directe du cours
• Calcul d'une norme d'opérateur Application directe du cours
• La distance à un compact est atteinte Application directe du cours

Niveau ★★★ — approfondissement

• La dimension infinie en défaut Application directe du cours

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