Exercices corrigés — Endomorphismes d'un espace euclidien (mathématiques (MP/MPI))
22 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
A. Adjoint
- Les quatre sous-espaces de l'adjoint, et le rang de Gram Exercice de TD
- La stabilité de l'orthogonal, moteur du chapitre Exercice de TD
- Endomorphismes normaux : les deux noyaux coïncident Exercice classique
B. Matrices orthogonales et isométries
- Orthogonale et symétrique : les symétries orthogonales Exercice de TD
- Polarisation, et la linéarité automatique Exercice de TD
C. Dimensions 2 et 3
- Deux réflexions font une rotation d'angle double Exercice de TD
- Toute isométrie se réduit Exercice de TD
- Axe et angle d'une rotation de l'espace Application directe du cours
- Isométries indirectes de l'espace : les antirotations Application directe du cours
D. Théorème spectral, positivité
- Ce que la symétrie rend gratuit Exercice de TD
- Rayleigh : la plus grande valeur propre est sous-additive Exercice de TD
- pour deux matrices positives Exercice de TD
- Problème — La décomposition polaire : Exercice de TD
Niveau ★ — application directe du cours
- Vérifier une matrice orthogonale Application directe du cours
- L'adjoint en pratique Application directe du cours
- Reconnaître les isométries du plan Application directe du cours
Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire
- Matrice d'une réflexion Application directe du cours
- Le théorème spectral en action Application directe du cours
- Une rotation de l'espace Application directe du cours
Niveau ★★★ — approfondissement
- Positif, défini positif Application directe du cours
- Racine carrée d'une matrice symétrique positive Application directe du cours
- Le quotient de Rayleigh Application directe du cours