Exercices corrigés — Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants (mathématiques (PC))
20 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
A. Sommes directes de plusieurs sous-espaces
- : trois noyaux en somme directe Exercice de TD
C. Sous-espaces stables, endomorphisme induit, blocs
- : dimension paire et plans stables Exercice de TD
- L'opérateur aux différences : un drapeau, et rien d'autre Exercice de TD
D. Polynômes d'endomorphismes et de matrices
- Réactions successives : les puissances par division euclidienne Exercice de TD
- Un polynôme annulateur factorisé découpe l'espace Exercice classique
E. Trace
- La trace est la seule forme linéaire qui ignore l'ordre des facteurs Exercice de TD
- Des projecteurs de somme découpent l'espace Exercice de TD
F. Déterminants par blocs, Vandermonde et interpolation
- Le déterminant par blocs quand deux blocs commutent Exercice de TD
- Vandermonde décide des libertés Exercice de TD
- Différences divisées et erreur d'interpolation Exercice de TD
- Problème : le déterminant circulant, et l'inversion de Fourier discrète Exercice de TD
Niveau ★ — application directe du cours
- Le rang d'un projecteur se lit sur sa trace Application directe du cours
- Trois droites en somme directe, et le piège du « deux à deux » Application directe du cours
- Un polynôme annulateur donne l'inverse et toutes les puissances Application directe du cours
- Déterminant triangulaire par blocs, et la formule qui n'existe pas Application directe du cours
Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire
- Lagrange et Vandermonde, deux lectures d'un même changement de base Application directe du cours
- Un endomorphisme de carré nul, lu par blocs Application directe du cours
Autres exercices résolus, par thème du cours
- Toute droite stable : l'endomorphisme est une homothétie Application directe du cours
- Trace et déterminant de la transposition Application directe du cours
- Un endomorphisme complexe préserve l'orientation réelle Application directe du cours