Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants

Cours · mathématiques (PC), chapitre 1 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La valeur absolue du déterminant de deux vecteurs est l'aire du parallélogramme qu'ils forment.

1.1 Introduction et vue d'ensemble

L'algèbre linéaire en deuxième année de CPGE PC constitue le cadre géométrique et analytique universel indispensable à la physique quantique (espaces de Hilbert et opérateurs d'observables), à la mécanique des milieux continus (tenseurs des déformations et des contraintes) et à la chimie quantique (orbitales moléculaires LCAO et matrices hamiltoniennes de Hückel).

Ce premier chapitre a pour vocation de consolider la géométrie des espaces vectoriels de dimension quelconque et finie :

La décomposition en somme directe de sous-espaces vectoriels et la caractérisation projective.
L'étude de la trace d'un endomorphisme et son invariance fondamentale par changement de base.
Les sous-espaces stables et les polynômes d'endomorphismes, qui préparent directement la réduction du chapitre suivant.
Le calcul matriciel avancé des déterminants (déterminants par blocs, déterminant de Vandermonde) et l'interpolation de Lagrange, dont Vandermonde est le pendant déterminantal.

Le chapitre suit une progression qui n'est pas arbitraire. On commence par décomposer l'espace en somme directe, ce qui revient à choisir une façon de découper tout vecteur en morceaux ; les projecteurs sont la traduction opératoire de ce découpage. On construit ensuite deux invariants — la trace et le déterminant — c'est-à-dire deux nombres attachés à un endomorphisme et non à la matrice qui le représente. Cette distinction est le fil rouge : une matrice dépend d'une base, un endomorphisme non ; tout ce qui survit à un changement de base est intrinsèque, et c'est cela seul qui a un sens géométrique.

1.2 Sommes Directes et Projecteurs

Décomposer un espace en somme directe, c'est se donner le droit de raisonner morceau par morceau : tout vecteur s'écrit d'une seule façon comme somme de ses composantes, et une application linéaire se lit alors sur chaque morceau séparément. C'est le mécanisme qui rendra possible toute la réduction du chapitre suivant — diagonaliser, c'est décomposer l'espace en somme directe de sous-espaces propres.

L'unicité de l'écriture est le point sensible, et c'est elle que caractérise l'intersection réduite à ${0_{E}}$ .

Figure : Décomposition

E = F \oplus G

: tout vecteur se coupe en deux composantes, et la direction de

G

décide où retombe la projection sur

F

1.2.1 Produit d'espaces vectoriels

Définition 1.1Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels

Soient $E_{1}, \dots, E_{p}$ des $K$ -espaces vectoriels. Le produit $E_{1} \times \dots \times E_{p}$ , muni des lois

$(x_{1}, \dots, x_{p}) + (y_{1}, \dots, y_{p}) = (x_{1} + y_{1}, \dots, x_{p} + y_{p}), λ \cdot (x_{1}, \dots, x_{p}) = (λ x_{1}, \dots, λ x_{p}),$

est un $K$ -espace vectoriel. Si chaque $E_{i}$ est de dimension finie, alors

$dim (E_{1} \times \dots \times E_{p}) = i = 1 \sum p dim (E_{i}) .$

Le produit est une construction externe : les $E_{i}$ peuvent être des espaces sans rapport les uns avec les autres. La somme directe, qui vient ensuite, est une construction interne : les $F_{i}$ y sont des sous-espaces d'un même espace. Les deux notions finissent par se rejoindre — l'application $(x_{1}, \dots, x_{p}) \mapsto x_{1} + \dots + x_{p}$ est un isomorphisme de $F_{1} \times \dots \times F_{p}$ sur $F_{1} + \dots + F_{p}$ si et seulement si la somme est directe —, et c'est cette phrase qui explique pourquoi les dimensions s'additionnent dans un cas et pas dans l'autre.

1.2.2 Somme Directe de Deux et de Plusieurs Sous-Espaces Vectoriels

Définition 1.2Somme de sous-espaces vectoriels

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel ( $K = R$ ou $C$ ) et soient $F_{1}, F_{2}, \dots, F_{p}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ .

La somme de ces sous-espaces est le sous-espace vectoriel défini par :

$F_{1} + F_{2} + \dots + F_{p} = {i = 1 \sum p x_{i} \forall i \in [[1, p]], x_{i} \in F_{i}} .$

Cette somme est dite directe si la décomposition du vecteur nul est unique :

$\forall (x_{1}, \dots, x_{p}) \in F_{1} \times \dots \times F_{p}, i = 1 \sum p x_{i} = 0_{E} ⟹ x_{1} = x_{2} = \dots = x_{p} = 0_{E} .$

On note alors cette somme $F_{1} \oplus F_{2} \oplus \dots \oplus F_{p}$ ou $⨁_{i = 1}^{p} F_{i}$ .

Proposition 1.3Cas particulier de deux sous-espaces

Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont en somme directe si et seulement si :

$F \cap G = {0_{E}} .$

Ils sont dits supplémentaires dans $E$ si de plus $E = F + G$ , ce que l'on note $E = F \oplus G$ .

ImportantAttention : Piège classique pour

p \geq 3

sous-espaces

Pour $p \geq 3$ sous-espaces vectoriels, la condition $F_{i} \cap F_{j} = {0_{E}}$ pour tout $i \neq = j$ est nécessaire mais non suffisante pour assurer que la somme $\sum F_{i}$ soit directe.
Contre-exemple classique : Dans $R^{2}$ , trois droites vectorielles distinctes $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ vérifient $D_{i} \cap D_{j} = {0}$ pour $i \neq = j$ , mais $D_{1} + D_{2} + D_{3} = R^{2}$ n'est pas directe car $dim (D_{1}) + dim (D_{2}) + dim (D_{3}) = 3 > 2$ .

Ce piège mérite qu'on s'y arrête, car il est contre-intuitif. Trois droites distinctes d'un même plan s'intersectent deux à deux en ${0_{E}}$ : la condition « deux à deux » est donc remplie. Et pourtant leur somme n'est pas directe — leur somme est le plan, de dimension $2$ , alors que la somme des dimensions vaut $3$ . Le décompte suffit à conclure, et c'est le réflexe à prendre : en dimension finie, on compte les dimensions avant tout.

◆Théorème 1.4Caractérisation en dimension finie

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie et soient $F_{1}, \dots, F_{p}$ des sous-espaces de $E$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$E = F_{1} \oplus F_{2} \oplus \dots \oplus F_{p}$ .
La concaténation de bases $B_{i}$ des sous-espaces $F_{i}$ forme une base adaptée $B = B_{1} \cup \dots \cup B_{p}$ de $E$ .
$\sum_{i = 1}^{p} F_{i} = E$ et $dim (E) = \sum_{i = 1}^{p} dim (F_{i})$ .
La somme $⨁_{i = 1}^{p} F_{i}$ est directe et $dim (E) = \sum_{i = 1}^{p} dim (F_{i})$ .

Une somme directe et un projecteur sont deux façons de dire la même chose. Se donner la décomposition $E = F \oplus G$ , c'est se donner l'application qui à un vecteur associe sa composante sur $F$ ; réciproquement, se donner un projecteur, c'est se donner sa décomposition, puisque $F = Im p$ et $G = ker p$ . Le dictionnaire va dans les deux sens, et c'est ce qui rend la caractérisation algébrique $p^{2} = p$ si utile : elle permet de reconnaître une décomposition sans jamais l'expliciter.

Démonstration

1 $⟹$ 2 : Soit pour chaque $i \in [[1, p]]$ , $B_{i} = (e_{i, 1}, \dots, e_{i, d_{i}})$ une base de $F_{i}$ avec $d_{i} = dim F_{i}$ . Considérons une combinaison linéaire nulle de tous les vecteurs de $B = ⋃_{i = 1}^{p} B_{i}$ :

$i = 1 \sum p k = 1 \sum d_{i} λ_{i, k} e_{i, k} = 0_{E} .$

En posant $x_{i} = \sum_{k = 1}^{d_{i}} λ_{i, k} e_{i, k} \in F_{i}$ , on obtient $\sum_{i = 1}^{p} x_{i} = 0_{E}$ . Comme la somme $⨁ F_{i}$ est directe, chaque $x_{i} = 0_{E}$ . Puisque chaque famille $B_{i}$ est libre dans $F_{i}$ , on en déduit que pour tout $k \in [[1, d_{i}]]$ , $λ_{i, k} = 0$ . La famille $B$ est donc libre.
De plus, $Vect (B) = \sum F_{i} = E$ , donc $B$ est une base de $E$ .

2 $⟹$ 3 : Si $B$ est une base de $E$ , alors $dim E = Card (B) = \sum_{i = 1}^{p} Card (B_{i}) = \sum_{i = 1}^{p} dim F_{i}$ , et $\sum F_{i} = Vect (B) = E$ .

3 $⟹$ 4 : Considérons l'application linéaire $ϕ : F_{1} \times \dots \times F_{p} \to E$ définie par $ϕ (x_{1}, \dots, x_{p}) = \sum_{i = 1}^{p} x_{i}$ . $ϕ$ est surjective par hypothèse ( $Im ϕ = \sum F_{i} = E$ ). D'après le théorème du rang :

$dim ker ϕ = dim (F_{1} \times \dots \times F_{p}) - dim (Im ϕ) = i = 1 \sum p dim F_{i} - dim E = 0.$

Ainsi $ker ϕ = {(0_{E}, \dots, 0_{E})}$ , ce qui prouve que la somme est directe.

4 $⟹$ 1 : Si la somme est directe, $ϕ$ est injective, donc $dim (Im ϕ) = dim (F_{1} \times \dots \times F_{p}) = \sum_{i = 1}^{p} dim F_{i} = dim E$ . Comme $Im ϕ$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de même dimension finie, $Im ϕ = \sum F_{i} = E$ , d'où $E = ⨁_{i = 1}^{p} F_{i}$ .

◆Théorème 1.5Inégalité des dimensions

Soient $F_{1}, \dots, F_{p}$ des sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un même espace. Alors

$dim (i = 1 \sum p F_{i}) \leq i = 1 \sum p dim (F_{i}),$

avec égalité si et seulement si la somme est directe.

C'est le critère de somme directe le plus commode en dimension finie : il ne demande que de compter. Réunir une base de chaque $F_{i}$ fournit toujours une famille génératrice de la somme, donc l'inégalité ; l'égalité signifie que cette famille est libre, c'est-à-dire qu'elle est une base adaptée à la décomposition.

1.2.3 Projecteurs et Symétries Vectorielles

Définition 1.6Projecteur et Symétrie associés à une somme directe

Soit $E = F \oplus G$ .

Le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ est l'endomorphisme $p \in L (E)$ défini par :

$\forall x = x_{F} + x_{G} \in F \oplus G, p (x) = x_{F} .$

Il vérifie $Im (p) = F$ , $ker (p) = G$ et la relation d'idempotence :

$p^{2} = p \circ p = p .$

La symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est l'endomorphisme $s \in L (E)$ défini par :

$s (x) = x_{F} - x_{G} = 2 p (x) - x ⟺ s = 2 p - id_{E} .$

Elle vérifie la relation d'involution :

$s^{2} = s \circ s = id_{E} .$

Exercices du chapitre

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