Compléments d'Algèbre Linéaire et Déterminants

Cours complet · mathématiques (PC), chapitre 1 · CPGE PC (2e année)

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1.1 Introduction et vue d'ensemble

L'algèbre linéaire en deuxième année de CPGE PC constitue le cadre géométrique et analytique universel indispensable à la physique quantique (espaces de Hilbert et opérateurs d'observables), à la mécanique des milieux continus (tenseurs des déformations et des contraintes) et à la chimie quantique (orbitales moléculaires LCAO et matrices hamiltoniennes de Hückel).

Ce premier chapitre a pour vocation de consolider la géométrie des espaces vectoriels de dimension quelconque et finie :

La décomposition en somme directe de sous-espaces vectoriels et la caractérisation projective.
L'étude de la trace d'un endomorphisme et son invariance fondamentale par changement de base.
Les sous-espaces stables et les polynômes d'endomorphismes, qui préparent directement la réduction du chapitre suivant.
Le calcul matriciel avancé des déterminants (déterminants par blocs, déterminant de Vandermonde) et l'interpolation de Lagrange, dont Vandermonde est le pendant déterminantal.

Le chapitre suit une progression qui n'est pas arbitraire. On commence par décomposer l'espace en somme directe, ce qui revient à choisir une façon de découper tout vecteur en morceaux ; les projecteurs sont la traduction opératoire de ce découpage. On construit ensuite deux invariants — la trace et le déterminant — c'est-à-dire deux nombres attachés à un endomorphisme et non à la matrice qui le représente. Cette distinction est le fil rouge : une matrice dépend d'une base, un endomorphisme non ; tout ce qui survit à un changement de base est intrinsèque, et c'est cela seul qui a un sens géométrique.

1.2 Sommes Directes et Projecteurs

Décomposer un espace en somme directe, c'est se donner le droit de raisonner morceau par morceau : tout vecteur s'écrit d'une seule façon comme somme de ses composantes, et une application linéaire se lit alors sur chaque morceau séparément. C'est le mécanisme qui rendra possible toute la réduction du chapitre suivant — diagonaliser, c'est décomposer l'espace en somme directe de sous-espaces propres.

L'unicité de l'écriture est le point sensible, et c'est elle que caractérise l'intersection réduite à ${0_{E}}$ .

Figure : Décomposition

E = F \oplus G

: tout vecteur se coupe en deux composantes, et la direction de

G

décide où retombe la projection sur

F

1.2.1 Produit d'espaces vectoriels

Définition 1.1Produit d'un nombre fini d'espaces vectoriels

Soient $E_{1}, \dots, E_{p}$ des $K$ -espaces vectoriels. Le produit $E_{1} \times \dots \times E_{p}$ , muni des lois

$(x_{1}, \dots, x_{p}) + (y_{1}, \dots, y_{p}) = (x_{1} + y_{1}, \dots, x_{p} + y_{p}), λ \cdot (x_{1}, \dots, x_{p}) = (λ x_{1}, \dots, λ x_{p}),$

est un $K$ -espace vectoriel. Si chaque $E_{i}$ est de dimension finie, alors

$dim (E_{1} \times \dots \times E_{p}) = i = 1 \sum p dim (E_{i}) .$

Le produit est une construction externe : les $E_{i}$ peuvent être des espaces sans rapport les uns avec les autres. La somme directe, qui vient ensuite, est une construction interne : les $F_{i}$ y sont des sous-espaces d'un même espace. Les deux notions finissent par se rejoindre — l'application $(x_{1}, \dots, x_{p}) \mapsto x_{1} + \dots + x_{p}$ est un isomorphisme de $F_{1} \times \dots \times F_{p}$ sur $F_{1} + \dots + F_{p}$ si et seulement si la somme est directe —, et c'est cette phrase qui explique pourquoi les dimensions s'additionnent dans un cas et pas dans l'autre.

1.2.2 Somme Directe de Deux et de Plusieurs Sous-Espaces Vectoriels

Définition 1.2Somme de sous-espaces vectoriels

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel ( $K = R$ ou $C$ ) et soient $F_{1}, F_{2}, \dots, F_{p}$ des sous-espaces vectoriels de $E$ .

La somme de ces sous-espaces est le sous-espace vectoriel défini par :

$F_{1} + F_{2} + \dots + F_{p} = {i = 1 \sum p x_{i} \forall i \in [[1, p]], x_{i} \in F_{i}} .$

Cette somme est dite directe si la décomposition du vecteur nul est unique :

$\forall (x_{1}, \dots, x_{p}) \in F_{1} \times \dots \times F_{p}, i = 1 \sum p x_{i} = 0_{E} ⟹ x_{1} = x_{2} = \dots = x_{p} = 0_{E} .$

On note alors cette somme $F_{1} \oplus F_{2} \oplus \dots \oplus F_{p}$ ou $⨁_{i = 1}^{p} F_{i}$ .

Proposition 1.3Cas particulier de deux sous-espaces

Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont en somme directe si et seulement si :

$F \cap G = {0_{E}} .$

Ils sont dits supplémentaires dans $E$ si de plus $E = F + G$ , ce que l'on note $E = F \oplus G$ .

ImportantAttention : Piège classique pour

p \geq 3

sous-espaces

Pour $p \geq 3$ sous-espaces vectoriels, la condition $F_{i} \cap F_{j} = {0_{E}}$ pour tout $i \neq = j$ est nécessaire mais non suffisante pour assurer que la somme $\sum F_{i}$ soit directe.
Contre-exemple classique : Dans $R^{2}$ , trois droites vectorielles distinctes $D_{1}, D_{2}, D_{3}$ vérifient $D_{i} \cap D_{j} = {0}$ pour $i \neq = j$ , mais $D_{1} + D_{2} + D_{3} = R^{2}$ n'est pas directe car $dim (D_{1}) + dim (D_{2}) + dim (D_{3}) = 3 > 2$ .

Ce piège mérite qu'on s'y arrête, car il est contre-intuitif. Trois droites distinctes d'un même plan s'intersectent deux à deux en ${0_{E}}$ : la condition « deux à deux » est donc remplie. Et pourtant leur somme n'est pas directe — leur somme est le plan, de dimension $2$ , alors que la somme des dimensions vaut $3$ . Le décompte suffit à conclure, et c'est le réflexe à prendre : en dimension finie, on compte les dimensions avant tout.

◆Théorème 1.4Caractérisation en dimension finie

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie et soient $F_{1}, \dots, F_{p}$ des sous-espaces de $E$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$E = F_{1} \oplus F_{2} \oplus \dots \oplus F_{p}$ .
La concaténation de bases $B_{i}$ des sous-espaces $F_{i}$ forme une base adaptée $B = B_{1} \cup \dots \cup B_{p}$ de $E$ .
$\sum_{i = 1}^{p} F_{i} = E$ et $dim (E) = \sum_{i = 1}^{p} dim (F_{i})$ .
La somme $⨁_{i = 1}^{p} F_{i}$ est directe et $dim (E) = \sum_{i = 1}^{p} dim (F_{i})$ .

Une somme directe et un projecteur sont deux façons de dire la même chose. Se donner la décomposition $E = F \oplus G$ , c'est se donner l'application qui à un vecteur associe sa composante sur $F$ ; réciproquement, se donner un projecteur, c'est se donner sa décomposition, puisque $F = Im p$ et $G = ker p$ . Le dictionnaire va dans les deux sens, et c'est ce qui rend la caractérisation algébrique $p^{2} = p$ si utile : elle permet de reconnaître une décomposition sans jamais l'expliciter.

Démonstration

1 $⟹$ 2 : Soit pour chaque $i \in [[1, p]]$ , $B_{i} = (e_{i, 1}, \dots, e_{i, d_{i}})$ une base de $F_{i}$ avec $d_{i} = dim F_{i}$ . Considérons une combinaison linéaire nulle de tous les vecteurs de $B = ⋃_{i = 1}^{p} B_{i}$ :

$i = 1 \sum p k = 1 \sum d_{i} λ_{i, k} e_{i, k} = 0_{E} .$

En posant $x_{i} = \sum_{k = 1}^{d_{i}} λ_{i, k} e_{i, k} \in F_{i}$ , on obtient $\sum_{i = 1}^{p} x_{i} = 0_{E}$ . Comme la somme $⨁ F_{i}$ est directe, chaque $x_{i} = 0_{E}$ . Puisque chaque famille $B_{i}$ est libre dans $F_{i}$ , on en déduit que pour tout $k \in [[1, d_{i}]]$ , $λ_{i, k} = 0$ . La famille $B$ est donc libre.
De plus, $Vect (B) = \sum F_{i} = E$ , donc $B$ est une base de $E$ .

2 $⟹$ 3 : Si $B$ est une base de $E$ , alors $dim E = Card (B) = \sum_{i = 1}^{p} Card (B_{i}) = \sum_{i = 1}^{p} dim F_{i}$ , et $\sum F_{i} = Vect (B) = E$ .

3 $⟹$ 4 : Considérons l'application linéaire $ϕ : F_{1} \times \dots \times F_{p} \to E$ définie par $ϕ (x_{1}, \dots, x_{p}) = \sum_{i = 1}^{p} x_{i}$ . $ϕ$ est surjective par hypothèse ( $Im ϕ = \sum F_{i} = E$ ). D'après le théorème du rang :

$dim ker ϕ = dim (F_{1} \times \dots \times F_{p}) - dim (Im ϕ) = i = 1 \sum p dim F_{i} - dim E = 0.$

Ainsi $ker ϕ = {(0_{E}, \dots, 0_{E})}$ , ce qui prouve que la somme est directe.

4 $⟹$ 1 : Si la somme est directe, $ϕ$ est injective, donc $dim (Im ϕ) = dim (F_{1} \times \dots \times F_{p}) = \sum_{i = 1}^{p} dim F_{i} = dim E$ . Comme $Im ϕ$ est un sous-espace vectoriel de $E$ de même dimension finie, $Im ϕ = \sum F_{i} = E$ , d'où $E = ⨁_{i = 1}^{p} F_{i}$ .

◆Théorème 1.5Inégalité des dimensions

Soient $F_{1}, \dots, F_{p}$ des sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un même espace. Alors

$dim (i = 1 \sum p F_{i}) \leq i = 1 \sum p dim (F_{i}),$

avec égalité si et seulement si la somme est directe.

C'est le critère de somme directe le plus commode en dimension finie : il ne demande que de compter. Réunir une base de chaque $F_{i}$ fournit toujours une famille génératrice de la somme, donc l'inégalité ; l'égalité signifie que cette famille est libre, c'est-à-dire qu'elle est une base adaptée à la décomposition.

1.2.3 Projecteurs et Symétries Vectorielles

Définition 1.6Projecteur et Symétrie associés à une somme directe

Soit $E = F \oplus G$ .

Le projecteur sur $F$ parallèlement à $G$ est l'endomorphisme $p \in L (E)$ défini par :

$\forall x = x_{F} + x_{G} \in F \oplus G, p (x) = x_{F} .$

Il vérifie $Im (p) = F$ , $ker (p) = G$ et la relation d'idempotence :

$p^{2} = p \circ p = p .$

La symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ est l'endomorphisme $s \in L (E)$ défini par :

$s (x) = x_{F} - x_{G} = 2 p (x) - x ⟺ s = 2 p - id_{E} .$

Elle vérifie la relation d'involution :

$s^{2} = s \circ s = id_{E} .$

◆Théorème 1.7Caractérisation algébrique des projecteurs

Soit $p \in L (E)$ . Alors :

$p est un projecteur ⟺ p^{2} = p .$

Dans ce cas, on a la décomposition en somme directe :

$E = Im (p) \oplus ker (p) = ker (p - id_{E}) \oplus ker (p) .$

Important

Un projecteur dépend de deux sous-espaces, pas d'un seul. Projeter sur $F$ parallèlement à $G$ et projeter sur $F$ parallèlement à $G^{'}$ sont deux applications différentes, et la figure ci-dessus le montre : c'est la direction de $G$ qui décide où retombe le vecteur. Dire « la projection sur $F$ » sans préciser la direction n'a de sens que dans un espace euclidien, où l'orthogonalité fournit un $G$ canonique — cas particulier vu en première année, que le chapitre 3 reprendra.

Démonstration

Si $p^{2} = p$ , pour tout $x \in E$ , écrivons $x = p (x) + (x - p (x))$ .

$p (x) \in Im (p)$ .
$p (x - p (x)) = p (x) - p^{2} (x) = p (x) - p (x) = 0_{E}$ , donc $(x - p (x)) \in ker (p)$ .

Ainsi $E = Im (p) + ker (p)$ .
De plus, si $y \in Im (p) \cap ker (p)$ , alors il existe $z \in E$ tel que $y = p (z)$ et $p (y) = 0_{E}$ . Donc $0_{E} = p (y) = p^{2} (z) = p (z) = y$ . L'intersection est réduite au vecteur nul, d'où $E = Im (p) \oplus ker (p)$ . L'écriture $x = p (x) + (x - p (x))$ est donc la décomposition de $x$ dans cette somme directe : $p$ est le projecteur sur $Im (p)$ parallèlement à $ker (p)$ . Enfin, $Im (p) = ker (p - id_{E})$ : si $y = p (z)$ , alors $p (y) = p^{2} (z) = y$ ; réciproquement, si $p (y) = y$ , alors $y \in Im (p)$ .

1.3 Sous-espaces stables et endomorphisme induit

Décomposer l'espace ne sert à rien si l'endomorphisme qu'on étudie ne respecte pas la décomposition. La notion qui manque est celle de sous-espace stable, et c'est elle qui fait le pont avec les matrices par blocs — puis, au chapitre suivant, avec toute la réduction.

Définition 1.8Sous-espace stable, endomorphisme induit

Soient $u \in L (E)$ et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ . On dit que $F$ est stable par $u$ si $u (F) \subset F$ . L'application

$u_{∣ F} : F ⟶ F, x ⟼ u (x),$

est alors un endomorphisme de $F$ , appelé endomorphisme induit par $u$ sur $F$ .

Une matrice définie par blocs est découpée en sous-matrices par des traits horizontaux et verticaux. Avec $M = (A C B D)$ et $N = (A^{'} C^{'} B^{'} D^{'})$ , on calcule par blocs comme avec des coefficients :

combinaison linéaire, pour deux matrices de même taille découpées de la même façon et $λ, μ \in K$ : $λ M + μ N = (λ A + μ A^{'} λ C + μ C^{'} λ B + μ B^{'} λ D + μ D^{'})$ ;
produit, lorsque le découpage des colonnes de $M$ est celui des lignes de $N$ (tailles compatibles) :

$M N = (A A^{'} + B C^{'} C A^{'} + D C^{'} A B^{'} + B D^{'} C B^{'} + D D^{'});$

transposition : $^{t} M = (^{t} A^{t} B^{t} C^{t} D)$ .

Une seule réserve : les blocs sont des matrices, qui ne commutent pas en général, et l'ordre des facteurs dans $A A^{'} + B C^{'}$ doit être respecté.

◆Théorème 1.9Traduction matricielle de la stabilité

Soit $E$ de dimension finie et $u \in L (E)$ .

Si $F$ est stable par $u$ et si $B$ est une base de $E$ adaptée à $F$ — c'est-à-dire dont les premiers vecteurs forment une base de $F$ —, alors

$Mat_{B} (u) = (A 0 B C),$

où $A$ est la matrice de l'endomorphisme induit $u_{∣ F}$ .

Si $E = F_{1} \oplus \dots \oplus F_{p}$ avec chaque $F_{i}$ stable par $u$ , et si $B$ est adaptée à cette décomposition, alors $Mat_{B} (u)$ est diagonale par blocs, le $i$ -ième bloc étant la matrice de $u_{∣ F_{i}}$ .

Ce théorème est le programme de tout le chapitre suivant en une phrase : réduire un endomorphisme, c'est trouver une décomposition de l'espace en sous-espaces stables aussi petits que possible, pour que la matrice par blocs soit aussi simple que possible. La réciproque vaut aussi, et c'est elle qu'on emploie en pratique : lire une matrice triangulaire ou diagonale par blocs, c'est lire une liste de sous-espaces stables.

Proposition 1.10Stabilité par commutation

Si $u$ et $v$ commutent, alors $ker u$ et $Im u$ sont stables par $v$ .

La démonstration tient en une ligne pour le noyau : si $x \in ker u$ , alors $u (v (x)) = v (u (x)) = v (0) = 0$ , donc $v (x) \in ker u$ . Ce résultat, d'apparence anodine, est l'outil le plus utilisé de la réduction : il s'applique à $u$ et à $P (u)$ , qui commutent toujours, et fournit ainsi une réserve inépuisable de sous-espaces stables — au premier rang desquels les sous-espaces propres.

1.4 Polynômes d'endomorphismes et de matrices carrées

Définition 1.11Polynôme d'un endomorphisme, polynôme annulateur

Soient $u \in L (E)$ et $P = \sum_{k = 0}^{d} a_{k} X^{k} \in K [X]$ . On pose

$P (u) = k = 0 \sum d a_{k} u^{k} \in L (E), avec la convention u^{0} = id_{E} .$

Le polynôme $P$ est dit annulateur de $u$ si $P (u) = 0$ . Les mêmes définitions valent pour une matrice carrée $A$ , avec $A^{0} = I_{n}$ .

Proposition 1.12Règles de calcul

Pour tous $P, Q \in K [X]$ et tout $u \in L (E)$ :

$(P Q) (u) = P (u) \circ Q (u) = Q (u) \circ P (u)$ : deux polynômes du même endomorphisme commutent toujours.
$ker P (u)$ et $Im P (u)$ sont stables par $u$ .

Le point 2 est le point 1 combiné à la proposition précédente : $u$ commute avec $P (u)$ , donc le noyau de $P (u)$ est stable par $u$ . Tout le chapitre suivant repose sur cette mécanique — un polynôme annulateur bien choisi découpe l'espace en sous-espaces stables, et la réduction consiste à choisir ce polynôme.

Méthode : Exploiter un polynôme annulateur

Un polynôme annulateur $P$ de $A$ donne trois choses, et chacune s'obtient en isolant un terme.

L'inverse, si $P (0) \neq = 0$ . De $a_{d} A^{d} + \dots + a_{1} A + a_{0} I_{n} = 0$ avec $a_{0} \neq = 0$ , on tire

$A \times (- \frac{1}{a _{0}} (a_{d} A^{d - 1} + \dots + a_{1} I_{n})) = I_{n},$

donc $A$ est inversible et son inverse est un polynôme en $A$ .

Les puissances. La division euclidienne $X^{k} = P Q + R$ avec $de g R < de g P$ donne $A^{k} = R (A)$ , puisque $P (A) = 0$ : toute puissance se ramène à un polynôme de degré borné, dont les coefficients se calculent en évaluant la division aux racines de $P$ ; en une racine $a$ d'ordre $m \geq 2$ , on évalue aussi en $a$ les dérivées de la relation jusqu'à l'ordre $m - 1$ .
Une contrainte sur le spectre, que le chapitre suivant exploitera : toute valeur propre de $A$ est racine de $P$ .

1.5 Trace d'une Matrice et d'un Endomorphisme

La trace paraît d'abord une curiosité de calcul : pourquoi la somme des coefficients diagonaux aurait-elle un sens, alors que ces coefficients dépendent de la base ? La réponse est la propriété $tr (A B) = tr (B A)$ , dont découle l'invariance par similitude : deux matrices semblables ont la même trace. La trace est donc attachée à l'endomorphisme, pas à sa représentation — c'est ce qui autorise à parler de la trace d'un endomorphisme, et ce qui en fait, avec le déterminant, l'un des deux invariants élémentaires du chapitre.

1.5.1 Trace d'une Matrice Carrée

Définition 1.13Trace d'une matrice

Soit $A = (a_{i, j})_{1 \leq i, j \leq n} \in M_{n} (K)$ . La trace de $A$ est la somme de ses coefficients diagonaux :

$tr (A) = i = 1 \sum n a_{i, i} .$

◆Théorème 1.14Propriétés fondamentales de la trace

Linéarité : L'application $tr : M_{n} (K) \to K$ est une forme linéaire non nulle.
Transposition : Pour tout $A \in M_{n} (K)$ , $tr (^{t} A) = tr (A)$ .
Commutation sous la trace : Pour toutes matrices $A \in M_{n, p} (K)$ et $B \in M_{p, n} (K)$ :

$tr (A B) = tr (B A) .$

Invariance par similitude : Pour tout $A \in M_{n} (K)$ et tout $P \in GL_{n} (K)$ :

$tr (P^{- 1} A P) = tr (A) .$

Important

De $tr (A B) = tr (B A)$ découle un résultat qui tombe régulièrement aux concours : il n'existe aucun couple de matrices carrées $(A, B)$ tel que $A B - B A = I_{n}$ . La trace du membre de gauche est nulle, celle du membre de droite vaut $n$ . La relation de commutation canonique de la mécanique quantique est donc impossible en dimension finie — et c'est précisément pourquoi la théorie a besoin d'espaces de dimension infinie.

Démonstration

Démontrons la propriété fondamentale $tr (A B) = tr (B A)$ : Soient $A \in M_{n, p} (K)$ et $B \in M_{p, n} (K)$ . Le coefficient $(i, i)$ de la matrice carrée $A B \in M_{n} (K)$ est :

$(A B)_{i, i} = k = 1 \sum p a_{i, k} b_{k, i} .$

Par conséquent :

$tr (A B) = i = 1 \sum n (A B)_{i, i} = i = 1 \sum n k = 1 \sum p a_{i, k} b_{k, i} = k = 1 \sum p i = 1 \sum n b_{k, i} a_{i, k} = k = 1 \sum p (B A)_{k, k} = tr (B A) .$

Pour l'invariance par similitude :

$tr (P^{- 1} (A P)) = tr ((A P) P^{- 1}) = tr (A (P P^{- 1})) = tr (A I_{n}) = tr (A) .$

1.5.2 Trace d'un Endomorphisme en Dimension Finie

Définition 1.15Trace d'un endomorphisme

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension finie $n$ et $u \in L (E)$ . La trace de l'endomorphisme $u$ , notée $tr (u)$ , est la trace de sa matrice représentative dans n'importe quelle base $B$ de $E$ :

$tr (u) = tr (Mat_{B} (u)) .$

Cette définition ne dépend pas de la base $B$ choisie d'après l'invariance par similitude.

Proposition 1.16Trace d'un projecteur

Soit $p \in L (E)$ un projecteur en dimension finie. Alors :

$tr (p) = rg (p) = dim (Im (p)) .$

Le résultat $tr (p) = rg (p)$ mérite d'être retenu tel quel : il transforme un calcul de rang, qui demande un pivot, en un calcul de trace, qui demande une addition. Il se démontre en une ligne dans une base adaptée à la décomposition — la matrice de $p$ y est diagonale, ne portant que des $1$ et des $0$ —, et c'est un bon exemple de la méthode générale : choisir la base avant de calculer.

Démonstration

Soit $B = (e_{1}, \dots, e_{r}, e_{r + 1}, \dots, e_{n})$ une base adaptée à la décomposition $E = Im (p) \oplus ker (p)$ , où $(e_{1}, \dots, e_{r})$ est une base de $Im (p)$ ( $r = rg (p)$ ) et $(e_{r + 1}, \dots, e_{n})$ une base de $ker (p)$ . Pour $1 \leq j \leq r$ , $p (e_{j}) = e_{j}$ , et pour $r + 1 \leq j \leq n$ , $p (e_{j}) = 0_{E}$ . La matrice de $p$ dans $B$ est diagonale par blocs :

$Mat_{B} (p) = (I_{r} 0 0 0_{n - r}) .$

Sa trace est la somme des $r$ termes diagonaux égaux à 1, d'où $tr (p) = r = rg (p)$ .

1.6 Théorie des Déterminants et Calcul Matriciel Avancé

Le déterminant n'est pas défini par une formule mais par trois propriétés : $n$ -linéaire, alternée, valant $1$ sur la base canonique. Le théorème d'existence et d'unicité dit qu'elles suffisent à le déterminer entièrement — la formule explicite en est une conséquence, non une définition. Ce détour n'est pas un raffinement : c'est lui qui donne la lecture géométrique, car une application linéaire par rapport à chaque variable et alternée est exactement ce qui mesure un volume orienté.

D'où l'énoncé qu'il faut avoir en tête à chaque fois : $∣ det ∣$ est le facteur par lequel une application linéaire multiplie les volumes, et son signe dit si elle conserve ou renverse l'orientation. Un déterminant nul signifie que l'image est aplatie — la famille est liée, la matrice non inversible.

1.6.1 Déterminant d'une Famille de Vecteurs dans une Base

◆Théorème 1.17Le déterminant dans une base

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension $n$ et $e = (e_{1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ . Il existe une unique application

$det_{e} : E^{n} ⟶ K$

linéaire par rapport à chacune de ses $n$ variables, alternée — c'est-à-dire nulle dès que deux de ses arguments sont égaux — et vérifiant $det_{e} (e) = 1$ . De plus, toute application $f : E^{n} \to K$ linéaire par rapport à chaque variable et alternée est un multiple de $det_{e}$ .

La démonstration de ce théorème est hors programme. Ce qu'il faut en retenir est le second point : « linéaire en chaque variable et alternée » ne laisse qu'une liberté, le choix de la valeur en une base. C'est de là que viennent toutes les propriétés de calcul — l'effet des opérations élémentaires, l'annulation en cas de colonnes liées, le développement par rapport à une ligne ou une colonne.

1.6.2 Déterminants par Blocs

◆Théorème 1.18Déterminant triangulaire par blocs

Soit $M \in M_{n + p} (K)$ une matrice triangulaire par blocs :

$M = (A 0_{p, n} B C) ou M^{'} = (A D 0_{n, p} C),$

où $A \in M_{n} (K)$ , $C \in M_{p} (K)$ , $B \in M_{n, p} (K)$ et $D \in M_{p, n} (K)$ . Alors :

$det (M) = det (M^{'}) = det (A) \times det (C) .$

Démonstration

Considérons l'application $Φ : (A, B, C) \mapsto det (A 0 B C)$ . Le déterminant étant linéaire par rapport à chaque colonne et alterné, pour $B$ et $C$ fixés, l'application qui aux $n$ colonnes de $A$ associe $det (A 0 B C)$ est linéaire par rapport à chacune d'elles et alternée. Il existe donc une constante $λ (B, C) \in K$ telle que :

$det (A 0 B C) = λ (B, C) det (A) .$

En prenant $A = I_{n}$ , on a $λ (B, C) = det (I_{n} 0 B C)$ . Par des opérations élémentaires sur les colonnes (en soustrayant des combinaisons des $n$ premières colonnes), on élimine le bloc $B$ sans modifier le déterminant :

$det (I_{n} 0 B C) = det (I_{n} 0 0 C) .$

Par multilinéarité par rapport aux $p$ dernières colonnes, on montre de même que $det (I_{n} 0 0 C) = det (C) det (I_{n} 0 0 I_{p}) = det (C)$ . D'où $det (M) = det (A) det (C)$ . Enfin, $^{t} M^{'} = (^{t} A 0^{t} D^{t} C)$ est du premier type et le déterminant est invariant par transposition : $det (M^{'}) = det (^{t} A) det (^{t} C) = det (A) det (C)$ .

1.6.3 Déterminant de Vandermonde

◆Théorème 1.19Déterminant de Vandermonde

Soient $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n - 1} \in K$ . Le déterminant de Vandermonde associé est :

$V (x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n - 1}) = det 11 ⋮ 1 x_{0} x_{1} ⋮ x_{n - 1} x_{0}^{2} x_{1}^{2} ⋮ x_{n - 1}^{2} \dots \dots \dots x_{0}^{n - 1} x_{1}^{n - 1} ⋮ x_{n - 1}^{n - 1} = 0 \leq i < j \leq n - 1 \prod (x_{j} - x_{i}) .$

En particulier, $V (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) \neq = 0$ si et seulement si les $x_{i}$ sont deux à deux distincts.

Le déterminant de Vandermonde n'est pas un exercice isolé : il est la clé de tout ce qui touche à l'interpolation. Sa non-nullité dès que les $x_{i}$ sont deux à deux distincts est exactement l'énoncé « par $n + 1$ points d'abscisses distinctes passe un unique polynôme de degré $\leq n$ ». On le retrouvera en exercice, chaque fois qu'il faudra prouver qu'une famille de fonctions est libre.

Démonstration

Procédons par récurrence sur $n \geq 2$ . Pour $n = 2$ , $V (x_{0}, x_{1}) = det (11 x_{0} x_{1}) = x_{1} - x_{0}$ . La formule est vérifiée.
Supposons la formule vraie au rang $n - 1 \geq 2$ . Pour calculer $V_{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1})$ , remplaçons sa dernière ligne par $(1, X, X^{2}, \dots, X^{n - 1})$ . La fonction $P (X) = V_{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 2}, X)$ est un polynôme en $X$ de degré au plus $n - 1$ , obtenu en développant par rapport à la dernière ligne. Le coefficient dominant (devant $X^{n - 1}$ ) est le cofacteur de $X^{n - 1}$ , qui vaut exactement $V_{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{n - 2})$ . De plus, si l'on remplace $X$ par $x_{i}$ ( $0 \leq i \leq n - 2$ ), la matrice a deux lignes identiques, donc $P (x_{i}) = 0$ . Si deux des $x_{0}, \dots, x_{n - 2}$ sont égaux, la matrice de départ a deux lignes égales : les deux membres de la formule sont nuls, et elle est vraie. Sinon, $V_{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{n - 2}) \neq = 0$ par hypothèse de récurrence : $P (X)$ est de degré $n - 1$ et admet les $n - 1$ racines distinctes $x_{0}, x_{1}, \dots, x_{n - 2}$ . On en déduit la factorisation :

$P (X) = V_{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{n - 2}) i = 0 \prod n - 2 (X - x_{i}) .$

En évaluant en $X = x_{n - 1}$ , on obtient :

$V_{n} (x_{0}, \dots, x_{n - 1}) = V_{n - 1} (x_{0}, \dots, x_{n - 2}) i = 0 \prod n - 2 (x_{n - 1} - x_{i}) = 0 \leq i < j \leq n - 1 \prod (x_{j} - x_{i}) .$

Ce qui achève la récurrence.

1.7 Interpolation de Lagrange

Le déterminant de Vandermonde vient de dire qu'un polynôme de degré $\leq n$ est déterminé par ses valeurs en $n + 1$ points distincts. Cette section en fait une base, et c'est cette base qui rend le résultat utilisable.

Définition 1.20Polynômes interpolateurs de Lagrange

Soient $x_{0}, \dots, x_{n}$ des éléments deux à deux distincts de $K$ . Pour $i \in [[0, n]]$ , on pose

$L_{i} = j = 0 j \neq = i \prod n \frac{X - x _{j}}{x _{i} - x _{j}} \in K_{n} [X] .$

Chaque $L_{i}$ est construit pour valoir $1$ en $x_{i}$ et $0$ aux autres points : le numérateur s'annule en tous les $x_{j}$ sauf $x_{i}$ , et le dénominateur est exactement ce qu'il faut pour normaliser. Autrement dit

$L_{i} (x_{k}) = δ_{i, k} = {10 si k = i, sinon.$

◆Théorème 1.21Base de

K_{n} [X]

et coordonnées

La famille $(L_{0}, \dots, L_{n})$ est une base de $K_{n} [X]$ , et tout polynôme $P \in K_{n} [X]$ s'y écrit

$P = i = 0 \sum n P (x_{i}) L_{i} .$

Les coordonnées d'un polynôme dans cette base sont donc ses valeurs aux points d'interpolation.

C'est ce qui fait tout l'intérêt de la base de Lagrange, et ce qui la distingue de la base canonique : on lit les coordonnées sans aucun calcul. En contrepartie, la base dépend du choix des $n + 1$ points, et changer de points change toute la base.

Proposition 1.22Somme des polynômes interpolateurs

$i = 0 \sum n L_{i} = 1.$

Aucun calcul n'est nécessaire : le polynôme constant $1$ appartient à $K_{n} [X]$ et vaut $1$ en chacun des $x_{i}$ , donc sa décomposition dans la base de Lagrange est $\sum 1 \cdot L_{i}$ . C'est un cas particulier du théorème, appliqué à $P = 1$ — et un bon test de compréhension : qui cherche à développer les produits n'a pas vu ce que dit la base.

ImportantLe lien avec le déterminant de Vandermonde

Les deux résultats disent la même chose de deux façons. Chercher $P \in K_{n} [X]$ prenant $n + 1$ valeurs imposées, c'est résoudre un système linéaire de $n + 1$ équations dont la matrice est précisément la matrice de Vandermonde des $x_{i}$ . Le déterminant de Vandermonde étant non nul lorsque les $x_{i}$ sont deux à deux distincts, le système a une solution unique — c'est l'existence et l'unicité du polynôme interpolateur —, et la base de Lagrange en donne la solution explicite, sans résoudre le système.

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