Réduction des Endomorphismes et Matrices Carrées

Cours · mathématiques (PC), chapitre 2 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Une matrice symétrique transforme le cercle en ellipse : ses vecteurs propres donnent les axes et ne changent pas de direction.

2.1 Introduction et vue d'ensemble

La théorie de la réduction a pour objectif fondamental de trouver une base de l'espace vectoriel dans laquelle la matrice d'un endomorphisme $u \in L (E)$ prend une forme la plus simple possible : diagonale (découplage total des variables) ou triangulaire supérieure (découplage en cascade).

En PC, la réduction est au cœur des méthodes de calcul de puissances de matrices $A^{k}$ , de la résolution, sur des exemples, de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants issus de la physique, de la recherche des modes propres en mécanique vibratoire, et de la détermination des niveaux d'énergie discrets en chimie quantique (méthode de Hückel).

Deux obstacles se dressent, et tout le chapitre consiste à les nommer puis à les mesurer. Le premier est que les valeurs propres peuvent ne pas exister dans le corps où l'on travaille : une rotation du plan réel d'angle non multiple de $π$ n'a aucune direction invariante. Le second est plus subtil — même quand les valeurs propres existent, il peut n'y avoir pas assez de vecteurs propres pour former une base. C'est ce que mesure l'écart entre la multiplicité géométrique et la multiplicité algébrique, et c'est la seule chose qui sépare une matrice diagonalisable d'une matrice qui ne l'est pas.

D'où deux routes, développées dans cet ordre. La première passe par le polynôme caractéristique et compte les dimensions ; la seconde passe par les polynômes annulateurs et ne compte rien — elle demande seulement qu'un polynôme annulateur soit scindé à racines simples. La seconde est souvent la plus rapide, et c'est elle que l'on cherche en priorité dès qu'un énoncé fournit une relation du type $u^{2} = u$ ou $u^{3} = id$ .

2.2 Sous-Espaces Stables et Éléments Propres

Un sous-espace stable est un morceau de l'espace que l'endomorphisme ne fait pas sortir de lui-même. L'intérêt est immédiatement matriciel : dans une base adaptée à un sous-espace stable, la matrice devient triangulaire par blocs, et l'étude se scinde en deux études plus petites. Toute la réduction est la poursuite de cette idée jusqu'à son terme — découper l'espace en morceaux stables les plus petits possibles.

Les plus petits sont les droites stables, et une droite stable n'est rien d'autre qu'une direction propre : c'est ainsi que les éléments propres apparaissent, non comme une définition tombée du ciel, mais comme le cas limite du découpage.

Figure : Action de

u

sur deux directions propres : chaque vecteur propre est seulement dilaté, et un vecteur quelconque se décompose sur ces directions.

2.2.1 Sous-Espaces Stables et Endomorphisme Induit

Définition 2.1Sous-espace stable

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel et $u \in L (E)$ . Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit stable par $u$ si :

$u (F) \subset F ⟺ \forall x \in F, u (x) \in F .$

Dans ce cas, l'application $u_{F} : F \to F, x \mapsto u (x)$ est un endomorphisme de $F$ , appelé endomorphisme induit par $u$ sur $F$ .

Proposition 2.2Matrice par blocs associée à un sous-espace stable

Soit $E$ de dimension finie $n$ , $F$ un sous-espace stable par $u$ de dimension $p \leq n$ , et $B = (e_{1}, \dots, e_{p}, e_{p + 1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ obtenue en complétant une base $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ . La matrice de $u$ dans $B$ est triangulaire supérieure par blocs :

$Mat_{B} (u) = (A 0_{n - p, p} B C),$

où $A = Mat_{(e_{1}, \dots, e_{p})} (u_{F}) \in M_{p} (K)$ .

2.2.2 Valeurs Propres, Vecteurs Propres et Sous-Espaces Propres

Définition 2.3Éléments propres

Soit $u \in L (E)$ .

Un scalaire $λ \in K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non nul $x \in E ∖ {0_{E}}$ tel que :

$u (x) = λ x ⟺ (u - λ id_{E}) (x) = 0_{E} .$

Lorsque $E$ est de dimension finie, l'ensemble des valeurs propres de $u$ est appelé le spectre de $u$ et noté $Sp (u)$ ou $Sp_{K} (u)$ .

Un tel vecteur $x \neq = 0_{E}$ est appelé vecteur propre associé à $λ$ .
Le sous-espace propre associé à la valeur propre $λ$ est :

$E_{λ} (u) = ker (u - λ id_{E}) = {x \in E ∣ u (x) = λ x} .$

C'est un sous-espace vectoriel stable par $u$ , et $dim E_{λ} (u) \geq 1$ .

Commutation et stabilité. Si $u$ et $v \in L (E)$ commutent ( $u \circ v = v \circ u$ ), les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$ : pour $x \in E_{λ} (u)$ , $u (v (x)) = v (u (x)) = v (λ x) = λ v (x)$ , donc $v (x) \in E_{λ} (u)$ .

◆Théorème 2.4Somme directe des sous-espaces propres

Soit $u \in L (E)$ et soient $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{p}$ des valeurs propres deux à deux distinctes de $u$ . Les sous-espaces propres associés sont en somme directe :

$E_{λ_{1}} (u) \oplus E_{λ_{2}} (u) \oplus \dots \oplus E_{λ_{p}} (u) .$

En particulier, toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est une famille libre.

Ce théorème est le pivot de tout le chapitre. Il affirme que les sous-espaces propres sont toujours en somme directe — sans aucune hypothèse — et donc que la seule question qui reste est celle de la dimension : cette somme remplit-elle $E$ tout entier ? Si oui, en recollant des bases de chaque sous-espace propre on obtient une base de vecteurs propres, et la matrice est diagonale. Sinon, il manque des vecteurs, et aucune astuce ne les fera apparaître.

Diagonaliser, c'est donc exactement vérifier une égalité de dimensions.

Démonstration

Procédons par récurrence sur le nombre $p \geq 1$ de valeurs propres distinctes. Pour $p = 1$ , le résultat est immédiat.
Supposons la propriété vraie pour $p - 1$ sous-espaces propres ( $p \geq 2$ ). Soient $(x_{1}, \dots, x_{p}) \in E_{λ_{1}} \times \dots \times E_{λ_{p}}$ tels que :

$(1) x_{1} + x_{2} + \dots + x_{p} = 0_{E} .$

En appliquant l'endomorphisme $u$ à cette égalité linéaire :

$(2) u (x_{1}) + u (x_{2}) + \dots + u (x_{p}) = λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} + \dots + λ_{p} x_{p} = 0_{E} .$

En calculant l'expression $(2) - λ_{p} (1)$ :

$(λ_{1} - λ_{p}) x_{1} + (λ_{2} - λ_{p}) x_{2} + \dots + (λ_{p - 1} - λ_{p}) x_{p - 1} = 0_{E} .$

Pour tout $i \in [[1, p - 1]]$ , $(λ_{i} - λ_{p}) x_{i} \in E_{λ_{i}}$ . Par hypothèse de récurrence, la somme $⨁_{i = 1}^{p - 1} E_{λ_{i}}$ est directe, donc pour tout $i \in [[1, p - 1]]$ :

$(λ_{i} - λ_{p}) x_{i} = 0_{E} .$

Comme les valeurs propres sont deux à deux distinctes, $λ_{i} - λ_{p} \neq = 0$ , d'où $x_{i} = 0_{E}$ pour tout $i \in [[1, p - 1]]$ . L'équation (1) donne alors $x_{p} = 0_{E}$ . La somme $⨁_{i = 1}^{p} E_{λ_{i}}$ est donc directe.

2.2.3 Éléments propres d'une matrice carrée

Définition 2.5Éléments propres matriciels

Soit $A \in M_{n} (K)$ . Un scalaire $λ \in K$ est valeur propre de $A$ s'il existe une colonne non nulle $X \in M_{n, 1} (K)$ telle que

$A X = λ X .$

Une telle colonne est un vecteur propre, le sous-espace propre associé est $E_{λ} (A) = ker (A - λ I_{n})$ , et le spectre $Sp (A)$ est l'ensemble des valeurs propres.

Exercices du chapitre

Matrices stochastiques : le spectre dans le disque unité corrigé
Hyperplans stables : les vecteurs propres de la transposée corrigé
La matrice compagnon : tout polynôme est caractéristique, tout sous-espace propre est une droite corrigé
Les matrices de rang 1 corrigé
L'opérateur de Legendre corrigé
Le commutateur $M \mapsto A M - M A$ et les fréquences de Bohr corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre