Réduction des Endomorphismes et Matrices Carrées

Cours complet · mathématiques (PC), chapitre 2 · CPGE PC (2e année)

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2.1 Introduction et vue d'ensemble

La théorie de la réduction a pour objectif fondamental de trouver une base de l'espace vectoriel dans laquelle la matrice d'un endomorphisme $u \in L (E)$ prend une forme la plus simple possible : diagonale (découplage total des variables) ou triangulaire supérieure (découplage en cascade).

En PC, la réduction est au cœur des méthodes de calcul de puissances de matrices $A^{k}$ , de la résolution, sur des exemples, de systèmes différentiels linéaires à coefficients constants issus de la physique, de la recherche des modes propres en mécanique vibratoire, et de la détermination des niveaux d'énergie discrets en chimie quantique (méthode de Hückel).

Deux obstacles se dressent, et tout le chapitre consiste à les nommer puis à les mesurer. Le premier est que les valeurs propres peuvent ne pas exister dans le corps où l'on travaille : une rotation du plan réel d'angle non multiple de $π$ n'a aucune direction invariante. Le second est plus subtil — même quand les valeurs propres existent, il peut n'y avoir pas assez de vecteurs propres pour former une base. C'est ce que mesure l'écart entre la multiplicité géométrique et la multiplicité algébrique, et c'est la seule chose qui sépare une matrice diagonalisable d'une matrice qui ne l'est pas.

D'où deux routes, développées dans cet ordre. La première passe par le polynôme caractéristique et compte les dimensions ; la seconde passe par les polynômes annulateurs et ne compte rien — elle demande seulement qu'un polynôme annulateur soit scindé à racines simples. La seconde est souvent la plus rapide, et c'est elle que l'on cherche en priorité dès qu'un énoncé fournit une relation du type $u^{2} = u$ ou $u^{3} = id$ .

2.2 Sous-Espaces Stables et Éléments Propres

Un sous-espace stable est un morceau de l'espace que l'endomorphisme ne fait pas sortir de lui-même. L'intérêt est immédiatement matriciel : dans une base adaptée à un sous-espace stable, la matrice devient triangulaire par blocs, et l'étude se scinde en deux études plus petites. Toute la réduction est la poursuite de cette idée jusqu'à son terme — découper l'espace en morceaux stables les plus petits possibles.

Les plus petits sont les droites stables, et une droite stable n'est rien d'autre qu'une direction propre : c'est ainsi que les éléments propres apparaissent, non comme une définition tombée du ciel, mais comme le cas limite du découpage.

Figure : Action de

u

sur deux directions propres : chaque vecteur propre est seulement dilaté, et un vecteur quelconque se décompose sur ces directions.

2.2.1 Sous-Espaces Stables et Endomorphisme Induit

Définition 2.1Sous-espace stable

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel et $u \in L (E)$ . Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est dit stable par $u$ si :

$u (F) \subset F ⟺ \forall x \in F, u (x) \in F .$

Dans ce cas, l'application $u_{F} : F \to F, x \mapsto u (x)$ est un endomorphisme de $F$ , appelé endomorphisme induit par $u$ sur $F$ .

Proposition 2.2Matrice par blocs associée à un sous-espace stable

Soit $E$ de dimension finie $n$ , $F$ un sous-espace stable par $u$ de dimension $p \leq n$ , et $B = (e_{1}, \dots, e_{p}, e_{p + 1}, \dots, e_{n})$ une base de $E$ obtenue en complétant une base $(e_{1}, \dots, e_{p})$ de $F$ . La matrice de $u$ dans $B$ est triangulaire supérieure par blocs :

$Mat_{B} (u) = (A 0_{n - p, p} B C),$

où $A = Mat_{(e_{1}, \dots, e_{p})} (u_{F}) \in M_{p} (K)$ .

2.2.2 Valeurs Propres, Vecteurs Propres et Sous-Espaces Propres

Définition 2.3Éléments propres

Soit $u \in L (E)$ .

Un scalaire $λ \in K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non nul $x \in E ∖ {0_{E}}$ tel que :

$u (x) = λ x ⟺ (u - λ id_{E}) (x) = 0_{E} .$

Lorsque $E$ est de dimension finie, l'ensemble des valeurs propres de $u$ est appelé le spectre de $u$ et noté $Sp (u)$ ou $Sp_{K} (u)$ .

Un tel vecteur $x \neq = 0_{E}$ est appelé vecteur propre associé à $λ$ .
Le sous-espace propre associé à la valeur propre $λ$ est :

$E_{λ} (u) = ker (u - λ id_{E}) = {x \in E ∣ u (x) = λ x} .$

C'est un sous-espace vectoriel stable par $u$ , et $dim E_{λ} (u) \geq 1$ .

Commutation et stabilité. Si $u$ et $v \in L (E)$ commutent ( $u \circ v = v \circ u$ ), les sous-espaces propres de $u$ sont stables par $v$ : pour $x \in E_{λ} (u)$ , $u (v (x)) = v (u (x)) = v (λ x) = λ v (x)$ , donc $v (x) \in E_{λ} (u)$ .

◆Théorème 2.4Somme directe des sous-espaces propres

Soit $u \in L (E)$ et soient $λ_{1}, λ_{2}, \dots, λ_{p}$ des valeurs propres deux à deux distinctes de $u$ . Les sous-espaces propres associés sont en somme directe :

$E_{λ_{1}} (u) \oplus E_{λ_{2}} (u) \oplus \dots \oplus E_{λ_{p}} (u) .$

En particulier, toute famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est une famille libre.

Ce théorème est le pivot de tout le chapitre. Il affirme que les sous-espaces propres sont toujours en somme directe — sans aucune hypothèse — et donc que la seule question qui reste est celle de la dimension : cette somme remplit-elle $E$ tout entier ? Si oui, en recollant des bases de chaque sous-espace propre on obtient une base de vecteurs propres, et la matrice est diagonale. Sinon, il manque des vecteurs, et aucune astuce ne les fera apparaître.

Diagonaliser, c'est donc exactement vérifier une égalité de dimensions.

Démonstration

Procédons par récurrence sur le nombre $p \geq 1$ de valeurs propres distinctes. Pour $p = 1$ , le résultat est immédiat.
Supposons la propriété vraie pour $p - 1$ sous-espaces propres ( $p \geq 2$ ). Soient $(x_{1}, \dots, x_{p}) \in E_{λ_{1}} \times \dots \times E_{λ_{p}}$ tels que :

$(1) x_{1} + x_{2} + \dots + x_{p} = 0_{E} .$

En appliquant l'endomorphisme $u$ à cette égalité linéaire :

$(2) u (x_{1}) + u (x_{2}) + \dots + u (x_{p}) = λ_{1} x_{1} + λ_{2} x_{2} + \dots + λ_{p} x_{p} = 0_{E} .$

En calculant l'expression $(2) - λ_{p} (1)$ :

$(λ_{1} - λ_{p}) x_{1} + (λ_{2} - λ_{p}) x_{2} + \dots + (λ_{p - 1} - λ_{p}) x_{p - 1} = 0_{E} .$

Pour tout $i \in [[1, p - 1]]$ , $(λ_{i} - λ_{p}) x_{i} \in E_{λ_{i}}$ . Par hypothèse de récurrence, la somme $⨁_{i = 1}^{p - 1} E_{λ_{i}}$ est directe, donc pour tout $i \in [[1, p - 1]]$ :

$(λ_{i} - λ_{p}) x_{i} = 0_{E} .$

Comme les valeurs propres sont deux à deux distinctes, $λ_{i} - λ_{p} \neq = 0$ , d'où $x_{i} = 0_{E}$ pour tout $i \in [[1, p - 1]]$ . L'équation (1) donne alors $x_{p} = 0_{E}$ . La somme $⨁_{i = 1}^{p} E_{λ_{i}}$ est donc directe.

2.2.3 Éléments propres d'une matrice carrée

Définition 2.5Éléments propres matriciels

Soit $A \in M_{n} (K)$ . Un scalaire $λ \in K$ est valeur propre de $A$ s'il existe une colonne non nulle $X \in M_{n, 1} (K)$ telle que

$A X = λ X .$

Une telle colonne est un vecteur propre, le sous-espace propre associé est $E_{λ} (A) = ker (A - λ I_{n})$ , et le spectre $Sp (A)$ est l'ensemble des valeurs propres.

Les deux points de vue se traduisent l'un dans l'autre : si $A$ est la matrice de $u$ dans une base $B$ , alors $λ$ est valeur propre de $u$ si et seulement si elle l'est de $A$ , et les vecteurs propres de $u$ sont les vecteurs dont la colonne de coordonnées est vecteur propre de $A$ . Deux matrices semblables représentent le même endomorphisme dans deux bases : elles ont donc le même spectre.

ImportantLe spectre dépend du corps

Pour une matrice réelle, il faut préciser dans quel corps on cherche les valeurs propres. La matrice de la rotation d'angle $\frac{π}{2}$ , $R = (01 - 1 0)$ , vérifie $Sp_{R} (R) = \emptyset$ — aucune droite du plan n'est stable — mais $Sp_{C} (R) = {i, - i}$ . On parle de spectre complexe d'une matrice réelle, et c'est lui qu'on emploie dès qu'on veut trigonaliser, puisque tout polynôme est scindé sur $C$ .

Proposition 2.6Un polynôme annulateur contraint le spectre

Soit $u \in L (E)$ et $P \in K [X]$ .

Si $u (x) = λ x$ avec $x \neq = 0_{E}$ , alors $P (u) (x) = P (λ) x$ .
Par conséquent, si $P$ annule $u$ , alors toute valeur propre de $u$ est racine de $P$ .

Le premier point s'obtient en appliquant $u$ de façon répétée : $u^{k} (x) = λ^{k} x$ , puis en sommant. Le second en découle, car $P (u) (x) = 0$ et $x \neq = 0$ forcent $P (λ) = 0$ . C'est le résultat qui rend un annulateur utile dès qu'on en tient un non nul : il enferme le spectre dans un ensemble fini et explicite, celui des racines.

ImportantL'inclusion est à sens unique

Toute valeur propre est racine de $P$ , mais toute racine de $P$ n'est pas valeur propre. $X^{2} - 1$ annule l'identité, dont le spectre est ${1}$ et non ${1, - 1}$ . Un annulateur donne une liste de candidats à tester, jamais le spectre lui-même.

2.3 Polynôme Caractéristique et Multiplicités

Les valeurs propres se cherchent, et le polynôme caractéristique est l'outil qui les trouve : $λ$ est valeur propre si et seulement si $u - λ id$ n'est pas injectif, c'est-à-dire si son déterminant s'annule. Chercher les valeurs propres revient donc à chercher les racines d'un polynôme — et c'est là que le corps de base intervient de façon décisive, un polynôme réel pouvant n'avoir aucune racine réelle.

2.3.1 Définition et Invariance par Similitude

Définition 2.7Polynôme caractéristique

Soit $A \in M_{n} (K)$ (ou $u \in L (E)$ avec $dim E = n$ ). Le polynôme caractéristique de $A$ est le polynôme unitaire de degré $n$ défini par :

$χ_{A} (X) = det (X I_{n} - A) (ou det (X id_{E} - u)) .$

◆Théorème 2.8Propriétés du polynôme caractéristique

Degré et coefficients remarquables : $χ_{A} (X) = X^{n} - tr (A) X^{n - 1} + \dots + (- 1)^{n} det (A)$ .
Invariance par similitude : Pour tout $P \in GL_{n} (K)$ , $χ_{P^{- 1} A P} (X) = χ_{A} (X)$ .
Caractérisation spectrale : Les valeurs propres de $A$ dans $K$ sont exactement les racines de $χ_{A}$ dans $K$ :

$λ \in Sp_{K} (A) ⟺ χ_{A} (λ) = 0.$

Deux coefficients de ce polynôme méritent d'être retenus, car ils donnent un contrôle gratuit sur tout calcul de valeurs propres : lorsque $χ_{A}$ est scindé (c'est toujours le cas sur $C$ ), la somme des valeurs propres, comptées avec multiplicité, vaut la trace, et leur produit vaut le déterminant. Avant de poursuivre un exercice, on vérifie ces deux égalités ; elles coûtent une addition et une multiplication, et elles attrapent la plupart des erreurs de calcul.

2.3.2 Multiplicité Algébrique et Multiplicité Géométrique

Définition 2.9Multiplicités

Soit $λ \in Sp (u)$ une valeur propre de $u$ .

La multiplicité algébrique de $λ$ , notée $m_{λ}$ , est la multiplicité de $λ$ comme racine de $χ_{u} (X)$ :

$χ_{u} (X) = (X - λ)^{m_{λ}} Q (X) avec Q (λ) \neq = 0.$

La multiplicité géométrique de $λ$ est la dimension du sous-espace propre associé :

$d_{λ} = dim E_{λ} (u) = dim ker (u - λ id_{E}) .$

◆Théorème 2.10Encadrement fondamental des multiplicités

Pour toute valeur propre $λ \in Sp (u)$ :

$1 \leq dim E_{λ} (u) \leq m_{λ} .$

Important

Cet encadrement $1 \leq dim E_{λ} \leq m_{λ}$ est l'énoncé le plus utile du chapitre, et il se lit dans les deux sens. À gauche : une valeur propre a toujours au moins un vecteur propre — sinon ce ne serait pas une valeur propre. À droite : elle n'en a jamais plus que sa multiplicité algébrique ne l'autorise.

La conséquence pratique est immédiate. Une valeur propre simple ( $m_{λ} = 1$ ) est prise en étau : sa dimension propre vaut $1$ , sans aucun calcul. On ne calcule donc jamais le sous-espace propre d'une valeur propre simple pour en connaître la dimension — on ne le calcule que si l'on a besoin d'un vecteur propre explicite.

Démonstration

Soit $λ \in Sp (u)$ et $d = dim E_{λ} (u) \geq 1$ . Soit $(e_{1}, \dots, e_{d})$ une base de $E_{λ} (u)$ , que l'on complète en une base $B = (e_{1}, \dots, e_{d}, e_{d + 1}, \dots, e_{n})$ de $E$ . Dans cette base, comme $u (e_{i}) = λ e_{i}$ pour $1 \leq i \leq d$ , la matrice de $u$ est triangulaire par blocs :

$Mat_{B} (u) = (λ I_{d} 0_{n - d, d} B C) .$

Le polynôme caractéristique s'écrit alors :

$χ_{u} (X) = det ((X - λ) I_{d} 0 - B X I_{n - d} - C) = det ((X - λ) I_{d}) \times det (X I_{n - d} - C) = (X - λ)^{d} χ_{C} (X) .$

Ainsi, $(X - λ)^{d}$ divise $χ_{u} (X)$ , ce qui prouve que $d \leq m_{λ}$ .

2.4 Diagonalisabilité et Critères Fondamentaux

On dispose maintenant de tout ce qu'il faut pour trancher. Les trois énoncés qui suivent sont équivalents, mais ils ne coûtent pas le même effort, et savoir lequel employer est l'essentiel de la compétence attendue.

Figure : Reconnaître la nature d'un endomorphisme : les deux routes du chapitre.

2.4.1 Définition et Caractérisations Équivalentes

Définition 2.11Endomorphisme et Matrice diagonalisables

Un endomorphisme $u \in L (E)$ est diagonalisable s'il existe une base $B$ de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ , dans laquelle $Mat_{B} (u)$ est diagonale.
Une matrice carrée $A \in M_{n} (K)$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale $D$ , c'est-à-dire s'il existe $P \in GL_{n} (K)$ telle que :

$A = P D P^{- 1} ⟺ D = P^{- 1} A P .$

Calcul des puissances. Si $A = P D P^{- 1}$ avec $D = diag (λ_{1}, \dots, λ_{n})$ , alors, pour tout $k \in N$ , $A^{k} = P D^{k} P^{- 1}$ (les produits $P^{- 1} P$ intermédiaires se simplifient), avec $D^{k} = diag (λ_{1}^{k}, \dots, λ_{n}^{k})$ : la puissance d'une matrice diagonalisable se ramène aux puissances de ses valeurs propres. Dans les cas numériques, on se limite à $n = 2$ ou $n = 3$ .

◆Théorème 2.12Théorème fondamental de caractérisation de la diagonalisabilité

Soit $E$ un $K$ -espace vectoriel de dimension $n$ et $u \in L (E)$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$u$ est diagonalisable.
$E = ⨁_{λ \in Sp (u)} E_{λ} (u)$ .
$\sum_{λ \in Sp (u)} dim E_{λ} (u) = n$ .
Le polynôme caractéristique $χ_{u} (X)$ est scindé sur $K$ et, pour chaque valeur propre $λ \in Sp (u)$ , la multiplicité géométrique est égale à la multiplicité algébrique :

$dim E_{λ} (u) = m_{λ} .$

Exemple : projecteurs et symétries. Un projecteur $p$ est diagonalisable : d'après le chapitre 1, $E = ker (p - id_{E}) \oplus ker (p)$ , c'est-à-dire que $E$ est la somme des sous-espaces propres de $p$ , associés aux valeurs propres $1$ et $0$ (point 2). De même, une symétrie $s$ vérifie $E = ker (s - id_{E}) \oplus ker (s + id_{E})$ : elle est diagonalisable, de matrice $diag (1, \dots, 1, - 1, \dots, - 1)$ dans une base adaptée à cette décomposition.

↳Corollaire 2.13Condition suffisante très fréquente

Si le polynôme caractéristique $χ_{u} (X)$ est scindé à racines simples sur $K$ (c'est-à-dire si $u$ admet $n$ valeurs propres distinctes dans $K$ ), alors $u$ est diagonalisable.

Important

La condition « $n$ valeurs propres distinctes » est suffisante et non nécessaire : la confondre avec une caractérisation est la faute la plus fréquente du chapitre. L'identité, dont la seule valeur propre est $1$ , est diagonalisable — elle est même déjà diagonale. Une matrice peut donc être diagonalisable avec très peu de valeurs propres, pourvu que chacune en ait « assez ».

2.5 Diagonalisabilité par les polynômes annulateurs

La seconde route abandonne le comptage. Son principe est que la structure d'un endomorphisme est déjà inscrite dans les relations algébriques qu'il vérifie : si $u^{2} = u$ , alors $u$ est un projecteur, donc diagonalisable, et l'on n'a calculé ni polynôme caractéristique ni dimension.

C'est la route la plus rentable en pratique, parce qu'un polynôme annulateur se lit souvent sur l'énoncé — une relation matricielle donnée, une propriété géométrique, ou le polynôme caractéristique lui-même par Cayley-Hamilton — alors qu'un calcul de dimensions demande de résoudre autant de systèmes qu'il y a de valeurs propres.

2.5.1 Caractérisation Polynomiale de la Diagonalisabilité et Cayley-Hamilton

◆Théorème 2.14Caractérisation par les polynômes annulateurs

Un endomorphisme $u \in L (E)$ en dimension finie est diagonalisable si et seulement s'il admet un polynôme annulateur scindé à racines simples sur $K$ :

$u est diagonalisable ⟺ \exists λ_{1}, \dots, λ_{p} distincts tels que i = 1 \prod p (u - λ_{i} id_{E}) = 0.$

↳Corollaire 2.15Le test par le spectre

Soit $u \in L (E)$ en dimension finie. Alors $u$ est diagonalisable si et seulement si le polynôme

$λ \in Sp (u) \prod (X - λ)$

— produit étendu au spectre lui-même, chaque valeur propre comptée une seule fois — est un polynôme annulateur de $u$ .

L'énoncé est plus précis que le précédent, et c'est celui qu'on emploie. Il dit deux choses. D'une part, si l'on tient un annulateur scindé à racines simples, on peut lui retirer toutes les racines qui ne sont pas valeurs propres sans perdre la propriété. D'autre part, il donne un test fini et sans calcul de dimension : on calcule le spectre, on forme ce produit, on l'évalue en $u$ , et le résultat tranche. Sur $u^{2} = u$ , par exemple, $X^{2} - X = X (X - 1)$ annule $u$ et n'a que des racines simples : $u$ est diagonalisable, et son spectre est contenu dans ${0, 1}$ — sans avoir rien calculé.

Proposition 2.16Endomorphisme induit

Si $u$ est diagonalisable et si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ , alors l'endomorphisme induit $u_{F}$ est diagonalisable.

C'est une conséquence immédiate du corollaire : le polynôme $\prod_{λ \in Sp (u)} (X - λ)$ annule $u$ , donc il annule aussi $u_{F}$ , qui n'est que la restriction de $u$ . Il est scindé à racines simples, donc $u_{F}$ est diagonalisable. Le résultat est loin d'être évident géométriquement — rien ne dit a priori que $F$ contienne des vecteurs propres — et c'est l'argument polynomial qui le rend facile.

◆Théorème 2.17Théorème de Cayley-Hamilton

Tout endomorphisme $u \in L (E)$ en dimension finie annule son propre polynôme caractéristique :

$χ_{u} (u) = 0_{L (E)} et χ_{A} (A) = 0_{M_{n} (K)} .$

Cayley-Hamilton fournit un polynôme annulateur gratuitement, sans le chercher : c'est le polynôme caractéristique lui-même. Mais il faut voir la limite de ce cadeau — le polynôme caractéristique n'apporte rien à la diagonalisabilité : s'il est scindé à racines simples, on savait déjà que $u$ est diagonalisable ( $n$ valeurs propres distinctes), et sinon il ne permet pas de conclure. On l'emploie pour ce qu'il permet vraiment : exprimer $u^{- 1}$ comme polynôme en $u$ , ou calculer $u^{n}$ par division euclidienne de $X^{n}$ par $χ_{u}$ .

Important

La « démonstration » consistant à écrire $χ_{A} (A) = det (A I_{n} - A) = 0$ est fausse. Dans $χ_{A} (X) = det (X I_{n} - A)$ , le $X$ est un scalaire : le déterminant est celui d'une matrice à coefficients polynomiaux, et l'on ne peut pas y substituer une matrice.

2.6 Trigonalisation

Reste le cas où la diagonalisation échoue. On ne renonce pas pour autant : dès que le polynôme caractéristique est scindé, on obtient une forme triangulaire, où le découplage n'est plus total mais « en cascade » — chaque nouvelle coordonnée ne dépend que des précédentes. C'est assez pour lire les valeurs propres sur la diagonale, pour calculer un déterminant, et pour majorer les puissances.

Sur $C$ , tout polynôme est scindé : toute matrice complexe est donc trigonalisable. C'est ce qui explique que l'on passe si souvent aux complexes pour démontrer un résultat, quitte à revenir ensuite dans $R$ .

Définition 2.18Endomorphisme et Matrice trigonalisables

Un endomorphisme $u \in L (E)$ est trigonalisable s'il existe une base $B$ de $E$ dans laquelle $Mat_{B} (u)$ est triangulaire supérieure.
Une matrice carrée $A \in M_{n} (K)$ est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure $T$ .

◆Théorème 2.19Condition nécessaire et suffisante de trigonalisation

Un endomorphisme $u \in L (E)$ (ou une matrice $A \in M_{n} (K)$ ) est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique $χ_{u} (X)$ est scindé sur $K$ .

Proposition 2.20Trace et déterminant par les valeurs propres

Si $u$ est trigonalisable, notons $λ_{1}, \dots, λ_{n}$ ses valeurs propres répétées selon leur multiplicité. Alors

$tr (u) = k = 1 \sum n λ_{k} et det (u) = k = 1 \prod n λ_{k} .$

Il n'y a rien à démontrer : dans une base de trigonalisation, la matrice est triangulaire et porte les $λ_{k}$ sur sa diagonale ; la trace d'une matrice triangulaire est la somme de sa diagonale, son déterminant le produit. Et comme la trace et le déterminant sont invariants par similitude, le calcul fait dans cette base vaut pour toutes. Sur $C$ , où toute matrice est trigonalisable, ces deux égalités sont donc toujours vraies — c'est ce qui permet de lire la trace et le déterminant sur le seul polynôme caractéristique, comme l'annonçaient ses coefficients de degrés $n - 1$ et $0$ .

↳Corollaire 2.21Trigonalisation sur

C

Comme tout polynôme non constant est scindé sur $C$ d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, toute matrice carrée à coefficients complexes $A \in M_{n} (C)$ est trigonalisable.

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