Espaces Préhilbertiens Réels et Espaces Euclidiens

3.1 Introduction et vue d'ensemble

L'introduction d'un produit scalaire transforme un espace vectoriel abstrait en un espace géométrique muni des concepts fondamentaux de longueur, de distance, d'angle et d'orthogonalité.

En PC, ce cadre mathématique régit l'analyse de Fourier (orthogonalité des fonctions trigonométriques $\cos (nt)$ et $\sin (nt)$), la mécanique quantique (produits scalaires de fonctions d'onde, sous une forme complexe dont le programme ne traite pas), l'approximation polynomiale au sens des moindres carrés et les projections géométriques en cristallographie.

Tout ce chapitre découle d'un seul nombre. Une fois que l'on sait associer à deux vecteurs le réel $⟨x,y⟩$, la longueur vient sans effort en posant $\Vert x\Vert =\sqrt{⟨x,x⟩}$ ; l'inégalité de Cauchy-Schwarz montre ensuite que le quotient $⟨x,y⟩/(\Vert x\Vert \Vert y\Vert )$ reste entre $-1$ et $1$, donc qu'il mérite le nom de cosinus : l'angle apparaît. Le cas particulier $⟨x,y⟩=0$ devient alors l'orthogonalité, la décomposition $E=F\oplus F^{\perp }$ en découle, et l'on peut enfin projeter.

C'est la dernière étape qui justifie les précédentes. Le théorème de la meilleure approximation, à la fin du chapitre, affirme que la projection orthogonale de $x$ sur $F$ est le point de $F$ le plus proche de $x$. Autrement dit : un problème de minimisation — trouver le meilleur polynôme d'approximation, la meilleure droite de régression, les meilleurs coefficients d'un polynôme trigonométrique — se ramène à un calcul de projection, c'est-à-dire à une somme de produits scalaires. C'est cette conversion d'un problème d'analyse en une formule d'algèbre linéaire qui fait la valeur du chapitre, et c'est elle que les concours mettent en scène.

3.2 Produit Scalaire et Espaces Préhilbertiens

3.2.1 Définition Axiomatique du Produit Scalaire Réel

Dans ${\mathbb{R}}^n$ le produit scalaire usuel $\sum x_i{y}_i$ est connu depuis la première année (depuis le lycée dans le plan et dans l'espace) ; la démarche du chapitre consiste à ne retenir de lui que quatre propriétés, puis à appeler « produit scalaire » toute application qui les vérifie. L'enjeu n'est pas la généralité pour elle-même : c'est que des espaces où aucune géométrie n'est visible — l'espace $\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})$ des fonctions continues, l'espace ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ des matrices, l'espace ${\mathbb{R}}_n[X]$ des polynômes — héritent d'un coup de la longueur, de l'angle et de la perpendiculaire. Deux fonctions peuvent dès lors être orthogonales, et cette phrase, dénuée de sens au départ, est exactement ce sur quoi repose l'analyse de Fourier.

Les trois exemples à connaître par cœur, parce qu'ils fournissent la quasi-totalité des énoncés de concours, sont :

$$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(t)g(t)\mathrm{d}t\text{ sur }\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R}),⟨A,B⟩=\mathrm{tr}({}^{t}AB)\text{ sur }{\mathcal{M}}_n(\mathbb{R}),$$

$$⟨P,Q⟩=\sum _{k=0}^{n}P(x_k)Q(x_k)\text{ sur }{\mathbb{R}}_n[X],$$

ce dernier pour $n+1$ points $x_k$ deux à deux distincts. Vérifier qu'une application proposée est un produit scalaire est un exercice classique : la bilinéarité et la symétrie ne posent jamais de difficulté, et tout se joue sur le dernier axiome. C'est là qu'il faut ralentir.

Le quatrième axiome, dit caractère défini, est celui qui fait tout le travail : il interdit l'existence d'un vecteur non nul de longueur nulle. Sans lui, $\Vert \cdot \Vert$ ne serait plus une norme et la géométrie s'effondrerait. C'est aussi le seul axiome qui puisse être en défaut dans les exemples : sur $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ la forme ${\int }_0^{1}fg$ est bien définie car une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle — l'argument repose sur la continuité, et l'énoncé tombe si l'on remplace les fonctions continues par les fonctions continues par morceaux. De même ${\sum }_{k=0}^{n}P(x_k)Q(x_k)$ n'est un produit scalaire sur ${\mathbb{R}}_n[X]$ que parce qu'un polynôme de degré $\le n$ ayant $n+1$ racines est nul : sur ${\mathbb{R}}_{n+1}[X]$, la même formule cesse d'être définie.

Enfin, les deux mots du vocabulaire ne se recouvrent pas : préhilbertien n'impose rien sur la dimension, euclidien exige la dimension finie. La distinction n'est pas cosmétique — plusieurs théorèmes de la dernière section, à commencer par $E=F\oplus F^{\perp }$, réclament une hypothèse de dimension finie sur $F$ et deviennent faux sans elle.

3.2.2 Norme Euclidienne Associée et Identités Remarquables

Le produit scalaire fabrique donc une norme. La question réciproque est plus intéressante : une norme donnée provient-elle d'un produit scalaire ? Les deux identités qui suivent y apportent chacune un élément de réponse.

Ces deux identités se lisent dans des directions opposées, et c'est ce contraste qu'il faut retenir. Les identités de polarisation montrent que le produit scalaire se reconstruit à partir de la seule norme : rien n'est perdu en passant de $⟨\cdot ,\cdot ⟩$ à $\Vert \cdot \Vert$. L'identité du parallélogramme, elle, est un test : toute norme issue d'un produit scalaire la vérifie, donc une norme qui la met en défaut ne peut provenir d'aucun produit scalaire. Sur ${\mathbb{R}}^2$ muni de $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$, prenons $x=(1,0)$ et $y=(0,1)$ : alors $\Vert x+y{\Vert }_{\infty }=\Vert x-y{\Vert }_{\infty }=1$, le membre de gauche vaut $2$ tandis que le membre de droite vaut $2(1+1)=4$. La norme infinie n'est donc euclidienne pour aucun produit scalaire — un contre-exemple qui tient en trois lignes et que l'on attend le jour du concours.

Géométriquement, l'identité du parallélogramme dit que la somme des carrés des quatre côtés d'un parallélogramme égale la somme des carrés de ses deux diagonales.

3.3 Inégalités Fondamentales de Cauchy-Schwarz et de Minkowski

L'inégalité de Cauchy-Schwarz est ce qui donne un sens au mot angle dans un espace abstrait. Elle affirme que le quotient $⟨x,y⟩/(\Vert x\Vert \Vert y\Vert )$ appartient à $[-1,1]$ pour tous vecteurs non nuls ; on peut donc, et seulement donc, poser

$$\cos \theta =\frac{⟨x,y⟩}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert },\theta \in [0,\pi ],$$

et parler de l'angle de deux fonctions ou de deux matrices. Sans cette inégalité, l'écriture ci-dessus n'aurait aucune raison de définir quoi que ce soit.