Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries

4.1 Introduction et vue d'ensemble

L'interaction entre structure vectorielle et produit scalaire donne naissance à deux classes maîtresses d'opérateurs linéaires :

• Les endomorphismes autoadjoints (on dit aussi symétriques), gouvernés par le prestigieux Théorème Spectral, qui modélisent les observables physiques en mécanique quantique et les tenseurs d'inertie en mécanique du solide.
• Les isométries vectorielles (ou automorphismes orthogonaux), formant le groupe orthogonal $\mathcal{O}(E)$, qui préservent les distances et les angles, au cœur des opérations de symétrie moléculaire en chimie et des rotations spatiales.

Ces deux classes ne sont pas juxtaposées par hasard : chacune se définit par la façon dont l'endomorphisme se comporte vis-à-vis du produit scalaire, et les deux définitions s'écrivent d'une ligne :

$$u\text{ autoadjoint}⟺(\forall x,y,⟨u(x),y⟩=⟨x,u(y)⟩),u\text{ isomeˊtrie}⟺(\forall x,\Vert u(x)\Vert =\Vert x\Vert ).$$

La première fait passer $u$ d'un argument à l'autre sans rien changer ; la seconde ne change pas les longueurs. En base orthonormale, elles se lisent l'une et l'autre sur la matrice, et de la même façon — par une transposition : ${}^{t}M=M$ d'un côté, ${}^{t}MM=I_n$ de l'autre.

Tout le chapitre consiste à tirer les conséquences de ces deux égalités. La première donne le théorème spectral — une diagonalisation gratuite, en base orthonormale, sans qu'aucun polynôme caractéristique n'ait à être factorisé. La seconde donne la classification des rotations et des réflexions du plan, et, au-delà du programme, la description des rotations de l'espace.

C'est aussi le chapitre où le cours rejoint la physique : les rotations et les symétries planes dont l'électromagnétisme exploite l'invariance des sources sont des isométries, comme les opérations de symétrie d'une molécule. Au-delà du programme de physique de PC, le tenseur d'inertie d'un solide et la matrice des contraintes sont symétriques, et le théorème spectral est exactement l'énoncé qui garantit l'existence de leurs axes principaux.

4.2 Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral

4.2.1 Endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques

Un endomorphisme autoadjoint est celui qui peut « traverser » le produit scalaire : $⟨u(x),y⟩$ et $⟨x,u(y)⟩$ y sont la même chose. Cette condition, purement algébrique, a une conséquence géométrique considérable, et le chemin qui y mène tient en un lemme : un tel endomorphisme respecte l'orthogonalité, au sens où il stabilise l'orthogonal de tout sous-espace qu'il stabilise. C'est ce lemme, et lui seul, qui permettra la récurrence du théorème spectral.

Un projecteur quelconque est déterminé par son image et son noyau, qui sont supplémentaires mais quelconques ; il est orthogonal exactement quand ces deux sous-espaces le sont l'un de l'autre. La proposition traduit cette condition géométrique en une condition algébrique vérifiable sur une matrice : en base orthonormale, un projecteur est orthogonal si et seulement si sa matrice est symétrique.

Démonstration

Soit $y\in F^{\perp }$. Pour tout $x\in F$, comme $F$ est stable par $u$, $u(x)\in F$, donc :

$$⟨u(y),x⟩=⟨y,u(x)⟩=0(\text{car }y\in F^{\perp }\text{ et }u(x)\in F).$$

Comme cette égalité est vraie pour tout $x\in F$, on en déduit que $u(y)\in F^{\perp }$.

4.2.2 Le Théorème Spectral Fondamental

Voici le théorème le plus fort du programme d'algèbre linéaire de PC. Il faut mesurer ce qu'il apporte en le comparant au chapitre de réduction : là, la diagonalisabilité se méritait — il fallait factoriser un polynôme caractéristique, puis vérifier pour chaque valeur propre que la dimension du sous-espace propre atteignait sa multiplicité, et le verdict pouvait être négatif. Ici, il n'y a rien à vérifier : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable, et même en base orthonormale. La conclusion est acquise avant le moindre calcul, sur la seule lecture de ${}^{t}A=A$.

Trois lectures de cet énoncé méritent d'être séparées. Le point $1$ interdit les valeurs propres complexes non réelles : une matrice symétrique réelle n'a pas de spectre caché dans $\mathbb{C}$, ce qui est faux pour une matrice réelle quelconque — la matrice de la rotation d'angle $\frac{\pi }{2}$ n'a aucune valeur propre réelle. Le point $2$ est ce qui transforme une simple somme directe en somme directe orthogonale : les sous-espaces propres ne sont pas seulement indépendants, ils sont perpendiculaires. Le point $3$ est le cœur du théorème : les sous-espaces propres remplissent $E$, ce qui ne découle pas des deux premiers points (la matrice $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ a un spectre réel et n'est pas diagonalisable) et demande la récurrence de la démonstration ; la base orthonormale annoncée est alors la mise bout à bout d'une base orthonormale de chaque sous-espace propre.

En pratique, cela signifie qu'après avoir diagonalisé une matrice symétrique, il reste un travail que la réduction ordinaire ne demandait pas : orthonormaliser à l'intérieur de chaque sous-espace propre, par Gram-Schmidt, pour obtenir la matrice de passage $P$ orthogonale. Entre deux sous-espaces propres distincts, l'orthogonalité est automatique et n'a pas à être vérifiée — le point $2$ l'a déjà donnée.