Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries

Cours complet · mathématiques (PC), chapitre 4 · CPGE PC (2e année)

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4.1 Introduction et vue d'ensemble

L'interaction entre structure vectorielle et produit scalaire donne naissance à deux classes maîtresses d'opérateurs linéaires :

Les endomorphismes autoadjoints (on dit aussi symétriques), gouvernés par le prestigieux Théorème Spectral, qui modélisent les observables physiques en mécanique quantique et les tenseurs d'inertie en mécanique du solide.
Les isométries vectorielles (ou automorphismes orthogonaux), formant le groupe orthogonal $O (E)$ , qui préservent les distances et les angles, au cœur des opérations de symétrie moléculaire en chimie et des rotations spatiales.

Ces deux classes ne sont pas juxtaposées par hasard : chacune se définit par la façon dont l'endomorphisme se comporte vis-à-vis du produit scalaire, et les deux définitions s'écrivent d'une ligne :

$u autoadjoint ⟺ (\forall x, y, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u (y)⟩), u isom e ˊ trie ⟺ (\forall x, ∥ u (x) ∥ = ∥ x ∥) .$

La première fait passer $u$ d'un argument à l'autre sans rien changer ; la seconde ne change pas les longueurs. En base orthonormale, elles se lisent l'une et l'autre sur la matrice, et de la même façon — par une transposition : $^{t} M = M$ d'un côté, $^{t} M M = I_{n}$ de l'autre.

Tout le chapitre consiste à tirer les conséquences de ces deux égalités. La première donne le théorème spectral — une diagonalisation gratuite, en base orthonormale, sans qu'aucun polynôme caractéristique n'ait à être factorisé. La seconde donne la classification des rotations et des réflexions du plan, et, au-delà du programme, la description des rotations de l'espace.

C'est aussi le chapitre où le cours rejoint la physique : les rotations et les symétries planes dont l'électromagnétisme exploite l'invariance des sources sont des isométries, comme les opérations de symétrie d'une molécule. Au-delà du programme de physique de PC, le tenseur d'inertie d'un solide et la matrice des contraintes sont symétriques, et le théorème spectral est exactement l'énoncé qui garantit l'existence de leurs axes principaux.

4.2 Endomorphismes autoadjoints et théorème spectral

4.2.1 Endomorphismes autoadjoints et matrices symétriques

Un endomorphisme autoadjoint est celui qui peut « traverser » le produit scalaire : $⟨ u (x), y ⟩$ et $⟨ x, u (y)⟩$ y sont la même chose. Cette condition, purement algébrique, a une conséquence géométrique considérable, et le chemin qui y mène tient en un lemme : un tel endomorphisme respecte l'orthogonalité, au sens où il stabilise l'orthogonal de tout sous-espace qu'il stabilise. C'est ce lemme, et lui seul, qui permettra la récurrence du théorème spectral.

Définition 4.1Endomorphisme autoadjoint

Un endomorphisme $u \in L (E)$ d'un espace euclidien est dit autoadjoint — on dit aussi symétrique — si

$\forall x, y \in E, ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u (y)⟩ .$

L'ensemble des endomorphismes autoadjoints de $E$ est noté $S (E)$ . Dans toute base orthonormale $B$ , $u \in S (E)$ si et seulement si $Mat_{B} (u) \in S_{n} (R)$ , c'est-à-dire $^{t} M = M$ .

ImportantLe critère matriciel exige une base ORTHONORMALE

Dans une base quelconque, la matrice d'un endomorphisme autoadjoint n'a aucune raison d'être symétrique. Confondre « autoadjoint » et « de matrice symétrique » sans vérifier l'orthonormalité de la base est l'erreur qui coûte le plus cher sur ce chapitre. En revanche, dès que la base est orthonormale, le critère vaut dans toutes les bases orthonormales à la fois — ce qui n'allait pas de soi : être autoadjoint est une propriété de l'endomorphisme, pas de la base qui le représente.

Proposition 4.2Caractérisation des projecteurs orthogonaux

Un projecteur $p \in L (E)$ est un projecteur orthogonal si et seulement s'il est autoadjoint. Autrement dit, la projection orthogonale sur un sous-espace $F$ est l'unique endomorphisme $p$ d'image $F$ vérifiant à la fois $p^{2} = p$ et $p \in S (E)$ .

Un projecteur quelconque est déterminé par son image et son noyau, qui sont supplémentaires mais quelconques ; il est orthogonal exactement quand ces deux sous-espaces le sont l'un de l'autre. La proposition traduit cette condition géométrique en une condition algébrique vérifiable sur une matrice : en base orthonormale, un projecteur est orthogonal si et seulement si sa matrice est symétrique.

▪Lemme 4.3Stabilité de l'orthogonal pour un endomorphisme autoadjoint

Soit $u \in S (E)$ . Si $F$ est un sous-espace vectoriel stable par $u$ ( $u (F) \subset F$ ), alors son orthogonal $F^{⊥}$ est également stable par $u$ :

$u (F^{⊥}) \subset F^{⊥} .$

Démonstration

Soit $y \in F^{⊥}$ . Pour tout $x \in F$ , comme $F$ est stable par $u$ , $u (x) \in F$ , donc :

$⟨ u (y), x ⟩ = ⟨ y, u (x)⟩ = 0 (car y \in F^{⊥} et u (x) \in F) .$

Comme cette égalité est vraie pour tout $x \in F$ , on en déduit que $u (y) \in F^{⊥}$ .

4.2.2 Le Théorème Spectral Fondamental

Voici le théorème le plus fort du programme d'algèbre linéaire de PC. Il faut mesurer ce qu'il apporte en le comparant au chapitre de réduction : là, la diagonalisabilité se méritait — il fallait factoriser un polynôme caractéristique, puis vérifier pour chaque valeur propre que la dimension du sous-espace propre atteignait sa multiplicité, et le verdict pouvait être négatif. Ici, il n'y a rien à vérifier : toute matrice symétrique réelle est diagonalisable, et même en base orthonormale. La conclusion est acquise avant le moindre calcul, sur la seule lecture de $^{t} A = A$ .

◆Théorème 4.4Théorème spectral pour les endomorphismes autoadjoints

Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et $u \in S (E)$ un endomorphisme autoadjoint.

Toutes les racines complexes du polynôme caractéristique $χ_{u}$ sont réelles : $χ_{u}$ est scindé sur $R$ .
Les sous-espaces propres de $u$ associés à des valeurs propres distinctes sont deux à deux orthogonaux.
$u$ est diagonalisable dans une base orthonormale de $E$ :

$E = λ \in Sp (u) ⨁ ⊥ E_{λ} (u) .$

Trois lectures de cet énoncé méritent d'être séparées. Le point $1$ interdit les valeurs propres complexes non réelles : une matrice symétrique réelle n'a pas de spectre caché dans $C$ , ce qui est faux pour une matrice réelle quelconque — la matrice de la rotation d'angle $\frac{π}{2}$ n'a aucune valeur propre réelle. Le point $2$ est ce qui transforme une simple somme directe en somme directe orthogonale : les sous-espaces propres ne sont pas seulement indépendants, ils sont perpendiculaires. Le point $3$ est le cœur du théorème : les sous-espaces propres remplissent $E$ , ce qui ne découle pas des deux premiers points (la matrice $(1011)$ a un spectre réel et n'est pas diagonalisable) et demande la récurrence de la démonstration ; la base orthonormale annoncée est alors la mise bout à bout d'une base orthonormale de chaque sous-espace propre.

En pratique, cela signifie qu'après avoir diagonalisé une matrice symétrique, il reste un travail que la réduction ordinaire ne demandait pas : orthonormaliser à l'intérieur de chaque sous-espace propre, par Gram-Schmidt, pour obtenir la matrice de passage $P$ orthogonale. Entre deux sous-espaces propres distincts, l'orthogonalité est automatique et n'a pas à être vérifiée — le point $2$ l'a déjà donnée.

◆Théorème 4.5Version matricielle du Théorème Spectral

Pour toute matrice symétrique réelle $A \in S_{n} (R)$ , il existe une matrice orthogonale $P \in O_{n} (R)$ ( $P^{- 1} =^{t} P$ ) et une matrice diagonale $D \in M_{n} (R)$ telles que :

$A = P D P^{- 1} = P D^{t} P .$

Figure : Lecture géométrique du théorème spectral : la surface

⟨ S x, x ⟩ = 1

d'une matrice symétrique définie positive est un ellipsoïde, et le théorème affirme que ses axes sont orthogonaux entre eux. Les longueurs des demi-axes sont les $1/ λ_{i}$ : une valeur propre grande donne un axe court.</div>

Démonstration

1. Réalité du spectre : Soit $A \in S_{n} (R)$ . Considérons $A$ comme une matrice de $M_{n} (C)$ et notons, pour des colonnes $X, Y \in C^{n}$ , $⟨ X, Y ⟩ =^{t} X ˉ Y$ (un simple nombre complexe) et $∥ X ∥^{2} =^{t} X ˉ X = \sum_{k} ∣ x_{k} ∣^{2}$ , réel strictement positif dès que $X \neq = 0$ . Soit $λ \in C$ une valeur propre complexe et $X \in C^{n} ∖ {0}$ un vecteur propre associé : $A X = λ X$ . D'une part, $⟨ X, A X ⟩ =^{t} X ˉ A X =^{t} X ˉ (λ X) = λ^{t} X ˉ X = λ ∥ X ∥^{2}$ .
D'autre part, comme $A$ est réelle et symétrique ( $^{t} A = A = A ˉ$ ) :

$⟨ X, A X ⟩ =^{t} X ˉ A X =^{t} (A X ˉ) X =^{t} (A X) X =^{t} (λ ˉ X ˉ) X = λ ˉ ∥ X ∥^{2} .$

Comme $∥ X ∥^{2} > 0$ , on a $λ = λ ˉ$ , donc $λ \in R$ .

2. Orthogonalité des sous-espaces propres : Soient $λ \neq = μ$ deux valeurs propres distinctes, et $x \in E_{λ}$ , $y \in E_{μ}$ .

$λ ⟨ x, y ⟩ = ⟨ λ x, y ⟩ = ⟨ u (x), y ⟩ = ⟨ x, u (y)⟩ = ⟨ x, μ y ⟩ = μ ⟨ x, y ⟩ .$

Ainsi $(λ - μ) ⟨ x, y ⟩ = 0$ . Comme $λ \neq = μ$ , $⟨ x, y ⟩ = 0 ⟹ x ⊥ y$ .

3. Diagonalisabilité par récurrence sur $n = dim E$ : Pour $n = 1$ , le résultat est immédiat.
Supposons le théorème vrai pour tout espace euclidien de dimension $n - 1 \geq 1$ . Le polynôme caractéristique $χ_{u}$ admet au moins une racine complexe d'après le théorème de d'Alembert-Gauss. D'après le point 1, cette racine $λ_{1}$ est réelle : $u$ admet un vecteur propre unitaire $e_{1} \in E$ . Posons $F = Vect (e_{1})$ . $F$ est de dimension 1 et stable par $u$ . D'après le lemme de stabilité de l'orthogonal, $F^{⊥}$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n - 1$ , stable par $u$ . L'endomorphisme induit $u_{F^{⊥}}$ est symétrique sur l'espace euclidien $F^{⊥}$ . Par hypothèse de récurrence, il existe une base orthonormale $(e_{2}, \dots, e_{n})$ de $F^{⊥}$ formée de vecteurs propres de $u$ . La famille $(e_{1}, e_{2}, \dots, e_{n})$ est alors une base orthonormale de $E$ formée de vecteurs propres de $u$ .

4.2.3 Matrices Symétriques Positives et Définies Positives

La fonction $X \mapsto^{t} X A X$ associée à une matrice symétrique (on la nomme forme quadratique, vocabulaire que le programme n'emploie pas) a un signe que le théorème spectral donne immédiatement : en posant $Y =^{t} P X$ , elle s'écrit $\sum_{i} λ_{i} y_{i}^{2}$ , somme dont le signe se lit sur les seules valeurs propres. C'est la raison pour laquelle les deux caractérisations de la définition suivante sont équivalentes — l'équivalence n'est pas une définition, c'est un théorème, et il repose entièrement sur la réduction qui précède.

Définition 4.6Endomorphismes autoadjoints positifs, matrices symétriques positives

Soit $u \in S (E)$ un endomorphisme autoadjoint. On dit que $u$ est

positif, et l'on note $u \in S^{+} (E)$ , si $⟨ u (x), x ⟩ \geq 0$ pour tout $x \in E$ ;
défini positif, et l'on note $u \in S^{++} (E)$ , si $⟨ u (x), x ⟩ > 0$ pour tout $x \neq = 0_{E}$ .

Matriciellement, $A \in S_{n} (R)$ est positive ( $A \in S_{n}^{+} (R)$ ) si $^{t} X A X \geq 0$ pour toute colonne $X$ , et définie positive ( $A \in S_{n}^{++} (R)$ ) si $^{t} X A X > 0$ pour toute colonne $X \neq = 0$ .

◆Théorème 4.7Caractérisation spectrale de la positivité

Soit $u \in S (E)$ , de spectre $Sp (u)$ . Alors

$u \in S^{+} (E) ⟺ Sp (u) \subset [0, + \infty [, u \in S^{++} (E) ⟺ Sp (u) \subset] 0, + \infty [,$

et de même pour les matrices symétriques réelles.

La démonstration est une application directe du théorème spectral : dans une base orthonormale de vecteurs propres, $⟨ u (x), x ⟩$ devient $\sum_{i} λ_{i} x_{i}^{2}$ , dont le signe se lit sur celui des $λ_{i}$ . C'est ce critère qui rend la positivité vérifiable — on diagonalise, on lit les signes — alors que la définition, qui quantifie sur tous les vecteurs, ne se vérifie pas directement. Le calcul différentiel d'ordre $2$ en fera son outil : la nature d'un point critique se lira sur la positivité de la hessienne, qui est autoadjointe.

Méthode : Extrema d'une forme quadratique sur la sphère unité

C'est l'exercice de concours attaché à ce paragraphe, et il ne demande aucun calcul de dérivée.

Écrire la quantité à optimiser sous la forme $^{t} X A X$ avec $A$ symétrique — en répartissant chaque terme croisé $2 α x_{i} x_{j}$ en $a_{ij} = a_{j i} = α$ , faute de quoi $A$ n'est pas symétrique et rien ne s'applique.
Diagonaliser : $A = P D^{t} P$ avec $P$ orthogonale, et poser $Y =^{t} P X$ . Comme $P$ est orthogonale, $∥ Y ∥ = ∥ X ∥$ : la sphère unité est conservée, et c'est là toute l'astuce.
Conclure sur $\sum_{i} λ_{i} y_{i}^{2}$ avec $\sum_{i} y_{i}^{2} = 1$ : cette somme est comprise entre $λ_{m i n}$ et $λ_{m a x}$ , bornes atteintes aux vecteurs propres correspondants. Donc

$∥ X ∥ = 1 min^{t} X A X = λ_{m i n}, ∥ X ∥ = 1 max^{t} X A X = λ_{m a x} .$

Le changement de variable ne serait pas licite si $P$ n'était pas orthogonale : une matrice de passage quelconque déformerait la sphère et changerait le problème.

4.3 Isométries Vectorielles et Groupe Orthogonal

4.3.1 Le Groupe Orthogonal $O (E)$ et $O (n)$

La seconde condition annoncée en ouverture, la conservation des longueurs, définit les isométries. La définition ci-dessous en donne une autre forme, apparemment plus forte : conserver le produit scalaire. L'équivalence entre les deux n'est pas gratuite — conserver les longueurs entraîne conserver les angles — et elle est un cadeau du chapitre précédent : les identités de polarisation reconstruisent le produit scalaire à partir de la seule norme, donc un endomorphisme qui préserve l'une préserve l'autre.

Définition 4.8Isométrie vectorielle

Un endomorphisme $u \in L (E)$ est une isométrie vectorielle (ou automorphisme orthogonal) s'il conserve la norme :

$\forall x \in E, ∥ u (x) ∥ = ∥ x ∥ ⟺ \forall x, y \in E, ⟨ u (x), u (y)⟩ = ⟨ x, y ⟩ .$

Une isométrie est injective (si $u (x) = 0$ , alors $∥ x ∥ = ∥ u (x) ∥ = 0$ ), donc bijective puisque $E$ est de dimension finie. L'ensemble des isométries, noté $O (E)$ et appelé groupe orthogonal, contient $id_{E}$ , est stable par composition, et la réciproque d'une isométrie est une isométrie.

Exemple : les symétries orthogonales. Si $F$ est un sous-espace de $E$ et $p_{F}$ la projection orthogonale sur $F$ , la symétrie orthogonale par rapport à $F$ est $s_{F} = 2 p_{F} - id_{E}$ : elle fixe $F$ point par point et change $x$ en $- x$ sur $F^{⊥}$ . C'est une isométrie : pour $x = a + b$ avec $a \in F$ et $b \in F^{⊥}$ , le théorème de Pythagore donne $∥ s_{F} (x) ∥^{2} = ∥ a - b ∥^{2} = ∥ a ∥^{2} + ∥ b ∥^{2} = ∥ x ∥^{2}$ . Lorsque $F$ est un hyperplan, $s_{F}$ est une réflexion.

◆Théorème 4.9Caractérisations des isométries

Pour tout $u \in L (E)$ , les assertions suivantes sont équivalentes :

$u \in O (E)$ , c'est-à-dire $u$ conserve la norme : $∥ u (x) ∥ = ∥ x ∥$ pour tout $x$ .
$u$ conserve le produit scalaire : $⟨ u (x), u (y)⟩ = ⟨ x, y ⟩$ pour tous $x, y$ .
$u$ transforme une base orthonormale en une base orthonormale.
$u$ transforme toute base orthonormale en une base orthonormale.
Dans une base orthonormale $B$ , $M = Mat_{B} (u)$ vérifie $^{t} M M = M^{t} M = I_{n}$ ( $M \in O (n)$ ).

En particulier, si $M \in O (n)$ , alors $det (M) \in {- 1, + 1}$ .

Le passage du point 1 au point 2 est la formule de polarisation du chapitre précédent : conserver la norme, c'est conserver le produit scalaire, parce que celui-ci se reconstruit à partir de celle-là. Et l'écart entre les points 3 et 4 mérite d'être remarqué : il suffit qu'une base orthonormale ait une image orthonormale pour que toutes l'aient. C'est ce qui rend le critère utilisable — on vérifie sur la base canonique, on conclut partout.

Important

L'implication ne se renverse pas : $det (M) = \pm 1$ ne caractérise pas une matrice orthogonale. La matrice $(1051)$ a pour déterminant $1$ et n'est pas orthogonale — elle ne conserve pas les longueurs : elle envoie $(0, 1)$ , de norme $1$ , sur $(5, 1)$ , de norme $26$ . Le déterminant sert à trier les isométries une fois qu'on sait qu'on en tient une, jamais à les reconnaître.

La caractérisation $3$ est celle qu'on utilise pour reconnaître une isométrie sans calcul matriciel, et la caractérisation $5$ celle qui sert dans les exercices : vérifier $^{t} M M = I_{n}$ revient à vérifier que les colonnes de $M$ forment une base orthonormale de $R^{n}$ , ce qui se lit souvent à vue.

Proposition 4.10Stabilité de l'orthogonal

Soit $u \in O (E)$ une isométrie et $F$ un sous-espace vectoriel stable par $u$ . Alors $F^{⊥}$ est également stable par $u$ .

Ce résultat est le pendant, pour les isométries, du lemme démontré plus haut pour les endomorphismes autoadjoints, et il joue exactement le même rôle : c'est lui qui permet de découper l'espace en morceaux stables plus petits. C'est ainsi que l'étude d'une rotation de l'espace, faite plus bas au-delà du programme, se ramène au plan : on isole l'axe, droite stable, et l'on regarde ce que fait la rotation dans le plan orthogonal.

Proposition 4.11Matrices orthogonales et changement de base

Soit $A \in M_{n} (R)$ . Les assertions suivantes sont équivalentes :

$A$ est orthogonale, c'est-à-dire $^{t} A A = I_{n}$ ;
les colonnes de $A$ forment une base orthonormale de $R^{n}$ ;
les lignes de $A$ forment une base orthonormale de $R^{n}$ ;
$A$ est la matrice de changement de base entre deux bases orthonormales.

L'équivalence entre colonnes et lignes n'a rien d'évident : elle vient de ce que $^{t} A A = I_{n}$ entraîne $A^{t} A = I_{n}$ , une matrice carrée inversible à gauche l'étant à droite. Le point 4 est celui qu'on emploie sans y penser à chaque diagonalisation orthogonale : écrire $A = P D^{t} P$ avec $P$ orthogonale, c'est dire que $P$ fait passer de la base canonique à une base orthonormale de vecteurs propres, et que son inverse est sa transposée — d'où la commodité de la formule.

Définition 4.12Groupe Spécial Orthogonal

S O (n)

Le groupe spécial orthogonal $S O (n)$ (ou groupe des rotations) est l'ensemble des matrices orthogonales de déterminant $+ 1$ :

$S O (n) = {M \in O (n) ∣ det (M) = + 1} .$

Orientation. Deux bases d'un espace euclidien $E$ ont la même orientation si le déterminant de la matrice de passage de l'une à l'autre est strictement positif. Orienter $E$ , c'est choisir une base de référence : les bases de même orientation qu'elle sont dites directes, les autres indirectes. La matrice de passage entre deux bases orthonormales est orthogonale, de déterminant $\pm 1$ : deux bases orthonormales directes se déduisent l'une de l'autre par une matrice de $S O (n)$ . Les isométries de déterminant $+ 1$ , qui transforment toute base orthonormale directe en une base orthonormale directe, sont dites directes (leur ensemble est noté $S O (E)$ ) ; celles de déterminant $- 1$ sont dites indirectes. En dimension $3$ , le déterminant d'une famille $(x, y, z)$ dans une base orthonormale directe ne dépend donc pas de cette base : c'est le produit mixte $[x, y, z]$ , qui vaut aussi $⟨ x \land y, z ⟩$ .

4.3.2 Réduction des Isométries en Dimension 2 et 3

En dimension $2$ , la partition est complète et sans surprise : une isométrie du plan est une rotation si son déterminant vaut $+ 1$ , une réflexion s'il vaut $- 1$ , et il n'y a pas d'autre cas. On les distingue donc d'un coup d'œil, et la trace donne ensuite $cos θ$ dans le premier cas ( $tr = 2 cos θ$ , le signe de $sin θ$ se lisant sur la matrice) tandis qu'elle vaut toujours $0$ dans le second.

Proposition 4.13Description de

O_{2} (R)

Toute matrice de $O_{2} (R)$ s'écrit, pour un unique $θ \in [0, 2 π [$ , sous l'une des deux formes

$R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (det = + 1), S_{θ} = (cos θ sin θ sin θ - cos θ) (det = - 1) .$

Les premières forment $S O_{2} (R)$ , et ce groupe est commutatif : $R_{θ} R_{θ^{'}} = R_{θ + θ^{'}} = R_{θ^{'}} R_{θ}$ .

La commutativité est propre à la dimension $2$ — dès la dimension $3$ , deux rotations d'axes différents ne commutent pas en général —, et elle a une lecture immédiate : composer deux rotations planes, c'est ajouter leurs angles, et l'addition est commutative. C'est aussi ce qui donne un sens à la mesure d'un angle orienté de deux vecteurs non nuls du plan orienté : l'unique $θ$ , modulo $2 π$ , tel que la rotation $R_{θ}$ envoie le premier vecteur normalisé sur le second.

◆Théorème 4.14Classification en dimension 2

Soit $E$ un plan euclidien orienté.

Si $u \in S O (E)$ ( $det u = + 1$ ), $u$ est une rotation vectorielle d'angle $θ \in R$ , de matrice dans toute base orthonormale directe :

$R_{θ} = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) .$

Si $u \in O^{-} (E)$ ( $det u = - 1$ ), $u$ est une réflexion orthogonale par rapport à une droite vectorielle $D = R u$ , de matrice dans une base orthonormale adaptée :

$S = (10 0 - 1) .$

Une réflexion est une involution ( $S^{2} = I_{2}$ ) et une rotation ne l'est que pour $θ \in {0, π}$ : c'est un second moyen de les séparer. Attention en revanche au produit — le composé de deux réflexions du plan est une rotation, d'angle le double de l'angle entre les deux axes, et toute rotation est la composée de deux réflexions : $R_{θ} = S_{θ} S_{0}$ .

En dimension $3$ , le tableau change : une rotation distincte de l'identité fixe une droite, son axe. Le programme de PC ne classe les isométries qu'en dimension $2$ , et ne mentionne la dimension trois que pour ses « applications courantes » ; le théorème qui suit est énoncé pour elles, et il est démontré dans le problème des travaux dirigés de ce chapitre (le théorème de rotation d'Euler). Il dit qu'une rotation de l'espace laisse un axe fixe point par point et opère comme une rotation plane dans le plan orthogonal à cet axe.

◆Théorème 4.15Classification en dimension 3

Pour toute isométrie $u \in S O (3)$ (rotation de l'espace $R^{3}$ ) :

Si $u \neq = id$ , l'ensemble des points fixes $Inv (u) = ker (u - id)$ est une droite vectorielle $D = R u$ (axe de la rotation) ; l'identité, elle, fixe tout $R^{3}$ (c'est la rotation d'angle $θ = 0$ autour de n'importe quel axe).
Dans une base orthonormale directe $B = (u, e_{1}, e_{2})$ où $u$ est unitaire :

$Mat_{B} (u) = 100 0 cos θ sin θ 0 - sin θ cos θ .$

L'angle de rotation $θ$ est donné par :

$tr (u) = 1 + 2 cos θ ⟺ cos θ = \frac{tr ( u ) - 1}{2},$

et le sens de rotation (signe de $sin θ$ ) est déterminé par le produit mixte : pour tout $x \in / R u$ , $[u, x, u (x)] = sin θ ∥ x - ⟨ x, u ⟩ u ∥^{2}$ (soit $sin θ ∥ x ∥^{2}$ quand $x$ est orthogonal à l'axe), qui a le signe de $sin θ$ .

Figure : Une rotation de

R^{3}

laisse son axe fixe point par point et fait tourner

le plan orthogonal $P$ sur lui-même. Le cercle en pointillés, vu de biais, est l'ellipse sur laquelle $x$ et $u (x)$ se trouvent tous deux : c'est la traduction graphique de $∥ u (x) ∥ = ∥ x ∥$ .</div>

Méthode : Reconnaître une isométrie de $R^{3}$ et en donner les éléments

Soit $M$ une matrice réelle $3 \times 3$ donnée.

Vérifier que $M$ est orthogonale : $^{t} M M = I_{3}$ , autrement dit que les trois colonnes sont unitaires et deux à deux orthogonales. Tant que ce point n'est pas acquis, aucune des étapes suivantes n'a de sens.
Calculer $det M$ : $+ 1$ pour une rotation, $- 1$ pour une isométrie indirecte — auquel cas on applique la suite à $- M$ , qui est une rotation.
Trouver l'axe en résolvant $M X = X$ , c'est-à-dire $ker (M - I_{3})$ : si $M \neq = I_{3}$ , c'est une droite, et un vecteur directeur unitaire $u$ l'oriente (si $M = I_{3}$ , il n'y a rien à chercher : c'est l'identité).
Trouver l'angle par la trace, $cos θ = \frac{tr ( M ) - 1}{2}$ , puis son signe par le produit mixte $[u, x, M x]$ calculé sur n'importe quel $x$ hors de l'axe : ce produit vaut $sin θ ∥ x - ⟨ x, u ⟩ u ∥^{2}$ (la norme de la composante de $x$ orthogonale à l'axe, et non celle de $x$ ), donc il a le signe de $sin θ$ .

L'étape $4$ est celle qu'on saute : la trace ne donne que $cos θ$ , donc l'angle au signe près. Sans le produit mixte, la rotation d'angle $θ$ et celle d'angle $- θ$ autour du même axe restent indiscernables.

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