Exercices corrigés — Endomorphismes des Espaces Euclidiens et Isométries (mathématiques (PC))

31 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

F. Théorème spectral et positivité

• Projecteurs orthogonaux : autoadjoints, passifs, et le paradoxe des trois polariseurs Exercice de TD
• Le principe variationnel de Rayleigh Exercice de TD

A. Matrices orthogonales et groupe orthogonal

• Orthogonale et symétrique ; les réflexions de Householder Exercice de TD
• Conserver les distances entraîne la linéarité Exercice de TD
• Les matrices orthogonales à coefficients entiers : les 48 symétries du cube Exercice de TD

E. Matrices symétriques positives et définies positives

• Deux oscillateurs couplés : la réduction simultanée Exercice de TD
• L'inégalité de Hadamard Exercice de TD

• Rotation d'axe $(1,1,1)$ et d'angle $\pi /3$ Exercice classique
• Isométries indirectes de l'espace : les anti-rotations Exercice classique
• Deux réflexions composées font une rotation Exercice classique
• Spectre réel d'une isométrie et taille de ses coefficients Exercice classique
• Les rotations planes et les nombres complexes de module 1 Exercice classique

D. Réduction et structure des isométries

• Le théorème de Cartan–Dieudonné Exercice de TD

B. Le plan euclidien : rotations et réflexions

• Un miroir renverse les angles : la conjugaison dans $O_2(\mathbb{R})$ Exercice de TD

Niveau ★★★ — approfondissement

• Le quotient de Rayleigh Exercice classique
• Positif, défini positif Application directe du cours
• Racine carrée d'une matrice symétrique positive Application directe du cours

C. Isométries de l'espace : axe et angle

• Problème : le théorème de rotation d'Euler Exercice de TD

Niveau ★ — application directe du cours

• Vérifier une matrice orthogonale Application directe du cours
• Reconnaître les isométries du plan Application directe du cours

Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

• Matrice d'une réflexion Application directe du cours
• Une rotation de l'espace Application directe du cours
• Le théorème spectral en action Application directe du cours

Autres exercices résolus, par thème du cours

• Reconnaître une matrice orthogonale du plan Application directe du cours
• Le groupe orthogonal et son sous-groupe des rotations Application directe du cours
• Une rotation du plan n'a pas de valeur propre réelle Application directe du cours
• Trace du produit de deux matrices symétriques positives Application directe du cours
• ${\lambda }_{\max }$ vue comme un maximum sur la sphère Application directe du cours
• La décomposition polaire d'une matrice inversible Application directe du cours

Z. Problèmes de concours corrigés

• Caractérisation géométrique d'une matrice orthogonale $3\times 3$ Application directe du cours
• Racine carrée d'une matrice symétrique définie positive Application directe du cours

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