Espaces Vectoriels Normés et Topologie

5.1 Introduction et vue d'ensemble

La topologie des espaces vectoriels normés fournit le cadre mathématique rigoureux indispensable à l'étude des limites, de la continuité et de la convergence des suites de matrices et des suites de fonctions.

En PC, ce formalisme justifie la convergence des suites de matrices et des séries de fonctions, l'existence des extrema en thermodynamique et en optimisation (le théorème des bornes atteintes), et la continuité des applications linéaires, multilinéaires et polynomiales qu'emploie le calcul différentiel.

Ce chapitre est celui qui justifie après coup ce que les chapitres d'analyse emploient sans le dire. Il tourne autour de deux théorèmes, et il vaut la peine de savoir dès l'abord ce que chacun apporte.

Le premier est l'équivalence des normes en dimension finie. Il affirme que sur un espace de dimension finie, le choix de la norme n'a aucune conséquence : mêmes suites convergentes, mêmes ouverts, mêmes fonctions continues. C'est ce qui autorise à écrire « $x_n\to x$ dans ${\mathbb{R}}^n$ » sans jamais préciser pour quelle norme — une désinvolture qui serait fautive partout ailleurs.

Le second est le théorème des bornes atteintes : une fonction continue sur une partie fermée bornée y atteint son minimum. Sa fonction est de transformer une borne inférieure, objet dont on ne sait rien, en un minimum, c'est-à-dire en une valeur prise en un point. C'est l'outil d'existence du programme : il ne calcule rien, il garantit qu'il y a quelque chose à calculer.

Il faut enfin retenir dès maintenant le revers du décor : tout ce confort disparaît en dimension infinie, et c'est précisément là que vivent les espaces de fonctions du chapitre sur les suites et séries de fonctions. Deux normes n'y sont plus équivalentes, le théorème des bornes atteintes y tombe en défaut, une application linéaire n'y est plus automatiquement continue. La distinction entre convergence simple et convergence uniforme, qui semblait une subtilité, est exactement la trace de ce phénomène.

5.2 Normes, Distances et Espaces Vectoriels Normés

5.2.1 Définition Axiomatique d'une Norme

Une norme est une longueur, au sens le plus dépouillé : elle généralise la valeur absolue sur $\mathbb{R}$ et le module sur $\mathbb{C}$. Les trois axiomes sont ceux qu'on attend d'une longueur, et la distance $d(x,y)=\Vert x-y\Vert$ qui en découle possède une propriété que n'a pas une distance quelconque : elle est invariante par translation. C'est elle qui permet de tout ramener à l'origine, et donc de ne parler que de la boule unité, comme la figure de ce chapitre le fait.

Comme au chapitre des espaces euclidiens, c'est le premier axiome qui fait le travail, et c'est le seul qui puisse manquer dans les exemples. Une application vérifiant les deux derniers sans le premier s'appelle une semi-norme, et il en existe de très naturelles : sur $\mathbb{R}[X]$, l'application $P\mapsto |P(0)|$ est homogène et sous-additive, mais s'annule sur $X$, qui n'est pas le polynôme nul. Sur $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$, $\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f|$ est bien une norme, mais uniquement parce que les fonctions considérées sont continues — l'argument est identique à celui du produit scalaire intégral, et il tombe pour les fonctions continues par morceaux.

5.2.2 Normes usuelles sur ${\mathbb{K}}^n$

Les trois normes usuelles ne sont pas trois variantes de la même idée : elles mesurent des choses différentes. La norme $1$ additionne les écarts, la norme $2$ les compose comme Pythagore, la norme infinie ne retient que le pire. Un ingénieur qui borne une erreur globale prend la norme $1$, celui qui garantit une tolérance sur chaque coordonnée prend la norme infinie. Les inégalités ci-dessous disent que, en dimension finie, ces trois exigences ne diffèrent jamais que d'un facteur borné — mais ce facteur dépend de $n$, et c'est ce qui rendra le passage à la dimension infinie impossible.

Ces inégalités sont optimales : chacune est une égalité pour un vecteur bien choisi. Le vecteur $(1,0,\dots ,0)$ réalise l'égalité dans les deux premières, et le vecteur $(1,1,\dots ,1)$ dans les deux dernières, avec $\Vert x{\Vert }_1=n$, $\Vert x{\Vert }_2=\sqrt{n}$ et $\Vert x{\Vert }_{\infty }=1$. C'est en exhibant ces deux vecteurs qu'on prouve qu'aucune constante plus petite ne convient.

5.3 Suites d'éléments d'un espace vectoriel normé

Une norme sert d'abord à parler de convergence : dire qu'une suite tend vers un vecteur, c'est dire que la distance qui les sépare tend vers $0$. Tout ce qui suit est la transposition, mot pour mot, de ce que la première année a établi pour les suites réelles.

Il faut remarquer le mécanisme : la convergence dans $E$ est ramenée à la convergence d'une suite de réels positifs. C'est ce qui permet d'employer, sans rien redémontrer, tous les outils de la première année — encadrements, comparaisons, équivalents.

Le point 4 s'emploie presque toujours par contraposée : pour montrer qu'une suite diverge, on en exhibe deux suites extraites de limites différentes. C'est aussi l'outil qui sert à prouver que deux normes ne sont pas équivalentes — on construit une suite qui converge pour l'une et pas pour l'autre —, ce que la section suivante emploiera.

5.4 Équivalence des Normes en Dimension Finie

Deux normes équivalentes définissent, littéralement, la même topologie : mêmes suites convergentes, mêmes ouverts, mêmes fermés, mêmes parties bornées, mêmes fonctions continues. Le théorème de cette section affirme qu'en dimension finie ce cas est le seul possible — ce qui a une conséquence pratique immédiate : dans une démonstration, on a le droit de choisir la norme la plus commode, et c'est presque toujours $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$, celle qui ramène tout à des coordonnées.