Séries Numériques

Cours · mathématiques (PC), chapitre 6 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La série géométrique 1/2 + 1/4 + 1/8 + … remplit peu à peu un carré d'aire 1.

6.1 Introduction et vue d'ensemble

Une série n'est pas une somme : c'est une limite de sommes. Toute la difficulté du chapitre tient dans cette phrase — les règles du calcul algébrique, qui valent pour une somme finie, cessent de valoir sans hypothèse pour une série. On ne peut ni réordonner les termes, ni les regrouper, ni multiplier deux séries terme à terme, tant qu'on n'a pas vérifié ce qui l'autorise.

Le plan du chapitre suit cette logique. On établit d'abord des critères de convergence — comparaison, équivalence, règle de d'Alembert, comparaison série-intégrale — qui ne disent rien de la valeur de la somme mais tout de son existence. On distingue ensuite la convergence absolue, qui autorise à manipuler la série comme une somme finie, de la convergence simple, qui ne l'autorise pas. La série harmonique alternée, convergente mais non absolument, est le contre-exemple à garder en tête : son réarrangement peut converger vers n'importe quel réel.

L'étude des séries numériques donne un sens rigoureux au concept de somme infinie $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ . En PC, ce formalisme est le pilier de la physique statistique (fonctions de partition canoniques $Z = \sum e^{- β E_{n}}$ ), de la thermodynamique (rayonnement du corps noir de Planck $\int_{0}^{+ \infty} \frac{ω ^{3} d ω}{e ^{β ℏ ω} - 1} = \frac{6}{( β ℏ ) ^{4}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{4}}$ ), de l'optique ondulatoire (interférences à $N$ ondes) et du traitement du signal.

6.2 Généralités sur les Séries et Convergence

6.2.1 Définitions Fondamentales

Le vocabulaire de cette section est le lieu d'une confusion qu'il faut dissiper une fois pour toutes. La série $\sum u_{n}$ est un objet — la suite de ses sommes partielles — et elle existe toujours, convergente ou non. La somme $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ est un nombre, et elle n'existe que si la série converge. Écrire ce nombre avant d'avoir prouvé la convergence est l'erreur la plus fréquente du chapitre : on manipule alors un symbole qui ne désigne rien.

Définition 6.1Série numérique, Sommes partielles et Reste

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite à valeurs dans $K$ ( $R$ ou $C$ ).

La série numérique associée est notée $\sum u_{n}$ ou $\sum_{n \geq 0} u_{n}$ .
La suite des sommes partielles $(S_{n})_{n \in N}$ est définie par :

$S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} .$

La série $\sum u_{n}$ est dite convergente si la suite $(S_{n})_{n \in N}$ admet une limite finie $S \in K$ quand $n \to + \infty$ . On note alors $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} = lim_{n \to + \infty} S_{n}$ la somme de la série.
Si $\sum u_{n}$ converge, pour tout $n \in N$ , le reste d'ordre $n$ est :

$R_{n} = S - S_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k}, et n \to + \infty lim R_{n} = 0.$

Deux remarques sur cette définition. Le reste $R_{n}$ n'a de sens que pour une série convergente — c'est une somme infinie, elle est soumise à la même exigence que $S$ . Et la nature d'une série ne dépend que de son comportement à l'infini : modifier un nombre fini de termes ne change ni la convergence ni la divergence, mais change la valeur de la somme. On raisonne donc toujours « à partir d'un certain rang », ce qui autorise à ignorer les premiers termes, y compris ceux qui ne sont pas définis.

Proposition 6.2Condition nécessaire de convergence (Divergence grossière)

Si la série $\sum u_{n}$ converge, alors son terme général tend vers zéro :

$\sum u_{n} converge ⟹ n \to + \infty lim u_{n} = 0.$

Par contraposée, si $u_{n} \neq \to 0$ , la série $\sum u_{n}$ diverge grossièrement.

C'est le premier réflexe devant toute série : regarder si le terme général tend vers zéro. Si ce n'est pas le cas, l'affaire est réglée en une ligne. Mais la condition est nécessaire et non suffisante, et l'oublier revient à croire démontrée la moitié de ce qu'on cherche : la série harmonique $\sum 1/ n$ a un terme général qui tend vers $0$ et diverge pourtant. C'est le contre-exemple à réciter avant chaque usage de cette proposition.

6.3 Séries à Termes Réels Positifs

La positivité change tout, et il faut voir pourquoi. Si $u_{n} \geq 0$ , la suite des sommes partielles est croissante : elle ne peut donc que converger ou tendre vers $+ \infty$ , et le troisième comportement possible d'une suite quelconque — osciller sans limite — est exclu. Une série positive converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées, ce qui est une condition qu'on sait vérifier par comparaison.

C'est la raison pour laquelle tous les critères de cette section sont énoncés pour des séries positives, et c'est aussi la raison pour laquelle on les applique systématiquement à $\sum ∣ u_{n} ∣$ lorsque la série n'est pas de signe constant : on se ramène au cas positif pour pouvoir comparer.

6.3.1 Critères de Comparaison et Séries de Riemann

◆Théorème 6.3Théorème de comparaison pour les séries positives

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries à termes réels positifs ( $u_{n} \geq 0, v_{n} \geq 0$ ).

Inégalité : Si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang :

$\sum v_{n} converge ⟹ \sum u_{n} converge, et \sum u_{n} diverge ⟹ \sum v_{n} diverge .$

Équivalence : Si $u_{n} \sim v_{n}$ au voisinage de $+ \infty$ , alors $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.
Négligeabilité : Si $u_{n} = o (v_{n})$ ou $u_{n} = O (v_{n})$ , alors $\sum v_{n} converge ⟹ \sum u_{n} converge$ .

Important

L'hypothèse de signe constant n'est pas décorative, et c'est sur le critère d'équivalence qu'elle manque le plus souvent. Posons

$u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} et v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n} .$

Alors $v_{n} / u_{n} = 1 + (- 1)^{n} / n \to 1$ , donc $u_{n} \sim v_{n}$ . Pourtant $\sum u_{n}$ converge par le théorème spécial des séries alternées, tandis que $\sum v_{n} = \sum u_{n} + \sum 1/ n$ diverge. Deux séries équivalentes de signe non constant peuvent être de natures différentes.

Exercices du chapitre

Produits infinis et probabilité de survie corrigé
Pas de série divergente « la plus lente » (Abel–Dini) corrigé
Séries de Bertrand : nature, reste, sommes partielles corrigé
La suite $u_{n + 1} = u_{n} + \frac{1}{u _{n}}$ et la loi en $n$ corrigé
Quand d'Alembert se tait : la règle de Raabe–Duhamel corrigé
Réordonner une série : ce que permet la convergence absolue corrigé

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