Séries Numériques

Cours complet · mathématiques (PC), chapitre 6 · CPGE PC (2e année)

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6.1 Introduction et vue d'ensemble

Une série n'est pas une somme : c'est une limite de sommes. Toute la difficulté du chapitre tient dans cette phrase — les règles du calcul algébrique, qui valent pour une somme finie, cessent de valoir sans hypothèse pour une série. On ne peut ni réordonner les termes, ni les regrouper, ni multiplier deux séries terme à terme, tant qu'on n'a pas vérifié ce qui l'autorise.

Le plan du chapitre suit cette logique. On établit d'abord des critères de convergence — comparaison, équivalence, règle de d'Alembert, comparaison série-intégrale — qui ne disent rien de la valeur de la somme mais tout de son existence. On distingue ensuite la convergence absolue, qui autorise à manipuler la série comme une somme finie, de la convergence simple, qui ne l'autorise pas. La série harmonique alternée, convergente mais non absolument, est le contre-exemple à garder en tête : son réarrangement peut converger vers n'importe quel réel.

L'étude des séries numériques donne un sens rigoureux au concept de somme infinie $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ . En PC, ce formalisme est le pilier de la physique statistique (fonctions de partition canoniques $Z = \sum e^{- β E_{n}}$ ), de la thermodynamique (rayonnement du corps noir de Planck $\int_{0}^{+ \infty} \frac{ω ^{3} d ω}{e ^{β ℏ ω} - 1} = \frac{6}{( β ℏ ) ^{4}} \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{4}}$ ), de l'optique ondulatoire (interférences à $N$ ondes) et du traitement du signal.

6.2 Généralités sur les Séries et Convergence

6.2.1 Définitions Fondamentales

Le vocabulaire de cette section est le lieu d'une confusion qu'il faut dissiper une fois pour toutes. La série $\sum u_{n}$ est un objet — la suite de ses sommes partielles — et elle existe toujours, convergente ou non. La somme $\sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ est un nombre, et elle n'existe que si la série converge. Écrire ce nombre avant d'avoir prouvé la convergence est l'erreur la plus fréquente du chapitre : on manipule alors un symbole qui ne désigne rien.

Définition 6.1Série numérique, Sommes partielles et Reste

Soit $(u_{n})_{n \in N}$ une suite à valeurs dans $K$ ( $R$ ou $C$ ).

La série numérique associée est notée $\sum u_{n}$ ou $\sum_{n \geq 0} u_{n}$ .
La suite des sommes partielles $(S_{n})_{n \in N}$ est définie par :

$S_{n} = k = 0 \sum n u_{k} = u_{0} + u_{1} + \dots + u_{n} .$

La série $\sum u_{n}$ est dite convergente si la suite $(S_{n})_{n \in N}$ admet une limite finie $S \in K$ quand $n \to + \infty$ . On note alors $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} = lim_{n \to + \infty} S_{n}$ la somme de la série.
Si $\sum u_{n}$ converge, pour tout $n \in N$ , le reste d'ordre $n$ est :

$R_{n} = S - S_{n} = k = n + 1 \sum + \infty u_{k}, et n \to + \infty lim R_{n} = 0.$

Deux remarques sur cette définition. Le reste $R_{n}$ n'a de sens que pour une série convergente — c'est une somme infinie, elle est soumise à la même exigence que $S$ . Et la nature d'une série ne dépend que de son comportement à l'infini : modifier un nombre fini de termes ne change ni la convergence ni la divergence, mais change la valeur de la somme. On raisonne donc toujours « à partir d'un certain rang », ce qui autorise à ignorer les premiers termes, y compris ceux qui ne sont pas définis.

Proposition 6.2Condition nécessaire de convergence (Divergence grossière)

Si la série $\sum u_{n}$ converge, alors son terme général tend vers zéro :

$\sum u_{n} converge ⟹ n \to + \infty lim u_{n} = 0.$

Par contraposée, si $u_{n} \neq \to 0$ , la série $\sum u_{n}$ diverge grossièrement.

C'est le premier réflexe devant toute série : regarder si le terme général tend vers zéro. Si ce n'est pas le cas, l'affaire est réglée en une ligne. Mais la condition est nécessaire et non suffisante, et l'oublier revient à croire démontrée la moitié de ce qu'on cherche : la série harmonique $\sum 1/ n$ a un terme général qui tend vers $0$ et diverge pourtant. C'est le contre-exemple à réciter avant chaque usage de cette proposition.

6.3 Séries à Termes Réels Positifs

La positivité change tout, et il faut voir pourquoi. Si $u_{n} \geq 0$ , la suite des sommes partielles est croissante : elle ne peut donc que converger ou tendre vers $+ \infty$ , et le troisième comportement possible d'une suite quelconque — osciller sans limite — est exclu. Une série positive converge si et seulement si ses sommes partielles sont majorées, ce qui est une condition qu'on sait vérifier par comparaison.

C'est la raison pour laquelle tous les critères de cette section sont énoncés pour des séries positives, et c'est aussi la raison pour laquelle on les applique systématiquement à $\sum ∣ u_{n} ∣$ lorsque la série n'est pas de signe constant : on se ramène au cas positif pour pouvoir comparer.

6.3.1 Critères de Comparaison et Séries de Riemann

◆Théorème 6.3Théorème de comparaison pour les séries positives

Soient $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ deux séries à termes réels positifs ( $u_{n} \geq 0, v_{n} \geq 0$ ).

Inégalité : Si $u_{n} \leq v_{n}$ à partir d'un certain rang :

$\sum v_{n} converge ⟹ \sum u_{n} converge, et \sum u_{n} diverge ⟹ \sum v_{n} diverge .$

Équivalence : Si $u_{n} \sim v_{n}$ au voisinage de $+ \infty$ , alors $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ sont de même nature.
Négligeabilité : Si $u_{n} = o (v_{n})$ ou $u_{n} = O (v_{n})$ , alors $\sum v_{n} converge ⟹ \sum u_{n} converge$ .

Important

L'hypothèse de signe constant n'est pas décorative, et c'est sur le critère d'équivalence qu'elle manque le plus souvent. Posons

$u_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} et v_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n} + \frac{1}{n} .$

Alors $v_{n} / u_{n} = 1 + (- 1)^{n} / n \to 1$ , donc $u_{n} \sim v_{n}$ . Pourtant $\sum u_{n}$ converge par le théorème spécial des séries alternées, tandis que $\sum v_{n} = \sum u_{n} + \sum 1/ n$ diverge. Deux séries équivalentes de signe non constant peuvent être de natures différentes.

◆Théorème 6.4Règle des Séries de Riemann

La série de Riemann $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{α}}$ converge si et seulement si :

$α > 1.$

Les séries de Riemann sont l'étalon du chapitre : la quasi-totalité des exercices consiste à comparer la série étudiée à l'une d'elles. La démarche est toujours la même — chercher un équivalent du terme général de la forme $C / n^{α}$ , puis lire la nature sur $α$ . Retenir la frontière : $α = 1$ diverge, $α = 2$ converge, et le cas $α = 1$ est celui de la série harmonique, à la limite exacte entre les deux régimes.

6.3.2 Comparaison Série-Intégrale

L'introduction annonçait ce critère, et l'exercice qui clôt le chapitre en dépend : il est le seul à donner, en plus de la nature de la série, un encadrement du reste ou un équivalent des sommes partielles. Son principe tient dans un dessin : pour une fonction décroissante, l'aire d'un rectangle de largeur $1$ est encadrée par les aires sous la courbe à gauche et à droite.

◆Théorème 6.5Comparaison série-intégrale

Soit $f : [n_{0}, + \infty [\to R^{+}$ continue par morceaux, positive et décroissante. Alors la série $\sum f (n)$ et l'intégrale $\int_{n_{0}}^{+ \infty} f (t) d t$ sont de même nature, et :

en cas de convergence, le reste est encadré par

$\int_{n + 1}^{+ \infty} f (t) d t \leq R_{n} \leq \int_{n}^{+ \infty} f (t) d t;$

en cas de divergence, les sommes partielles vérifient $k = n_{0} \sum n f (k) \sim \int_{n_{0}}^{n} f (t) d t$ .

C'est ce théorème, appliqué à $f (t) = 1/ t$ , qui donne $H_{n} \sim ln n$ et ouvre la voie à la constante d'Euler. Il redémontre aussi la règle de Riemann, en comparant $\sum 1/ n^{α}$ à $\int d t / t^{α}$ : la série et l'intégrale changent de nature au même endroit, $α = 1$ .

Figure : Comparaison série-intégrale pour

f

positive décroissante. Chaque rectangle

de base $[k, k + 1]$ a pour hauteur $f (k + 1)$ , donc son aire vaut $f (k + 1)$ et reste inférieure à l'aire sous la courbe sur le même intervalle. En sommant pour $k \geq n$ , on obtient la majoration $R_{n} \leq \int_{n}^{+ \infty} f$ ; en décalant d'un cran, la minoration.</div>

6.3.3 La formule de Stirling

◆Théorème 6.6Formule de Stirling

Quand $n$ tend vers $+ \infty$ :

$n! \sim 2 π n (\frac{n}{e})^{n} .$

Sa démonstration n'est pas exigible.

L'équivalent est d'une précision remarquable dès les petites valeurs : pour $n = 10$ , il donne $3598696$ contre $3628800$ pour $10!$ , soit une erreur de $0, 8 %$ , et l'erreur relative décroît comme $\frac{1}{12 n}$ .

Son emploi est presque toujours le même : faire disparaître une factorielle d'un équivalent ou d'une limite, là où la factorielle interdit toute comparaison directe. Les trois facteurs jouent des rôles distincts et il faut les distinguer — c'est $(\frac{n}{e})^{n}$ qui donne la croissance dominante, $2 π n$ n'étant qu'une correction polynomiale. Ainsi $n n! \sim \frac{n}{e}$ : la racine $n$ -ième écrase la correction, dont la puissance $\frac{1}{n}$ tend vers $1$ .

ImportantStirling ne remplace pas d'Alembert

Devant une série dont le terme général contient des factorielles, le réflexe doit rester la règle de d'Alembert : le quotient $\frac{u _{n + 1}}{u _{n}}$ simplifie les factorielles sans rien approcher, alors que Stirling les remplace par une expression plus lourde. On réserve Stirling aux cas où le quotient ne suffit pas — un équivalent à établir, une limite de $n u_{n}$ , ou un terme général qui n'est pas de signe constant.

6.3.4 Règle de d'Alembert

◆Théorème 6.7Règle de d'Alembert

Soit $\sum u_{n}$ une série à termes strictement positifs. Supposons que $lim_{n \to + \infty} \frac{u _{n + 1}}{u _{n}} = ℓ \in [0, + \infty]$ .

Si $ℓ < 1$ , la série $\sum u_{n}$ converge.
Si $ℓ > 1$ , la série $\sum u_{n}$ diverge grossièrement ( $u_{n} \to + \infty$ ).
Si $ℓ = 1$ , on ne peut pas conclure (cas douteux).

La règle de d'Alembert a un domaine d'emploi étroit et il faut le connaître, sous peine de la tenter à chaque fois sans succès. Elle est faite pour les termes multiplicatifs — factorielles, puissances $n$ -ièmes, coefficients binomiaux — parce que le quotient $u_{n + 1} / u_{n}$ s'y simplifie. Elle est en revanche inutilisable sur les termes de type rationnel : pour $u_{n} = 1/ n^{α}$ , le quotient vaut $(\frac{n}{n + 1})^{α} \to 1$ , quel que soit $α$ , et l'on retombe toujours dans le cas douteux — précisément celui où la nature dépend de $α$ . Devant un quotient de polynômes, on compare à Riemann ; devant une factorielle, on applique d'Alembert.

Méthode : Déterminer la nature d'une série

L'ordre des questions à se poser compte autant que les critères eux-mêmes.

$u_{n}$ tend-il vers $0$ ? Sinon, divergence grossière, c'est fini.
Quel est le signe ? S'il est constant à partir d'un certain rang, on dispose de tout l'arsenal des séries positives. Sinon, on essaie d'abord la convergence absolue, en étudiant $\sum ∣ u_{n} ∣$ , qui est positive.
Chercher un équivalent simple de $u_{n}$ , de la forme $C / n^{α}$ ou $C q^{n}$ , et conclure par comparaison à Riemann ou à une géométrique. C'est la voie qui aboutit dans la grande majorité des cas.
Factorielles ou puissances : règle de d'Alembert.
Terme de la forme $f (n)$ avec $f$ décroissante : comparaison série-intégrale, qui donne en prime un encadrement du reste.
Si $\sum ∣ u_{n} ∣$ diverge et que la série est alternée : théorème spécial des séries alternées, seul recours restant.

Ne jamais oublier que les étapes $3$ à $5$ exigent le signe constant obtenu à l'étape $2$ .

6.4 Séries Absolument Convergentes et Séries Alternées

6.4.1 Convergence Absolue

La convergence absolue est ce qui permet de traiter une série comme une somme finie. C'est le seul cadre dans lequel on a le droit de réordonner les termes, de les regrouper par paquets, ou de multiplier deux séries — trois opérations que l'introduction annonçait comme interdites sans hypothèse. Une série convergente qui n'est pas absolument convergente est dite semi-convergente, et le mot signale un objet fragile.

Définition 6.8Convergence absolue

Une série $\sum u_{n}$ à termes dans $K$ ( $R$ ou $C$ ) est dite absolument convergente si la série à termes positifs $\sum ∣ u_{n} ∣$ converge.

◆Théorème 6.9Théorème de convergence absolue

Toute série absolument convergente est convergente :

$\sum ∣ u_{n} ∣ converge ⟹ \sum u_{n} converge, et n = 0 \sum + \infty u_{n} \leq n = 0 \sum + \infty ∣ u_{n} ∣.$

La réciproque est fausse, et son échec est spectaculaire. La série harmonique alternée $\sum (- 1)^{n + 1} / n$ converge vers $ln 2$ sans converger absolument, et le théorème de réarrangement de Riemann — cité ici sans démonstration, l'étude de la semi-convergence n'étant pas un objectif du programme — affirme qu'en changeant seulement l'ordre de ses termes, on peut la faire converger vers n'importe quel réel fixé d'avance, ou diverger. Aucune somme finie ne se comporte ainsi. C'est la mesure de ce qu'apporte le mot « absolument » : sans lui, l'addition cesse d'être commutative.

6.4.2 Le Théorème Spécial des Séries Alternées (TSSA)

◆Théorème 6.10Théorème Spécial des Séries Alternées

Soit $(a_{n})_{n \in N}$ une suite de réels positifs ( $a_{n} \geq 0$ ). Si la suite $(a_{n})$ est décroissante et tend vers 0 ( $lim_{n \to + \infty} a_{n} = 0$ ), alors :

La série alternée $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ est convergente.
Les suites des sommes partielles paires $(S_{2 n})$ et impaires $(S_{2 n + 1})$ sont adjacentes, encadrant la somme $S$ :

$\forall n \in N, S_{2 n + 1} \leq S \leq S_{2 n} .$

Pour tout $n \in N$ , le reste $R_{n} = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} (- 1)^{k} a_{k}$ est du signe de son premier terme $(- 1)^{n + 1} a_{n + 1}$ , et vérifie la majoration fondamentale :

$∣ R_{n} ∣ \leq a_{n + 1} .$

Figure : Série harmonique alternée

\sum (- 1)^{n} / (n + 1)

. Les sommes partielles

encadrent la somme en oscillant : $S_{1} \leq S_{3} \leq S_{5} \leq S \leq S_{4} \leq S_{2} \leq S_{0}$ . La bande grisée est l'intervalle $[S_{5}, S_{4}]$ , dont la hauteur vaut exactement $a_{5} = 1/6$ ; comme $S$ s'y trouve, l'écart $∣ R_{4} ∣ = ∣ S - S_{4} ∣$ est nécessairement plus petit que $a_{5}$ . C'est la majoration du reste, lue sur le dessin.</div>

Le troisième point est celui qui fait la valeur pratique du théorème : il fournit une majoration explicite de l'erreur, ce qu'aucun autre critère élémentaire du chapitre ne donne. Pour approcher $ln 2$ à $1 0^{- 3}$ près par la série harmonique alternée, il suffit de résoudre $1/ (n + 1) \leq 1 0^{- 3}$ : c'est le seul calcul à faire. Tout exercice demandant une valeur approchée d'une somme passe par là.

Important

Les trois hypothèses sont indispensables, et c'est la décroissance qu'on oublie — le fait que $a_{n}$ tende vers $0$ ne suffit pas. Prenons

$a_{n} = \frac{1}{n} si n est pair, a_{n} = \frac{1}{n ^{2}} si n est impair .$

La suite $(a_{n})$ est positive et tend vers $0$ , mais elle n'est pas décroissante. La série $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ se scinde alors en $\sum_{n pair} 1/ n$ , qui diverge, et $- \sum_{n impair} 1/ n^{2}$ , qui converge : la somme partielle tend vers $+ \infty$ . Avant d'invoquer le théorème, il faut donc prouver la décroissance, au besoin en étudiant une fonction.

6.5 Produit de Cauchy de Deux Séries

Le produit de deux séries pose une difficulté que la somme n'a pas : le produit des sommes fait apparaître tous les couples $(p, q)$ , et il faut décider dans quel ordre les sommer. Le produit de Cauchy fait un choix — regrouper par $p + q = n$ constant — et la question devient : ce choix change-t-il le résultat ?

Important

La convergence des deux séries ne suffit pas. Le contre-exemple classique est $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1}$ multipliée par elle-même : les deux séries convergent, leur produit de Cauchy diverge. Le programme retient le seul cas où les deux séries sont absolument convergentes, et sa démonstration n'est pas exigible.

Cette exigence n'est pas une précaution d'école : elle dit que le produit de Cauchy manipule un réarrangement d'une somme double, et qu'un réarrangement n'est licite que pour une famille sommable. C'est le même théorème que celui des séries doubles, vu sous un autre angle.

Définition 6.11Produit de Cauchy

Le produit de Cauchy de deux séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ est la série $\sum c_{n}$ dont le terme général est :

$c_{n} = k = 0 \sum n a_{k} b_{n - k} = a_{0} b_{n} + a_{1} b_{n - 1} + \dots + a_{n} b_{0} .$

◆Théorème 6.12Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes

Si les séries $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ sont absolument convergentes, alors leur produit de Cauchy $\sum c_{n}$ est absolument convergent, et :

$n = 0 \sum + \infty c_{n} = (n = 0 \sum + \infty a_{n}) \times (n = 0 \sum + \infty b_{n}) .$

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