Suites et Séries de Fonctions

7.1 Introduction et vue d'ensemble

Pour une suite de nombres, il n'y a qu'une façon de converger. Pour une suite de fonctions, il y en a plusieurs, et c'est tout l'objet de ce chapitre.

La raison tient en un exemple, qu'il faut avoir en tête d'un bout à l'autre : sur $[0,1]$, la suite $f_n(x)=x^n$ est faite de fonctions continues, et elle converge — vers la fonction valant $0$ sur $[0,1[$ et $1$ en $1$, qui n'est pas continue. La continuité s'est perdue en passant à la limite. Ce n'est pas une curiosité : c'est le symptôme d'une convergence trop faible, et toute la suite consiste à en fabriquer une assez forte pour que les propriétés survivent.

D'où le plan. On définit d'abord trois modes de convergence — simple, uniforme, normale — et on les ordonne. On en tire ensuite le prix de chacun : sous quelle convergence peut-on échanger la limite avec une limite, avec une intégrale, avec une dérivée ? Chacun des théorèmes de la troisième section répond à une de ces questions, et chacun réclame exactement ce qu'il lui faut, ni plus ni moins. Savoir lequel invoquer, c'est savoir laquelle des trois convergences on a réussi à établir.

7.2 Modes de Convergence des Suites et Séries de Fonctions

La convergence simple est la plus naturelle : on fige $x$ et on regarde la suite numérique $(f_n(x))$. Elle a un défaut décisif — la vitesse de convergence peut dépendre du point. Sur $[0,1[$, $x^n$ tend vers $0$ en tout point, mais il faut d'autant plus de termes que $x$ est proche de $1$ : aucun rang ne convient pour tous les $x$ à la fois.

La convergence uniforme corrige exactement ce défaut : elle exige un seul rang qui convienne partout. C'est ce que mesure la norme infinie $\Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }$, et c'est pourquoi tout le chapitre revient à majorer cette quantité.

Figure : La convergence uniforme se lit comme un tube : $\Vert f_n-f{\Vert }_{\infty }\le \epsilon$.

7.2.1 Convergence Simple et Convergence Uniforme

C'est ce qui rattache tout ce chapitre à celui des espaces vectoriels normés : la convergence uniforme n'est pas un mode de convergence exotique, c'est la convergence ordinaire d'une suite dans un espace vectoriel normé — simplement, l'espace est un espace de fonctions et la norme est $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$. Tous les résultats du chapitre 5 sur les suites s'y appliquent donc sans rien redémontrer : unicité de la limite, opérations, suites extraites.