Suites et Séries de Fonctions

Cours complet · mathématiques (PC), chapitre 7 · CPGE PC (2e année)

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7.1 Introduction et vue d'ensemble

Pour une suite de nombres, il n'y a qu'une façon de converger. Pour une suite de fonctions, il y en a plusieurs, et c'est tout l'objet de ce chapitre.

La raison tient en un exemple, qu'il faut avoir en tête d'un bout à l'autre : sur $[0, 1]$ , la suite $f_{n} (x) = x^{n}$ est faite de fonctions continues, et elle converge — vers la fonction valant $0$ sur $[0, 1 [$ et $1$ en $1$ , qui n'est pas continue. La continuité s'est perdue en passant à la limite. Ce n'est pas une curiosité : c'est le symptôme d'une convergence trop faible, et toute la suite consiste à en fabriquer une assez forte pour que les propriétés survivent.

D'où le plan. On définit d'abord trois modes de convergence — simple, uniforme, normale — et on les ordonne. On en tire ensuite le prix de chacun : sous quelle convergence peut-on échanger la limite avec une limite, avec une intégrale, avec une dérivée ? Chacun des théorèmes de la troisième section répond à une de ces questions, et chacun réclame exactement ce qu'il lui faut, ni plus ni moins. Savoir lequel invoquer, c'est savoir laquelle des trois convergences on a réussi à établir.

7.2 Modes de Convergence des Suites et Séries de Fonctions

La convergence simple est la plus naturelle : on fige $x$ et on regarde la suite numérique $(f_{n} (x))$ . Elle a un défaut décisif — la vitesse de convergence peut dépendre du point. Sur $[0, 1 [$ , $x^{n}$ tend vers $0$ en tout point, mais il faut d'autant plus de termes que $x$ est proche de $1$ : aucun rang ne convient pour tous les $x$ à la fois.

La convergence uniforme corrige exactement ce défaut : elle exige un seul rang qui convienne partout. C'est ce que mesure la norme infinie $∥ f_{n} - f ∥_{\infty}$ , et c'est pourquoi tout le chapitre revient à majorer cette quantité.

Figure : La convergence uniforme se lit comme un tube :

∥ f_{n} - f ∥_{\infty} \leq ε

7.2.1 Convergence Simple et Convergence Uniforme

Définition 7.1Convergence simple et Norme infinie

Soit $(f_{n})_{n \in N}$ une suite de fonctions définies sur $I \subset R$ à valeurs dans $K$ ( $R$ ou $C$ ).

$(f_{n})$ converge simplement vers $f$ sur $I$ si :

$\forall x \in I, n \to + \infty lim f_{n} (x) = f (x) .$

Pour toute fonction bornée $g : I \to K$ , sa norme infinie est :

$∥ g ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ g (x) ∣.$

$(f_{n})$ converge uniformément vers $f$ sur $I$ si :

$∥ f_{n} - f ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ f_{n} (x) - f (x) ∣ n \to + \infty 0.$

Proposition 7.2La norme de la convergence uniforme

Soit $B (I, K)$ l'espace vectoriel des fonctions bornées de $I$ dans $K$ . L'application

$f ⟼ ∥ f ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ f (x) ∣$

est une norme sur $B (I, K)$ , et la convergence uniforme d'une suite $(f_{n})$ vers $f$ sur $I$ est exactement la convergence de $(f_{n})$ vers $f$ pour cette norme :

$f_{n} unif. f sur I ⟺ ∥ f_{n} - f ∥_{\infty} n \to + \infty 0.$

C'est ce qui rattache tout ce chapitre à celui des espaces vectoriels normés : la convergence uniforme n'est pas un mode de convergence exotique, c'est la convergence ordinaire d'une suite dans un espace vectoriel normé — simplement, l'espace est un espace de fonctions et la norme est $∥ \cdot ∥_{\infty}$ . Tous les résultats du chapitre 5 sur les suites s'y appliquent donc sans rien redémontrer : unicité de la limite, opérations, suites extraites.

ImportantL'hypothèse « bornée » et le sup

$∥ f ∥_{\infty}$ n'a de sens que pour une fonction bornée. En pratique, on n'a pas besoin que $f_{n}$ et $f$ le soient séparément : il suffit que la différence $f_{n} - f$ le soit à partir d'un certain rang, ce qui est automatique dès que la convergence uniforme a lieu. Et l'on écrit $sup$ et non $max$ : la borne supérieure n'est pas toujours atteinte, et il n'est jamais nécessaire qu'elle le soit — seule compte sa limite.

7.2.2 Convergence Normale et Uniforme d'une Série de Fonctions

Définition 7.3Convergences d'une série de fonctions

Soit $\sum u_{n}$ une série de fonctions définies sur $I$ .

$\sum u_{n}$ converge simplement sur $I$ si pour tout $x \in I$ , la série numérique $\sum u_{n} (x)$ converge. On note $S (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n} (x)$ sa somme et $R_{n} (x) = \sum_{k = n + 1}^{+ \infty} u_{k} (x)$ son reste.
$\sum u_{n}$ converge uniformément sur $I$ si la suite des sommes partielles $S_{n} = \sum_{k = 0}^{n} u_{k}$ converge uniformément sur $I$ , soit :

$∥ R_{n} ∥_{\infty} = x \in I sup ∣ R_{n} (x) ∣ n \to + \infty 0.$

$\sum u_{n}$ converge normalement sur $I$ si chaque $u_{n}$ est bornée et la série numérique $\sum ∥ u_{n} ∥_{\infty}$ converge :

$n = 0 \sum + \infty ∥ u_{n} ∥_{\infty} = n = 0 \sum + \infty x \in I sup ∣ u_{n} (x) ∣ < + \infty.$

◆Théorème 7.4Hiérarchie fondamentale des convergences

Pour une série de fonctions $\sum u_{n}$ sur $I$ :

$Convergence Normale ⟹ Convergence Uniforme ⟹ Convergence Simple .$

La convergence normale entraîne de plus la convergence absolue en tout point de $I$ — mais la convergence uniforme, elle, ne l'entraîne pas : la série $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ de fonctions constantes converge uniformément sans converger absolument en aucun point.

Important

Ces implications sont strictes : aucune ne se retourne, et les contre-exemples sont à connaître.

Simple sans uniforme : $f_{n} (x) = x^{n}$ sur $[0, 1]$ — la limite n'est même pas continue.
Uniforme sans normale : $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ vue comme série de fonctions constantes converge uniformément, alors que $\sum \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}_{\infty} = \sum \frac{1}{n}$ diverge.

Méthode : Établir une convergence, en pratique

Trouver la limite par convergence simple : on fige $x$ et on calcule $lim_{n} f_{n} (x)$ . Sans cette étape, on n'a pas de candidat à comparer.
Tenter la convergence normale d'abord — c'est la plus facile à établir : il suffit de majorer $∥ u_{n} ∥_{\infty}$ par le terme général $a_{n}$ d'une série numérique convergente, indépendant de $x$ . Si elle passe, les deux autres suivent gratuitement.
Sinon, étudier $∥ f_{n} - f ∥_{\infty}$ directement : on cherche la borne supérieure de $∣ f_{n} - f ∣$ , souvent un maximum que l'on trouve en annulant la dérivée. La convergence est uniforme si et seulement si cette borne supérieure tend vers $0$ .
Pour prouver qu'elle n'est PAS uniforme, il suffit d'exhiber une suite de points $(x_{n})$ telle que $f_{n} (x_{n}) - f (x_{n})$ ne tende pas vers $0$ : sur $x^{n}$ , le choix $x_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ donne $f_{n} (x_{n}) \to e^{- 1} \neq = 0$ .

Important

La convergence uniforme est souvent fausse sur l'intervalle entier et vraie sur tout segment qu'il contient — c'est le cas des séries entières d'une variable réelle, sur leur intervalle ouvert de convergence. Or la plupart des théorèmes qui suivent se contentent de cette version locale : ne pas la chercher, c'est renoncer à un théorème qu'on avait le droit d'appliquer.

7.3 Théorèmes d'Interversion et Régularité

Tous les théorèmes de cette section répondent à une seule et même question, posée quatre fois : a-t-on le droit d'échanger deux passages à la limite ? Échanger $lim_{n}$ avec $lim_{x \to x_{0}}$ , avec $\int$ , avec $\frac{d}{d x}$ . La réponse est toujours non en général, et oui sous une hypothèse de convergence uniforme — mais pas toujours la même, et c'est là qu'il faut être attentif.

7.3.1 Continuité et Théorème de la Double Limite

◆Théorème 7.5Continuité de la limite et de la somme

Soit $I$ un intervalle de $R$ .

Si $(f_{n})_{n \in N}$ est une suite de fonctions continues sur $I$ convergeant uniformément vers $f$ sur tout segment de $I$ , alors $f$ est continue sur $I$ .
Si $\sum u_{n}$ est une série de fonctions continues sur $I$ convergeant normalement (ou uniformément) sur tout segment de $I$ , alors sa somme $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ est continue sur $I$ .

◆Théorème 7.6Théorème de la double limite

Soit $I$ un intervalle de $R$ , $a$ une borne de $I$ , éventuellement infinie, et $\sum u_{n}$ une série de fonctions définies sur $I$ , convergeant uniformément sur $I$ . Si pour tout $n \in N$ , $u_{n}$ admet une limite $ℓ_{n} \in K$ en $a$ , alors :

La série numérique $\sum ℓ_{n}$ converge.
La somme $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ admet une limite en $a$ , et :

$x \to a lim n = 0 \sum + \infty u_{n} (x) = n = 0 \sum + \infty ℓ_{n} = n = 0 \sum + \infty x \to a lim u_{n} (x) .$

Ce théorème est admis : sa démonstration est hors programme.

7.3.2 Dérivabilité de la limite d'une suite de fonctions

Des trois transferts, celui de la dérivabilité est le seul dont l'hypothèse d'uniformité ne porte pas sur la suite qu'on étudie : elle porte sur la suite des dérivées. C'est la source d'erreur principale du chapitre.

◆Théorème 7.7Dérivabilité de la limite d'une suite

Soit $(f_{n})$ une suite de fonctions de classe $C^{1}$ sur un intervalle $I$ . On suppose que

$(f_{n})$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ ;
$(f_{n}^{'})$ converge uniformément sur $I$ vers une fonction $g$ .

Alors $f$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ et $f^{'} = g$ , c'est-à-dire

$(n \to + \infty lim f_{n})^{'} = n \to + \infty lim f_{n}^{'} .$

En pratique, il suffit de vérifier la convergence uniforme de $(f_{n}^{'})$ sur tout segment de $I$ .

ImportantLe déséquilibre des hypothèses n'est pas une coquille

La suite $(f_{n})$ n'a besoin de converger que simplement — une seule valeur en un point suffirait même —, tandis que la suite des dérivées doit converger uniformément. L'explication tient à la formule $f_{n} (x) = f_{n} (a) + \int_{a}^{x} f_{n}^{'} (t) d t$ : c'est l'intégrale qui transporte la convergence, et l'intégration exige l'uniformité. Supposer l'uniformité de $(f_{n})$ au lieu de celle de $(f_{n}^{'})$ ne suffit pas : la suite $f_{n} (x) = \frac{s i n ( n x )}{n}$ converge uniformément vers $0$ sur $R$ , mais $f_{n}^{'} (x) = n cos (n x)$ ne converge nulle part. La convergence uniforme d'une suite ne dit rien de ses dérivées.

◆Théorème 7.8Extension à la classe

C^{k}

Si les $f_{n}$ sont de classe $C^{k}$ sur $I$ , si $(f_{n}^{(j)})$ converge simplement sur $I$ pour tout $j$ tel que $0 \leq j < k$ , et si $(f_{n}^{(k)})$ converge uniformément sur $I$ , alors la limite $f$ est de classe $C^{k}$ et $f^{(j)} = lim_{n} f_{n}^{(j)}$ pour tout $j \leq k$ .

7.3.3 Intégration et Dérivation Terme à Terme

◆Théorème 7.9Intégration sur un segment

Si une suite $(f_{n})$ de fonctions continues sur un segment $[a, b]$ converge uniformément vers $f$ sur $[a, b]$ , alors :

$n \to + \infty lim \int_{a}^{b} f_{n} (t) d t = \int_{a}^{b} f (t) d t .$

De même, si une série $\sum u_{n}$ de fonctions continues sur $[a, b]$ converge uniformément sur $[a, b]$ , alors la série des intégrales $\sum \int_{a}^{b} u_{n} (t) d t$ converge, et :

$\int_{a}^{b} n = 0 \sum + \infty u_{n} (t) d t = n = 0 \sum + \infty \int_{a}^{b} u_{n} (t) d t .$

◆Théorème 7.10Dérivation terme à terme

C^{1}

C^{k}

Soit $I$ un intervalle de $R$ et $\sum u_{n}$ une série de fonctions de classe $C^{1}$ sur $I$ . Supposons que :

La série $\sum u_{n}$ converge simplement sur $I$ .
La série des dérivées $\sum u_{n}^{'}$ converge uniformément sur $I$ .

Alors la somme $S = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ , et :

$S^{'} = n = 0 \sum + \infty u_{n}^{'} .$

En pratique, on vérifie la convergence uniforme de $\sum u_{n}^{'}$ sur tout segment de $I$ , le plus souvent par convergence normale. Extension à la classe $C^{k}$ : si les $u_{n}$ sont de classe $C^{k}$ sur $I$ , si $\sum u_{n}^{(j)}$ converge simplement sur $I$ pour tout $j$ tel que $0 \leq j < k$ , et si $\sum u_{n}^{(k)}$ converge uniformément sur $I$ , alors $S$ est de classe $C^{k}$ sur $I$ et $S^{(j)} = \sum_{n = 0}^{+ \infty} u_{n}^{(j)}$ pour tout $j \leq k$ .

Important

Le théorème de dérivation ne se lit pas comme les précédents, et c'est la faute la plus coûteuse du chapitre. Ce n'est pas $(f_{n})$ qui doit converger uniformément, c'est $(f_{n}^{'})$ — et de $(f_{n})$ on ne demande que la convergence simple. La raison est géométrique : deux fonctions peuvent être très proches et avoir des pentes très différentes. La suite $f_{n} (x) = \frac{s i n ( n x )}{n}$ converge uniformément vers $0$ , alors que $f_{n}^{'} (x) = cos (n x)$ ne tend vers $0$ en aucun point : la suite $(cos (n x))$ ne converge que pour $x \in 2 π Z$ , et vers $1$ .

Méthode : Choisir le bon théorème

On part de ce que l'on veut échanger, et l'on vérifie ce que le théorème réclame :

continuité de la limite : convergence uniforme sur tout segment ;
limite en un point du bord : convergence uniforme sur l'intervalle ;
intégrale sur un segment : convergence uniforme sur ce segment — inutile de l'établir ailleurs ;
dérivée : convergence uniforme de la suite des dérivées, plus la convergence simple de la suite elle-même.

Sur un intervalle quelconque, en revanche, la convergence uniforme ne suffit plus à intervertir avec l'intégrale : c'est le théorème de convergence dominée qui prend le relais, au chapitre de l'intégration.

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