Exercices corrigés — Suites et Séries de Fonctions (mathématiques (PC))

22 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Suites de fonctions : convergence simple, convergence uniforme

• Suivre un point qui bouge : le critère séquentiel Exercice de TD

B. Séries de fonctions : convergence normale, uniforme, simple

• Normale, ou seulement uniforme ? Exercice de TD

C. Théorème de la double limite et comportement aux bornes

• La fonction $\zeta$, de bout en bout Exercice de TD
• Quand la double limite échoue, la somme devient une intégrale Exercice de TD

D. Dérivation et intégration terme à terme

• Pourquoi le théorème de dérivation porte sur les dérivées Exercice de TD
• Intégrer terme à terme sur un segment : la constante de Catalan Exercice de TD
• Le principe de superposition : oscillateur forcé par une excitation périodique Exercice de TD
• Problème : le développement eulérien de la cotangente, et le problème de Bâle Exercice de TD

E. Là où les théorèmes s'arrêtent : hypothèses suffisantes, jamais nécessaires

• La bosse glissante, et le seuil exact Exercice de TD
• La masse se concentre : une approximation de Dirac Exercice de TD

• Uniforme sans être normale : une série alternée Exercice classique
• La bosse glissante de hauteur constante 1/e Exercice classique
• La fonction zêta de Riemann est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ Exercice classique

Niveau ★ — application directe du cours

• Le contre-exemple fondateur Application directe du cours
• Convergence normale Application directe du cours

Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

• Dérivation terme à terme Application directe du cours

Autres exercices résolus, par thème du cours

• Convergence uniforme de $x/(1+nx)$ sur $[0,+\infty [$ Application directe du cours
• Convergence uniforme de $x^n(1-x)$ sur $[0,1]$ Application directe du cours
• Produit de deux suites uniformément convergentes Application directe du cours
• Continuité de la somme de $\sum e^{-nx}\sin (nx)$ Application directe du cours
• Comportement de $\sum e^{-nx}$ au voisinage de $0$ Application directe du cours

Z. Problèmes de concours corrigés

• Étude complète de la fonction Zêta de Riemann Application directe du cours

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