Séries Entières

Cours complet · mathématiques (PC), chapitre 8 · CPGE PC (2e année)

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8.1 Introduction et vue d'ensemble

Les séries entières $\sum a_{n} z^{n}$ établissent un pont naturel entre les polynômes et l'analyse complexe et réelle. Elles permettent de représenter des fonctions non polynomiales sous la forme d'un développement en puissances entières, jouissant, pour la variable réelle, d'une régularité $C^{\infty}$ remarquable sur leur intervalle ouvert de convergence.

En PC, ce formalisme fournit un procédé de résolution que le programme demande explicitement de savoir mettre en œuvre : développer une fonction en série entière à l'aide d'une équation différentielle linéaire (équation d'Airy en optique ondulatoire et caustiques, polynômes d'Hermite pour l'oscillateur harmonique quantique).

8.2 Rayon de Convergence et Lemme d'Abel

8.2.1 Le Lemme Fondamental d'Abel

Tout le chapitre repose sur le lemme qui suit, et il faut mesurer combien son hypothèse est faible. On ne suppose pas que la série converge en $z_{0}$ : on suppose seulement que la suite $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée — ce qui est bien moins exigeant. De cette information ponctuelle, en un seul complexe, on déduit la convergence absolue en tous les points strictement plus proches de l'origine. Une série entière ne peut donc pas converger ici et diverger là de manière désordonnée : au cercle-frontière près, son domaine de convergence est un disque, et un seul nombre le décrit.

◆Théorème 8.1Lemme d'Abel

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière ( $a_{n} \in C, z \in C$ ). S'il existe un complexe non nul $z_{0} \neq = 0$ tel que la suite $(a_{n} z_{0}^{n})_{n \in N}$ soit bornée, alors pour tout complexe $z \in C$ vérifiant $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ :

La série numérique $\sum a_{n} z^{n}$ est absolument convergente.
Pour une variable réelle $x$ , la série de fonctions $\sum a_{n} x^{n}$ converge normalement sur tout segment $[- r, r]$ pour $0 \leq r < ∣ z_{0} ∣$ .

Démonstration

Puisque $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée, il existe $M \geq 0$ tel que $\forall n \in N, ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \leq M$ . Pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ :

$∣ a_{n} z^{n} ∣ = ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \frac{z}{z _{0}}^{n} \leq M q^{n}, avec q = \frac{z}{z _{0}} < 1.$

Comme $0 \leq q < 1$ , la série géométrique $\sum M q^{n}$ converge. Par comparaison, $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ converge absolument.

La démonstration tient en une ligne d'idée : on écrit $a_{n} z^{n} = (a_{n} z_{0}^{n}) \times (z / z_{0})^{n}$ , on borne le premier facteur par hypothèse, et il reste une série géométrique de raison $∣ z / z_{0} ∣ < 1$ . C'est la comparaison géométrique qui fait tout le travail, et c'est elle qui explique la convergence normale du second point : sur un segment $[- r, r]$ avec $r < ∣ z_{0} ∣$ , la raison $r /∣ z_{0} ∣$ est fixée une fois pour toutes, indépendamment du point considéré.

Figure : Le disque de convergence dans

C

. Il suffit que la suite

$(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée en un seul point $z_{0}$ pour que la série converge absolument partout à l'intérieur du disque de rayon $∣ z_{0} ∣$ ; le rayon $R$ est la borne supérieure des $∣ z_{0} ∣$ possibles. Sur le cercle lui-même, tracé en pointillés, le lemme ne dit rien.</div>

8.2.2 Rayon de Convergence et Règle de d'Alembert

Définition 8.2Rayon de convergence

Le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} z^{n}$ est l'élément $R \in [0, + \infty]$ défini par :

$R = sup {r \geq 0 ∣ (a_{n} r^{n})_{n \in N} est born e ˊ e} = sup {∣ z ∣ ∣ \sum a_{n} z^{n} converge} .$

Le rayon découpe le plan complexe en trois régions, et le contraste entre elles est le point le plus important de la section.

Si $∣ z ∣ < R$ : la série converge absolument — et, pour la variable réelle, normalement sur tout segment inclus dans $] - R, R [$ (section suivante).
Si $∣ z ∣ > R$ : la série diverge grossièrement — la suite $(a_{n} z^{n})$ n'est même pas bornée.
Si $∣ z ∣ = R$ : on ne peut rien dire en général, et tous les cas se présentent effectivement.

Important

Le cercle $∣ z ∣ = R$ échappe à toute règle générale, et trois séries de rayon $1$ le montrent. Pour $\sum z^{n}$ , le terme général est de module $1$ sur tout le cercle : la série y diverge en chaque point. Pour $\sum z^{n} / n^{2}$ , la comparaison à $\sum 1/ n^{2}$ donne la convergence absolue en chaque point du cercle. Pour $\sum z^{n} / n$ , enfin, la série diverge en $z = 1$ — c'est la série harmonique — et converge en tout autre point du cercle, $z = - 1$ compris (résultat cité ici sans démonstration : hors de $z = - 1$ , où suffit le critère spécial des séries alternées, la preuve demande la transformation d'Abel, hors programme). Trois séries de même rayon, trois comportements différents au bord : le rayon ne dit rien de ce qui s'y passe.

◆Théorème 8.3Règle de d'Alembert pour le Rayon

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ telle que $a_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang. Si $lim_{n \to + \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = ℓ \in [0, + \infty]$ , alors :

$R = \frac{1}{ℓ} (avec la convention \frac{1}{0} = + \infty et \frac{1}{+ \infty} = 0) .$

Important

Deux précautions sur cette règle, dont la seconde est un piège classique. D'abord, dans cet énoncé le quotient porte sur les coefficients $a_{n}$ : on ne fait pas apparaître $z$ , et l'on conclut directement $R = 1/ ℓ$ . L'autre voie, qui est celle même du programme, applique la règle de d'Alembert des séries numériques à $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ , $z \neq = 0$ fixé : le quotient des termes, $z$ compris, tend alors vers $ℓ ∣ z ∣$ . Ensuite, la règle exige que $a_{n}$ soit non nul à partir d'un certain rang, et elle est donc inapplicable aux séries lacunaires, celles dont une infinité de coefficients s'annulent — $\sum z^{2 n}$ , $\sum z^{n^{2}}$ , $\sum x^{3 p}$ comme dans l'exercice d'Airy. Le réflexe est alors d'appliquer la règle de d'Alembert des séries numériques à $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ , $z \neq = 0$ fixé, en ne gardant que les termes non nuls : pour $\sum z^{n^{2}}$ , le quotient de deux termes consécutifs vaut $∣ z ∣^{2 n + 1}$ , qui tend vers $0$ si $∣ z ∣ < 1$ et vers $+ \infty$ si $∣ z ∣ > 1$ , d'où $R = 1$ . Quand les exposants sont régulièrement espacés, on peut aussi poser $u = z^{k}$ ( $k = 2$ ou $3$ selon le pas des exposants), traiter la série en $u$ , puis revenir : si la série en $u$ a pour rayon $ρ$ , celle en $z$ a pour rayon $ρ^{1/ k}$ — la racine carrée pour $u = z^{2}$ , la racine cubique pour $u = z^{3}$ .

Deux règles de comparaison complètent l'arsenal et évitent bien des calculs. Si $a_{n} = O (b_{n})$ , alors $R_{a} \geq R_{b}$ ; si $a_{n} \sim b_{n}$ , les deux rayons sont égaux. Un équivalent simple du coefficient suffit donc souvent à conclure, sans passer par d'Alembert.

Proposition 8.4Le rayon ne voit pas les facteurs polynomiaux

Pour tout $α \in R$ , la série $\sum n^{α} x^{n}$ a pour rayon de convergence $R = 1$ . Plus généralement, multiplier les coefficients par $n^{α}$ ne change pas le rayon :

$R (\sum n^{α} a_{n} z^{n}) = R (\sum a_{n} z^{n}) .$

La première affirmation se lit sur la définition : si $r < 1$ , alors $n^{α} r^{n} \to 0$ par croissances comparées, donc la suite est bornée ; si $r > 1$ , elle ne l'est pas. La seconde est le résultat qui garantira, à la section suivante, que la série dérivée et la série primitivée ont exactement le même rayon que la série de départ — dériver multiplie les coefficients par $n$ , primitiver les divise par $n + 1$ , et le rayon n'en voit rien.

Méthode : Calculer un rayon de convergence

Coefficients tous non nuls, avec factorielles ou puissances : règle de d'Alembert sur $∣ a_{n + 1} / a_{n} ∣$ .
Coefficients à trous : règle de d'Alembert des séries numériques appliquée à $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ , $z \neq = 0$ fixé, sur ses seuls termes non nuls ; si les exposants sont régulièrement espacés, on peut aussi substituer $u = z^{k}$ , calculer le rayon en $u$ , puis prendre la racine $k$ -ième.
Coefficient compliqué : en chercher un équivalent, les rayons sont alors égaux.
En dernier recours, revenir à la définition : trouver un $r$ pour lequel $(a_{n} r^{n})$ est bornée donne $R \geq r$ ; trouver un $r$ pour lequel elle ne l'est pas donne $R \leq r$ .

8.2.3 Opérations sur les Séries Entières

Les deux séries entières se combinent comme des polynômes, à ceci près qu'il faut surveiller le rayon. Le théorème suivant est ce qui autorise, dans les exercices, à sommer et à multiplier deux développements connus pour en obtenir un troisième.

◆Théorème 8.5Somme et produit de Cauchy

Soient $\sum a_{n} z^{n}$ et $\sum b_{n} z^{n}$ de rayons respectifs $R_{a}$ et $R_{b}$ .

La série somme $\sum (a_{n} + b_{n}) z^{n}$ a un rayon $R \geq min (R_{a}, R_{b})$ , avec égalité dès que $R_{a} \neq = R_{b}$ .
Le produit de Cauchy $\sum c_{n} z^{n}$ , où $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ , a un rayon $R \geq min (R_{a}, R_{b})$ , et sur le disque ouvert commun :

$(n = 0 \sum + \infty a_{n} z^{n}) (n = 0 \sum + \infty b_{n} z^{n}) = n = 0 \sum + \infty c_{n} z^{n} .$

L'inégalité peut être stricte quand $R_{a} = R_{b}$ , par simple compensation : $\sum z^{n}$ et $\sum (- z^{n})$ ont toutes deux pour rayon $1$ , et leur somme est la série nulle, de rayon infini. Noter aussi que le produit de Cauchy est ici toujours licite à l'intérieur du disque, sans hypothèse supplémentaire — parce que la convergence y est absolue, ce qui est précisément l'hypothèse réclamée au chapitre des séries numériques.

8.3 Propriétés de la Somme d'une Série Entière Réelle

Une série entière fait bien mieux que converger : sur son intervalle ouvert de convergence, sa somme est de classe $C^{\infty}$ , et on la dérive ou l'intègre terme à terme sans précaution — le rayon de convergence ne bouge pas. C'est une propriété très forte, que les séries de fonctions quelconques n'ont pas, et elle repose sur le théorème suivant.

◆Théorème 8.6Convergence normale et continuité

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière réelle de rayon $R > 0$ .

La série converge normalement sur tout segment $[- r, r]$ inclus dans l'intervalle ouvert de convergence $] - R, R [$ .
Par conséquent, sa somme est continue sur $] - R, R [$ .

Le point 1 mérite d'être lu attentivement : la convergence normale a lieu sur tout segment strictement inclus dans $] - R, R [$ , et non sur $] - R, R [$ tout entier. La différence n'est pas rhétorique — pour la série géométrique $\sum x^{n}$ , de rayon $1$ , on a $sup_{∣ x ∣ < 1} ∣ x^{n} ∣ = 1$ pour tout $n$ , donc aucune convergence normale sur l'intervalle ouvert ; alors que sur $[- r, r]$ avec $r < 1$ , le majorant $r^{n}$ est le terme général d'une série convergente. C'est pourtant assez : la continuité étant une propriété locale, tout point de $] - R, R [$ est intérieur à un tel segment.

ImportantLe bord n'est pas un objectif du programme

Tout ce qui précède se joue sur l'ouvert. Au bord de l'intervalle de convergence, la série peut converger ou diverger selon le point, et le programme précise que l'étude des propriétés de la somme y « n'est pas un objectif ». On ne conclut donc rien en $x = R$ ou $x = - R$ à partir des théorèmes de cette section, et l'on ne l'exige pas.

◆Théorème 8.7Régularité

C^{\infty}

et Dérivation Terme à Terme

Soit $\sum a_{n} x^{n}$ une série entière réelle de rayon $R > 0$ . La fonction somme $S :] - R, R [\to R, x \mapsto \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $] - R, R [$ .

Pour tout $x \in] - R, R [$ , $S^{'} (x) = \sum_{n = 1}^{+ \infty} n a_{n} x^{n - 1}$ (même rayon $R$ ).
Pour tout $k \in N$ , $S^{(k)} (x) = \sum_{n = k}^{+ \infty} \frac{n !}{( n - k )!} a_{n} x^{n - k}$ (même rayon $R$ ).
Les coefficients vérifient la formule de Taylor : $a_{n} = \frac{S ^{(n)} ( 0 )}{n !}$ .
La primitive s'annulant en 0 est $\int_{0}^{x} S (t) d t = \sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{a _{n}}{n + 1} x^{n + 1}$ (même rayon $R$ ).

8.4 Formulaire des Développements en Série Entière Usuels

Ce formulaire est à connaître — le programme le demande explicitement —, mais il se reconstruit plus qu'il ne s'apprend : trois développements suffisent, et le reste s'en déduit. De $\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}$ sur $] - 1, 1 [$ viennent, par dérivation, intégration ou substitution, tous les développements rationnels, $ln (1 + x)$ et $arctan x$ . De $e^{x} = \sum \frac{x ^{n}}{n !}$ sur $R$ viennent $ch$ et $sh$ par séparation des parties paire et impaire, et $cos$ et $sin$ de même à partir de $exp (i x)$ (dernière section). Le développement de $(1 + x)^{α}$ , enfin, est le seul qui demande un calcul propre, et il redonne les précédents pour $α$ entier.

Important

Le rayon ne se lit pas sur l'ensemble de définition réel de la fonction : $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ , qui n'a aucun problème sur $R$ , a pour développement $\sum (- 1)^{n} x^{2 n}$ , de rayon égal à $1$ — pour $∣ x ∣ \geq 1$ , le terme général ne tend pas vers $0$ . L'explication par les pôles $\pm i$ de $\frac{1}{1 + z ^{2}}$ , à distance $1$ de l'origine, relève de l'analyse complexe, hors programme : elle éclaire le phénomène, elle ne se cite pas comme justification.

Fonction	Développement en Série Entière (DSE)	Rayon $R$
$e^{x}$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{n}}{n !} = 1 + x + \frac{x ^{2}}{2 !} + \dots$	$+ \infty$
$cos x$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} = 1 - \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} - \dots$	$+ \infty$
$sin x$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = x - \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} - \dots$	$+ \infty$
$ch x$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{2 n}}{( 2 n )!} = 1 + \frac{x ^{2}}{2 !} + \frac{x ^{4}}{4 !} + \dots$	$+ \infty$
$sh x$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} \frac{x ^{2 n + 1}}{( 2 n + 1 )!} = x + \frac{x ^{3}}{3 !} + \frac{x ^{5}}{5 !} + \dots$	$+ \infty$
$\frac{1}{1 - x}$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} x^{n} = 1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots$	$1$
$\frac{1}{1 + x}$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} x^{n} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + \dots$	$1$
$ln (1 + x)$	$\sum_{n = 1}^{+ \infty} (- 1)^{n - 1} \frac{x ^{n}}{n} = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} - \dots$	$1$
$arctan x$	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} (- 1)^{n} \frac{x ^{2 n + 1}}{2 n + 1} = x - \frac{x ^{3}}{3} + \frac{x ^{5}}{5} - \dots$	$1$
$(1 + x)^{α}$	$1 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !} x^{n}$	$1$ (si $α \in / N$ )

8.4.1 Fonctions Développables en Série Entière

Le formulaire se lit dans un sens : une série entière étant donnée, on reconnaît sa somme. La question inverse est plus délicate — une fonction étant donnée, est-elle la somme d'une série entière ?

Définition 8.8Fonction développable en série entière

Une fonction $f$ définie au voisinage de $0$ est dite développable en série entière en $0$ s'il existe $r > 0$ et une série entière $\sum a_{n} x^{n}$ de rayon $\geq r$ tels que $f (x) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} a_{n} x^{n}$ pour tout $x \in] - r, r [$ . Les coefficients sont alors nécessairement ceux de Taylor : $a_{n} = f^{(n)} (0) / n!$ , et le développement est unique.

Être développable en série entière entraîne donc d'être de classe $C^{\infty}$ . La question naturelle est celle de la réciproque, et la réponse est non.

Important

Une fonction de classe $C^{\infty}$ n'est pas nécessairement développable en série entière. Le contre-exemple à connaître est

$f (x) = e^{- 1/ x^{2}} pour x \neq = 0, f (0) = 0.$

Cette fonction est $C^{\infty}$ sur $R$ et toutes ses dérivées s'annulent en $0$ , parce que $e^{- 1/ x^{2}} = o (x^{n})$ pour tout $n$ — l'exponentielle écrase toute puissance. Sa série de Taylor en $0$ est donc la série nulle, de rayon infini, dont la somme vaut $0$ partout. Or $f (x) > 0$ pour $x \neq = 0$ : la série de Taylor converge, mais pas vers $f$ . Prouver qu'une fonction est développable demande donc toujours autre chose que le calcul de ses dérivées — le plus souvent, un contrôle du reste de Taylor.

◆Théorème 8.9Formule de Taylor avec reste intégral

Soit $f$ de classe $C^{n + 1}$ sur un intervalle contenant $0$ et $x$ . Alors

$f (x) = k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( 0 )}{k !} x^{k} + \int_{0}^{x} \frac{( x - t ) ^{n}}{n !} f^{(n + 1)} (t) d t .$

C'est l'outil qui répond à la question laissée ouverte par le contre-exemple : $f$ est développable en série entière sur $] - r, r [$ si et seulement si le reste intégral tend vers $0$ pour chaque $x$ de l'intervalle. La différence avec la formule de Taylor-Young est décisive — Taylor-Young donne un $o$ , c'est-à-dire une information asymptotique quand $x \to 0$ à $n$ fixé, tandis qu'ici le reste est une quantité explicite, que l'on peut majorer à $x$ fixé quand $n \to + \infty$ . C'est ce sens de variation, et lui seul, qui permet de conclure.

Pour $f = exp$ sur un segment $[- A, A]$ , par exemple, on a $∣ f^{(n + 1)} ∣ \leq e^{A}$ , d'où un reste majoré par $e^{A} \frac{∣ x ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!}$ , qui tend vers $0$ : c'est la démonstration du premier développement du formulaire.

Figure : Le développement de

1/ (1 + x^{2})

a un rayon égal à

1

alors que la

fonction ne pose aucun problème sur $R$ . Éclairage hors programme (analyse complexe) : ses deux pôles sont hors de l'axe réel, en $\pm i$ , à distance $1$ de l'origine — ce qui explique le phénomène, sans pouvoir servir de justification.</div>

Méthode : Développer en série entière à l'aide d'une équation différentielle linéaire

C'est ainsi que s'établit le développement de $(1 + x)^{α}$ ( $α \in R ∖ N$ ), le seul du formulaire qui demande un calcul propre.

Trouver une équation différentielle linéaire vérifiée par $f$ , avec ses conditions initiales en $0$ : $f (x) = (1 + x)^{α}$ vérifie $(1 + x) f^{'} (x) = α f (x)$ sur $] - 1, 1 [$ , et $f (0) = 1$ .
Chercher une série entière $\sum a_{n} x^{n}$ , de rayon $R > 0$ , solution du même problème : on dérive terme à terme sur $] - R, R [$ et l'on identifie les coefficients (unicité du développement). Ici, $(n + 1) a_{n + 1} = (α - n) a_{n}$ et $a_{0} = 1$ , d'où $a_{n} = \frac{α ( α - 1 ) \dots ( α - n + 1 )}{n !}$ .
Calculer le rayon de la série obtenue, par la règle de d'Alembert : $\frac{∣ a _{n + 1} ∣}{∣ a _{n} ∣} = \frac{∣ α - n ∣}{n + 1} \to 1$ , donc $R = 1$ .
Conclure par l'unicité : $f$ et la somme de la série sont solutions, sur $] - 1, 1 [$ , du même problème de Cauchy, donc égales. Pour une équation du premier ordre comme ici, l'unicité de la solution d'un problème de Cauchy est connue depuis la première année ; pour une équation d'ordre supérieur, le programme demande de l'admettre explicitement.

8.5 Séries géométrique et exponentielle d'une variable complexe

Tout ce qui précède, à partir de la régularité, était réservé à la variable réelle : le programme ne dérive et ne primitive terme à terme que sur un intervalle de $R$ . De la variable complexe, le programme ne retient que la continuité et deux développements — mais ce sont les deux dont on se sert.

◆Théorème 8.10Continuité sur le disque ouvert

La somme d'une série entière de la variable complexe est continue sur son disque ouvert de convergence. Sa démonstration est hors programme.

Proposition 8.11Série géométrique complexe

Pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ < 1$ :

$\frac{1}{1 - z} = n = 0 \sum + \infty z^{n},$

et le rayon de convergence vaut exactement $1$ : la fonction $z \mapsto \frac{1}{1 - z}$ est développable en série entière sur le disque unité ouvert.

Le rayon ne peut pas dépasser $1$ : pour $∣ z ∣ \geq 1$ , le terme général $z^{n}$ , de module $∣ z ∣^{n} \geq 1$ , ne tend pas vers $0$ . Le principe qu'illustre la figure précédente sur $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ — le rayon est la distance de l'origine à la singularité la plus proche, mesurée dans $C$ — relève de l'analyse complexe, hors programme : il éclaire le phénomène, il ne se cite pas comme justification.

Proposition 8.12Exponentielle complexe

Pour tout $z \in C$ :

$exp (z) = n = 0 \sum + \infty \frac{z ^{n}}{n !},$

série de rayon de convergence $R = + \infty$ .

Ce développement est celui de l'exponentielle complexe définie en première année, $exp (z) = e^{Re z} e^{i Im z}$ : l'inégalité de Taylor-Lagrange, appliquée à $t \mapsto exp (t z)$ sur $[0, 1]$ , majore le reste d'ordre $n$ par $∣ z ∣^{n + 1} e^{∣ z ∣} / (n + 1)!$ , qui tend vers $0$ . Sa propriété fondamentale, connue elle aussi, se retrouve par le produit de Cauchy énoncé au début du chapitre : pour $z$ et $z^{'}$ quelconques, les deux séries sont absolument convergentes, leur produit de Cauchy a pour terme général

$c_{n} = k = 0 \sum n \frac{z ^{k}}{k !} \frac{z ^{' n - k}}{( n - k )!} = \frac{1}{n !} k = 0 \sum n (k n) z^{k} z^{' n - k} = \frac{( z + z ^{'} ) ^{n}}{n !}$

par la formule du binôme, d'où $exp (z) exp (z^{'}) = exp (z + z^{'})$ . Pour $θ$ réel, enfin, $exp (i θ) = cos θ + i sin θ$ : en séparant les termes d'indices pairs et impairs de $\sum (i θ)^{n} / n!$ , on retrouve les développements de $cos$ et de $sin$ , qui ne sont donc pas deux formules indépendantes de celle de l'exponentielle, mais ses parties réelle et imaginaire.

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