Séries Entières

Cours · mathématiques (PC), chapitre 8 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Le disque de convergence d'une série entière, de rayon R : convergence à l'intérieur, divergence à l'extérieur.

8.1 Introduction et vue d'ensemble

Les séries entières $\sum a_{n} z^{n}$ établissent un pont naturel entre les polynômes et l'analyse complexe et réelle. Elles permettent de représenter des fonctions non polynomiales sous la forme d'un développement en puissances entières, jouissant, pour la variable réelle, d'une régularité $C^{\infty}$ remarquable sur leur intervalle ouvert de convergence.

En PC, ce formalisme fournit un procédé de résolution que le programme demande explicitement de savoir mettre en œuvre : développer une fonction en série entière à l'aide d'une équation différentielle linéaire (équation d'Airy en optique ondulatoire et caustiques, polynômes d'Hermite pour l'oscillateur harmonique quantique).

8.2 Rayon de Convergence et Lemme d'Abel

8.2.1 Le Lemme Fondamental d'Abel

Tout le chapitre repose sur le lemme qui suit, et il faut mesurer combien son hypothèse est faible. On ne suppose pas que la série converge en $z_{0}$ : on suppose seulement que la suite $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée — ce qui est bien moins exigeant. De cette information ponctuelle, en un seul complexe, on déduit la convergence absolue en tous les points strictement plus proches de l'origine. Une série entière ne peut donc pas converger ici et diverger là de manière désordonnée : au cercle-frontière près, son domaine de convergence est un disque, et un seul nombre le décrit.

◆Théorème 8.1Lemme d'Abel

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ une série entière ( $a_{n} \in C, z \in C$ ). S'il existe un complexe non nul $z_{0} \neq = 0$ tel que la suite $(a_{n} z_{0}^{n})_{n \in N}$ soit bornée, alors pour tout complexe $z \in C$ vérifiant $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ :

La série numérique $\sum a_{n} z^{n}$ est absolument convergente.
Pour une variable réelle $x$ , la série de fonctions $\sum a_{n} x^{n}$ converge normalement sur tout segment $[- r, r]$ pour $0 \leq r < ∣ z_{0} ∣$ .

Démonstration

Puisque $(a_{n} z_{0}^{n})$ est bornée, il existe $M \geq 0$ tel que $\forall n \in N, ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \leq M$ . Pour tout $z \in C$ tel que $∣ z ∣ < ∣ z_{0} ∣$ :

$∣ a_{n} z^{n} ∣ = ∣ a_{n} z_{0}^{n} ∣ \frac{z}{z _{0}}^{n} \leq M q^{n}, avec q = \frac{z}{z _{0}} < 1.$

Comme $0 \leq q < 1$ , la série géométrique $\sum M q^{n}$ converge. Par comparaison, $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ converge absolument.

La démonstration tient en une ligne d'idée : on écrit $a_{n} z^{n} = (a_{n} z_{0}^{n}) \times (z / z_{0})^{n}$ , on borne le premier facteur par hypothèse, et il reste une série géométrique de raison $∣ z / z_{0} ∣ < 1$ . C'est la comparaison géométrique qui fait tout le travail, et c'est elle qui explique la convergence normale du second point : sur un segment $[- r, r]$ avec $r < ∣ z_{0} ∣$ , la raison $r /∣ z_{0} ∣$ est fixée une fois pour toutes, indépendamment du point considéré.

Figure : Le disque de convergence dans

C

. Il suffit que la suite

$(a_{n} z_{0}^{n})$ soit bornée en un seul point $z_{0}$ pour que la série converge absolument partout à l'intérieur du disque de rayon $∣ z_{0} ∣$ ; le rayon $R$ est la borne supérieure des $∣ z_{0} ∣$ possibles. Sur le cercle lui-même, tracé en pointillés,

le lemme ne dit rien.

8.2.2 Rayon de Convergence et Règle de d'Alembert

Définition 8.2Rayon de convergence

Le rayon de convergence de la série entière $\sum a_{n} z^{n}$ est l'élément $R \in [0, + \infty]$ défini par :

$R = sup {r \geq 0 ∣ (a_{n} r^{n})_{n \in N} est born e ˊ e} = sup {∣ z ∣ ∣ \sum a_{n} z^{n} converge} .$

Le rayon découpe le plan complexe en trois régions, et le contraste entre elles est le point le plus important de la section.

Si $∣ z ∣ < R$ : la série converge absolument — et, pour la variable réelle, normalement sur tout segment inclus dans $] - R, R [$ (section suivante).
Si $∣ z ∣ > R$ : la série diverge grossièrement — la suite $(a_{n} z^{n})$ n'est même pas bornée.
Si $∣ z ∣ = R$ : on ne peut rien dire en général, et tous les cas se présentent effectivement.

Important

Le cercle $∣ z ∣ = R$ échappe à toute règle générale, et trois séries de rayon $1$ le montrent. Pour $\sum z^{n}$ , le terme général est de module $1$ sur tout le cercle : la série y diverge en chaque point. Pour $\sum z^{n} / n^{2}$ , la comparaison à $\sum 1/ n^{2}$ donne la convergence absolue en chaque point du cercle. Pour $\sum z^{n} / n$ , enfin, la série diverge en $z = 1$ — c'est la série harmonique — et converge en tout autre point du cercle, $z = - 1$ compris (résultat cité ici sans démonstration : hors de $z = - 1$ , où suffit le critère spécial des séries alternées, la preuve demande la transformation d'Abel, hors programme). Trois séries de même rayon, trois comportements différents au bord : le rayon ne dit rien de ce qui s'y passe.

◆Théorème 8.3Règle de d'Alembert pour le Rayon

Soit $\sum a_{n} z^{n}$ telle que $a_{n} \neq = 0$ à partir d'un certain rang. Si $lim_{n \to + \infty} \frac{a _{n + 1}}{a _{n}} = ℓ \in [0, + \infty]$ , alors :

$R = \frac{1}{ℓ} (avec la convention \frac{1}{0} = + \infty et \frac{1}{+ \infty} = 0) .$

Important

Deux précautions sur cette règle, dont la seconde est un piège classique. D'abord, dans cet énoncé le quotient porte sur les coefficients $a_{n}$ : on ne fait pas apparaître $z$ , et l'on conclut directement $R = 1/ ℓ$ . L'autre voie, qui est celle même du programme, applique la règle de d'Alembert des séries numériques à $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ , $z \neq = 0$ fixé : le quotient des termes, $z$ compris, tend alors vers $ℓ ∣ z ∣$ . Ensuite, la règle exige que $a_{n}$ soit non nul à partir d'un certain rang, et elle est donc inapplicable aux séries lacunaires, celles dont une infinité de coefficients s'annulent — $\sum z^{2 n}$ , $\sum z^{n^{2}}$ , $\sum x^{3 p}$ comme dans l'exercice d'Airy. Le réflexe est alors d'appliquer la règle de d'Alembert des séries numériques à $\sum ∣ a_{n} z^{n} ∣$ , $z \neq = 0$ fixé, en ne gardant que les termes non nuls : pour $\sum z^{n^{2}}$ , le quotient de deux termes consécutifs vaut $∣ z ∣^{2 n + 1}$ , qui tend vers $0$ si $∣ z ∣ < 1$ et vers $+ \infty$ si $∣ z ∣ > 1$ , d'où $R = 1$ . Quand les exposants sont régulièrement espacés, on peut aussi poser $u = z^{k}$ ( $k = 2$ ou $3$ selon le pas des exposants), traiter la série en $u$ , puis revenir : si la série en $u$ a pour rayon $ρ$ , celle en $z$ a pour rayon $ρ^{1/ k}$ — la racine carrée pour $u = z^{2}$ , la racine cubique pour $u = z^{3}$ .

Deux règles de comparaison complètent l'arsenal et évitent bien des calculs. Si $a_{n} = O (b_{n})$ , alors $R_{a} \geq R_{b}$ ; si $a_{n} \sim b_{n}$ , les deux rayons sont égaux. Un équivalent simple du coefficient suffit donc souvent à conclure, sans passer par d'Alembert.

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