Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres

9.1 Introduction et vue d'ensemble

L'intégration sur un intervalle qui n'est plus un segment (non borné, ou présentant des singularités aux bornes) constitue le cœur de l'analyse moderne en PC. Deux outils magistraux dominent ce domaine :

• Le Théorème de Convergence Dominée (TCD) de Lebesgue, qui résout de manière universelle les passages à la limite sous le signe intégral.
• Les théorèmes de régularité pour les intégrales dépendant d'un paramètre (continuité et dérivation de Leibniz), permettant de définir et d'étudier les grandes fonctions spéciales de la physique : fonction Gamma d'Euler $\Gamma$, intégrale de Gauss et transformée de Laplace.

9.2 Intégrales généralisées

9.2.1 Sur un intervalle de la forme $[a,+\infty [$

Tout part d'une définition par passage à la limite : on intègre sur un segment, puis on fait fuir la borne. Les fonctions intégrées ne sont plus seulement continues : une fonction est continue par morceaux sur un segment $[a,b]$ s'il existe une subdivision $a=x_0<x_1<\cdots <x_p=b$ telle que sa restriction à chaque $]x_{i-1},x_i[$ soit continue et prolongeable par continuité à $[x_{i-1},x_i]$ ; elle l'est sur un intervalle quelconque si elle l'est sur tout segment inclus dans cet intervalle. Son intégrale sur $[a,b]$ est la somme des intégrales de ces prolongements, et elle conserve les propriétés vues en première année pour les fonctions continues (linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles, inégalité triangulaire).

Pour une fonction de signe constant, tout se simplifie, car la fonction $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ est alors monotone — et une fonction croissante a une limite finie si et seulement si elle est majorée.

C'est mot pour mot le théorème de comparaison des séries à termes positifs, et il se démontre de la même façon : $x\mapsto {\int }_a^{x}f$ est croissante et majorée par ${\int }_a^{+\infty }g$.

9.2.2 Sur un intervalle quelconque

Rien de ce qui précède ne tenait à ce que la borne fuyante fût $+\infty$ : seule comptait l'existence d'une limite. On adapte donc mot pour mot.

9.2.3 Intégration par parties et changement de variable

L'hypothèse porte sur le crochet, et c'est ce qu'on oublie : si $fg$ n'a pas de limite finie aux bornes, l'égalité n'a pas de sens — et les deux intégrales ne peuvent d'ailleurs pas converger toutes deux : si elles convergeaient, $fg$, primitive de $f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, aurait des limites finies aux bornes. En pratique, on calcule d'abord les limites du crochet, puis on écrit la formule.

Dans les changements de variable usuels, on applique ce résultat sans vérifier les hypothèses : ce qui compte est que $\phi$ soit une bijection monotone entre les deux intervalles ouverts, ce qui se lit sur les bornes.

9.3 Intégrabilité sur un Intervalle Quelconque

9.3.1 Définition Fondamentale et Espace $L^1(I)$

Sur un segment, la question ne se posait pas : toute fonction continue par morceaux sur $[a,b]$ y est intégrable, et l'on écrivait ${\int }_a^{b}f$ sans réfléchir. Dès que l'intervalle cesse d'être un segment — parce qu'il est infini, ou parce que $f$ explose en une borne — le symbole ${\int }_{I}f$ peut ne désigner aucun nombre. La première question du chapitre n'est donc plus « combien vaut cette intégrale ? » mais « existe-t-elle ? », exactement comme au chapitre des séries.

C'est ce théorème qui justifie la définition précédente : en exigeant l'intégrabilité de $|f|$, on obtient gratuitement la convergence de ${\int }_{I}f$, et l'on peut majorer une intégrale par celle du module — l'outil de base de toutes les majorations du chapitre.

C'est la continuité qui porte tout le poids : sans elle, une fonction nulle partout sauf en un point aurait une intégrale nulle sans être nulle — et c'est bien ce qui se produit pour les fonctions seulement continues par morceaux. Ce résultat est ce qui fait de $(f,g)\mapsto {\int }_{I}fg$ un produit scalaire sur un espace de fonctions continues, et c'est par là que le chapitre rejoint celui des espaces euclidiens.

9.3.2 Intégrales de Référence

Les intégrales qui suivent jouent ici le rôle que les séries de Riemann jouaient au chapitre des séries : tout l'exercice consiste à s'y ramener par comparaison. Il faut retenir le contraste entre les deux bornes, car les inégalités s'y inversent.

Le sens de chaque condition se retient sans effort si l'on pense à ce qu'elle demande. En $+\infty$, il faut que $f$ décroisse assez vite pour que l'aire sous la queue soit finie : d'où $\alpha >1$. En une borne finie, il faut au contraire que $f$ explose assez lentement : d'où $\alpha <1$. Le cas $\alpha =1$ échoue aux deux bouts, et c'est le repère à mémoriser : $t\mapsto 1/t$ n'est intégrable ni au voisinage de $0$, ni au voisinage de $+\infty$.

Un même exercice comporte donc souvent deux études distinctes, une par borne problématique, avec des conclusions opposées : la fonction $t\mapsto t^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-t}$ est intégrable sur $]0,+\infty [$ parce qu'elle se comporte comme $t^{-1/2}$ en $0$ — et $1/2<1$ — et parce que l'exponentielle l'emporte en $+\infty$. C'est exactement l'intégrande de $\Gamma (1/2)={\int }_0^{+\infty }{t}^{-1/2}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\sqrt{\pi }$ : la fonction est celle qu'on intègre, $\Gamma (1/2)$ est le nombre obtenu.

Hors programme mais classiques aux concours, les intégrales dites de Bertrand, ${\int }_2^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{\alpha }(\ln t{)}^{\beta }}$, se traitent par comparaison aux précédentes : elles convergent si $\alpha >1$, divergent si $\alpha <1$, et pour $\alpha =1$ la convergence équivaut à $\beta >1$. Un énoncé qui en a besoin en fait toujours démontrer le cas utile.

Comme pour les séries, ces règles réclament la positivité, et l'oubli est la faute la plus fréquente. Elles ne s'appliquent donc pas directement à une fonction de signe variable : on les applique à $|f|$, ce qui est précisément conforme à la définition de l'intégrabilité.

9.4 Le Théorème de Convergence Dominée (TCD)

Intervertir une limite et une intégrale est une opération fausse en général, et il faut d'abord se convaincre qu'il y a là un vrai danger. Considérons sur $[0,+\infty [$ les fonctions

$$f_n=\frac{1}{n}{1}_{[0,n]},$$

c'est-à-dire des rectangles de hauteur $1/n$ et de largeur $n$. Leur intégrale vaut $1$ pour tout $n$. Pourtant ${\sup }_t|f_n(t)|=1/n$ tend vers $0$ : la suite converge vers la fonction nulle, et même uniformément. On a donc

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_0^{+\infty }{f}_n=1\text{tandis que}{\int }_0^{+\infty }\underset{n\to +\infty }{\lim }{f}_n=0.$$

L'aire, au lieu de disparaître, s'est échappée vers l'infini. Même la convergence uniforme ne suffit donc pas sur un intervalle non borné, et c'est précisément le trou que le théorème suivant vient boucher : la domination interdit à l'aire de fuir.

Figure : Pourquoi la domination est indispensable. Les fonctions

$f_n=\frac{1}{n}{1}_{[0,n]}$ ont toutes une intégrale égale à $1$, alors qu'elles convergent vers $0$ uniformément. L'aire ne disparaît pas : elle s'étale et s'échappe vers l'infini. Aucune fonction intégrable ne les majore toutes, puisqu'il faudrait majorer ${\sup }_n{f}_n(t)$, qui décroît comme $1/t$.</div>

◆Théorème 9.13Théorème de Convergence Dominée de Lebesgue

Soit $I$ un intervalle quelconque de $\mathbb{R}$. Soit $(f_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb{K}$. Supposons que :

• Convergence simple : La suite $(f_n)$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$ continue par morceaux sur $I$.
• Hypothèse de Domination : Il existe une fonction $\phi :I\to {\mathbb{R}}^{+}$, continue par morceaux et intégrable sur $I$ ($\phi \in L^1(I)$), telle que :

$$\forall n\in \mathbb{N},\forall t\in I,|f_n(t)|\le \phi (t).$$

Alors la fonction limite $f$ est intégrable sur $I$, et :

$$\underset{n\to +\infty }{\lim }{\int }_I{f}_n(t)\mathrm{d}t={\int }_{I}f(t)\mathrm{d}t={\int }_I\left(\underset{n\to +\infty }{\lim }{f}_n(t)\right)\mathrm{d}t.$$

Figure : L'hypothèse de domination : les deux courbes bleu-vert sont des termes

$f_n$ de la suite ; quelles que soient leurs oscillations, elles restent sous une même enveloppe $\phi$ intégrable. C'est ce qui empêche l'aire de s'échapper comme sur la figure précédente, et qui autorise à passer à la limite sous le signe intégral.</div>

Important

Tout repose sur un mot de l'hypothèse $2$ : la fonction $\phi$ ne dépend pas de $n$. Écrire « pour tout $n$, il existe ${\phi }_n$ intégrable telle que $|f_n|\le {\phi }_n$ » ne démontre rien du tout — c'est vrai pour n'importe quelle suite de fonctions intégrables, en prenant ${\phi }_n=|f_n|$. Une domination qui varie avec $n$ n'est pas une domination.

Noter aussi ce que le théorème offre en prime : il ne suppose pas que la limite $f$ soit intégrable, il le démontre. On n'a donc jamais à le vérifier au préalable. Et la conclusion vaut aussi bien pour un paramètre continu : c'est le théorème de convergence dominée à paramètre continu. Soient $A$ un intervalle et $x_0$ une borne de $A$ (finie ou non). Si, pour tout $t\in I$, $g(x,t)\to \ell (t)$ quand $x\to x_0$, les fonctions $t\mapsto g(x,t)$ et $\ell$ étant continues par morceaux sur $I$, et s'il existe $\phi$ intégrable sur $I$, indépendante de $x$, telle que $|g(x,t)|\le \phi (t)$ pour tout $(x,t)\in A\times I$, alors $\ell$ est intégrable sur $I$ et ${\lim }_{x\to x_0}{\int }_{I}g(x,t)\mathrm{d}t={\int }_I\ell (t)\mathrm{d}t$. On le déduit du théorème en l'appliquant à une suite $x_n\to x_0$ quelconque, ce qui est exactement la caractérisation séquentielle de la limite.

Méthode : Appliquer le théorème de convergence dominée

• Écrire explicitement $f_n$, pour tout $n$. Sa continuité par morceaux n'a pas à être justifiée en détail : le programme ne demande pas de l'expliciter.
• Calculer la limite simple, à $t$ fixé. C'est un calcul de limite de suite numérique, où $t$ est un paramètre muet.
• Chercher la dominante en majorant $|f_n(t)|$ par une expression où $n$ a disparu. Les majorations utiles sont presque toujours $|\sin |\le 1$, ${\mathrm{e}}^{-nt}\le {\mathrm{e}}^{-t}$ pour $n\ge 1$, ou $(1-t/n{)}^n\le {\mathrm{e}}^{-t}$ pour $0\le t\le n$.
• Prouver que la dominante est intégrable, par la méthode précédente. C'est l'étape qu'on bâcle, alors que c'est elle qui porte toute la démonstration.

◆Théorème 9.14Théorème d'Intégration Terme à Terme pour les Séries de Fonctions

Soit $\sum u_n$ une série de fonctions continues par morceaux sur $I$. Supposons que :

• $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $S$ continue par morceaux.
• Chaque $u_n$ est intégrable sur $I$, et la série numérique des intégrales des valeurs absolues converge :

$$\sum _{n=0}^{+\infty }{\int }_I|u_n(t)|\mathrm{d}t<+\infty .$$

Alors la somme $S={\sum }_{n=0}^{+\infty }{u}_n$ est intégrable sur $I$, et :

$${\int }_I\left(\sum _{n=0}^{+\infty }{u}_n(t)\right)\mathrm{d}t=\sum _{n=0}^{+\infty }{\int }_I{u}_n(t)\mathrm{d}t.$$

La seconde hypothèse mérite d'être lue lentement : on demande la convergence de $\sum {\int }_I|u_n|$, avec la valeur absolue à l'intérieur de l'intégrale. Ce n'est pas la convergence de $\sum \left|{\int }_I{u}_n\right|$, qui est plus faible et ne suffirait pas. C'est l'analogue exact de l'hypothèse de domination : on contrôle la taille de chaque terme avant toute compensation entre eux.

Ce théorème est celui qui transforme un développement en série sous une intégrale en une somme de séries numériques calculables. C'est ainsi qu'on obtient, en développant $\frac{1}{1-{\mathrm{e}}^{-t}}$ en série géométrique, la valeur de ${\int }_0^{+\infty }\frac{t}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t={\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=\zeta (2)$. La même méthode, avec $t^3$ au numérateur, donne ${\int }_0^{+\infty }\frac{t^3}{{\mathrm{e}}^t-1}\mathrm{d}t=6\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{15}$ (la valeur $\zeta (4)=\frac{{\pi }^4}{90}$ est établie par le problème des travaux dirigés du chapitre 7) : c'est celle-là, et non la précédente, qui est l'intégrale du rayonnement du corps noir citée au chapitre des séries.

9.5 Intégrales Dépendant d'un Paramètre

Les deux théorèmes de cette section ont le même squelette, et l'on gagne à le voir avant de lire les énoncés. Chacun demande trois choses : que l'intégrale existe pour chaque valeur du paramètre, que la régularité voulue soit vraie à $t$ fixé, et qu'une domination contrôle uniformément la fonction — ou sa dérivée. Le premier conclut à la continuité de $F$, le second à sa classe ${\mathcal{C}}^1$ avec la formule de Leibniz.

Ce sont les outils qui permettent de définir des fonctions par une intégrale et d'en étudier ensuite les propriétés sans jamais la calculer : la fonction $\Gamma (x)={\int }_0^{+\infty }{t}^{x-1}{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t$, la transformée de Laplace, ou la fonction $F$ de l'exercice qui clôt le chapitre, dont la dérivée livre l'intégrale de Gauss.

9.5.1 Continuité sous Domination Locale

◆Théorème 9.15Théorème de Continuité sous le Signe Intégral

Soit $A$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $I$ un intervalle quelconque de $\mathbb{R}$. Soit $f:A\times I\to \mathbb{K},(x,t)\mapsto f(x,t)$. Supposons que :

• Pour tout $x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux et intégrable sur $I$.
• Pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$.
• Hypothèse de Domination locale : Pour tout segment $[a,b]\subset A$, il existe ${\phi }_{[a,b]}:I\to {\mathbb{R}}^{+}$ intégrable sur $I$ telle que :

$$\forall x\in [a,b],\forall t\in I,|f(x,t)|\le {\phi }_{[a,b]}(t).$$

Alors la fonction $F:A\to \mathbb{K}$ définie par $F(x)={\int }_{I}f(x,t)\mathrm{d}t$ est continue sur $A$.

Important

Le mot locale de la troisième hypothèse est ce qui rend le théorème utilisable. La dominante a le droit de dépendre du segment $[a,b]$, et c'est heureux : sur $A$ tout entier, une domination globale est souvent impossible. Dans l'exercice qui clôt le chapitre, la dérivée $\partial f/\partial x$ n'est dominée sur $]0,+\infty [$ par aucune fonction intégrable, alors qu'elle l'est sur chaque segment $[a,b]$ avec $a>0$ — la dominante ${\mathrm{e}}^{-a(1+t^2)}$ dépend de $a$. Comme la continuité et la dérivabilité sont des propriétés locales, il suffit de conclure sur chaque segment pour conclure sur $A$.

En revanche, sur le segment fixé, la majoration doit valoir pour tout $x$ de ce segment : c'est une domination uniforme en $x$, et une majoration qui dépendrait encore de $x$ ne démontrerait rien, pour la même raison qu'une dominante dépendant de $n$ dans le théorème de convergence dominée.

9.5.2 Dérivation sous le Signe Intégral (Formule de Leibniz)

◆Théorème 9.16Théorème de Dérivation sous le Signe Intégral ${\mathcal{C}}^1$

Soit $f:A\times I\to \mathbb{K},(x,t)\mapsto f(x,t)$. Supposons que :

• Pour tout $x\in A$, $t\mapsto f(x,t)$ est intégrable sur $I$.
• La dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ existe sur $A\times I$ ; pour tout $x\in A$, $t\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$, et pour tout $t\in I$, $x\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue sur $A$.
• Hypothèse de Domination locale de la dérivée : Pour tout segment $[a,b]\subset A$, il existe ${\psi }_{[a,b]}:I\to {\mathbb{R}}^{+}$ intégrable sur $I$ telle que :

$$\forall x\in [a,b],\forall t\in I,\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\le {\psi }_{[a,b]}(t).$$

Alors $F(x)={\int }_{I}f(x,t)\mathrm{d}t$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $A$, et :

$$\forall x\in A,F^{\prime }(x)={\int }_I\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\mathrm{d}t.$$

Une remarque sur l'articulation des deux hypothèses d'intégrabilité, qui surprend à la première lecture : on demande $t\mapsto f(x,t)$ intégrable, mais $t\mapsto \partial f/\partial x(x,t)$ seulement continue par morceaux — c'est la domination qui lui donne son intégrabilité. Les deux fonctions ne jouent pas le même rôle : la première doit exister pour que $F$ soit définie, la seconde pour que la formule finale ait un sens.

◆Théorème 9.17Extension à la classe ${\mathcal{C}}^k$

Sous les mêmes hypothèses, si $x\mapsto f(x,t)$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ sur $A$, si $t\mapsto \frac{{\partial }^{j}f}{\partial x^j}(x,t)$ est intégrable sur $I$ pour tout $j$ tel que $0\le j<k$, et s'il existe $\phi$ intégrable sur $I$ dominant $\left|\frac{{\partial }^{k}f}{\partial x^k}(x,t)\right|$, alors $F:x\mapsto {\int }_{I}f(x,t)\mathrm{d}t$ est de classe ${\mathcal{C}}^k$ sur $A$ et

$$\forall j\le k,F^{(j)}(x)={\int }_I\frac{{\partial }^{j}f}{\partial x^j}(x,t)\mathrm{d}t.$$

La structure des hypothèses est celle qu'on a déjà vue pour les suites de fonctions : la domination n'est exigée que sur la dérivée d'ordre le plus élevé, l'intégrabilité suffisant pour les ordres inférieurs. En pratique, on l'applique presque toujours avec $k=2$ — pour établir la convexité d'une intégrale à paramètre, ou pour vérifier qu'elle satisfait une équation différentielle.

Méthode : Étudier une fonction définie par une intégrale

• Domaine de définition : pour quels $x$ la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est-elle intégrable ? C'est une étude d'intégrabilité, borne par borne, où $x$ est un paramètre.
• Continuité : appliquer le théorème correspondant, en cherchant la dominante sur un segment $[a,b]$ arbitraire du domaine.
• Dérivabilité : calculer $\partial f/\partial x$, puis chercher une dominante pour elle — c'est en général la partie la plus longue, et il faut souvent restreindre le segment pour l'obtenir.
• Exploiter $F^{\prime }$ : équation différentielle vérifiée par $F$, intégration entre deux bornes, ou étude de limites — c'est ce que fait l'exercice de l'intégrale de Gauss.

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