Intégration sur un Intervalle Quelconque et Intégrales à Paramètres

Cours · mathématiques (PC), chapitre 9 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

L'aire sous la courbe de 1/x² à partir de 1 reste finie alors que l'intervalle est infini.

9.1 Introduction et vue d'ensemble

L'intégration sur un intervalle qui n'est plus un segment (non borné, ou présentant des singularités aux bornes) constitue le cœur de l'analyse moderne en PC. Deux outils magistraux dominent ce domaine :

Le Théorème de Convergence Dominée (TCD) de Lebesgue, qui résout de manière universelle les passages à la limite sous le signe intégral.
Les théorèmes de régularité pour les intégrales dépendant d'un paramètre (continuité et dérivation de Leibniz), permettant de définir et d'étudier les grandes fonctions spéciales de la physique : fonction Gamma d'Euler $Γ$ , intégrale de Gauss et transformée de Laplace.

9.2 Intégrales généralisées

9.2.1 Sur un intervalle de la forme $[a, + \infty [$

Tout part d'une définition par passage à la limite : on intègre sur un segment, puis on fait fuir la borne. Les fonctions intégrées ne sont plus seulement continues : une fonction est continue par morceaux sur un segment $[a, b]$ s'il existe une subdivision $a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{p} = b$ telle que sa restriction à chaque $] x_{i - 1}, x_{i} [$ soit continue et prolongeable par continuité à $[x_{i - 1}, x_{i}]$ ; elle l'est sur un intervalle quelconque si elle l'est sur tout segment inclus dans cet intervalle. Son intégrale sur $[a, b]$ est la somme des intégrales de ces prolongements, et elle conserve les propriétés vues en première année pour les fonctions continues (linéarité, positivité, croissance, relation de Chasles, inégalité triangulaire).

Définition 9.1Intégrale convergente en

+ \infty

Soit $f$ continue par morceaux sur $[a, + \infty [$ à valeurs dans $K$ . L'intégrale $\int_{a}^{+ \infty} f (t) d t$ est dite convergente si la fonction

$x ⟼ \int_{a}^{x} f (t) d t$

admet une limite finie quand $x \to + \infty$ ; cette limite est alors notée $\int_{a}^{+ \infty} f$ . Dans le cas contraire, l'intégrale est dite divergente en $+ \infty$ .

Pour une fonction de signe constant, tout se simplifie, car la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est alors monotone — et une fonction croissante a une limite finie si et seulement si elle est majorée.

Proposition 9.2Critère de majoration, et comparaison

Soient $f$ et $g$ continues par morceaux sur $[a, + \infty [$ .

Si $f \geq 0$ , alors $\int_{a}^{+ \infty} f$ converge si et seulement si la fonction $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est majorée.
Si $0 \leq f \leq g$ , alors la convergence de $\int_{a}^{+ \infty} g$ entraîne celle de $\int_{a}^{+ \infty} f$ — et, par contraposée, la divergence de $\int_{a}^{+ \infty} f$ entraîne celle de $\int_{a}^{+ \infty} g$ .

C'est mot pour mot le théorème de comparaison des séries à termes positifs, et il se démontre de la même façon : $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ est croissante et majorée par $\int_{a}^{+ \infty} g$ .

9.2.2 Sur un intervalle quelconque

Rien de ce qui précède ne tenait à ce que la borne fuyante fût $+ \infty$ : seule comptait l'existence d'une limite. On adapte donc mot pour mot.

Définition 9.3Intervalle semi-ouvert ou ouvert

Soit $f$ continue par morceaux sur un intervalle $I$ d'extrémités $a < b$ dans $R \cup {\pm \infty}$ .

Si $I = [a, b [$ , l'intégrale $\int_{a}^{b} f$ converge en $b$ si $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ a une limite finie quand $x \to b^{-}$ ;
si $I =] a, b]$ , elle converge en $a$ si $x \mapsto \int_{x}^{b} f$ a une limite finie quand $x \to a^{+}$ ;
si $I =] a, b [$ , on fixe $c \in] a, b [$ et l'intégrale converge lorsque $\int_{a}^{c} f$ et $\int_{c}^{b} f$ convergent toutes deux ; leur somme ne dépend alors pas du $c$ choisi.

ImportantUne borne à la fois

Sur un intervalle ouvert aux deux bouts, on ne fait jamais tendre les deux bornes ensemble. Écrire $lim_{x \to + \infty} \int_{- x}^{x} t d t = 0$ pour en conclure que $\int_{- \infty}^{+ \infty} t d t$ converge est faux : coupée en $0$ , chacune des deux moitiés diverge. Chaque borne se traite séparément.

Proposition 9.4Propriétés des intégrales généralisées

Sur un intervalle $I$ où les intégrales considérées convergent, l'intégrale généralisée conserve les propriétés de l'intégrale sur un segment : linéarité, positivité ( $f \geq 0 ⟹ \int_{I} f \geq 0$ ), croissance ( $f \leq g ⟹ \int_{I} f \leq \int_{I} g$ ) et relation de Chasles.

9.2.3 Intégration par parties et changement de variable

◆Théorème 9.5Intégration par parties sur un intervalle quelconque

Soient $f$ et $g$ de classe $C^{1}$ sur $] a, b [$ . Si le produit $f g$ admet des limites finies en $a$ et en $b$ , alors les intégrales $\int_{a}^{b} f g^{'}$ et $\int_{a}^{b} f^{'} g$ sont de même nature, et en cas de convergence

$\int_{a}^{b} f (t) g^{'} (t) d t = [f g]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (t) g (t) d t,$

où $[f g]_{a}^{b}$ désigne la différence des deux limites. Sa démonstration n'est pas exigible.

L'hypothèse porte sur le crochet, et c'est ce qu'on oublie : si $f g$ n'a pas de limite finie aux bornes, l'égalité n'a pas de sens — et les deux intégrales ne peuvent d'ailleurs pas converger toutes deux : si elles convergeaient, $f g$ , primitive de $f^{'} g + f g^{'}$ , aurait des limites finies aux bornes. En pratique, on calcule d'abord les limites du crochet, puis on écrit la formule.

◆Théorème 9.6Changement de variable

Soient $φ :] α, β [\to] a, b [$ une bijection strictement croissante de classe $C^{1}$ et $f$ continue sur $] a, b [$ . Alors

$\int_{a}^{b} f (t) d t et \int_{α}^{β} (f \circ φ) (u) φ^{'} (u) d u$

sont de même nature et égales en cas de convergence. L'énoncé s'adapte au cas où $φ$ est strictement décroissante, en échangeant les bornes. Sa démonstration n'est pas exigible.

Dans les changements de variable usuels, on applique ce résultat sans vérifier les hypothèses : ce qui compte est que $φ$ soit une bijection monotone entre les deux intervalles ouverts, ce qui se lit sur les bornes.

9.3 Intégrabilité sur un Intervalle Quelconque

9.3.1 Définition Fondamentale et Espace $L^{1} (I)$

Sur un segment, la question ne se posait pas : toute fonction continue par morceaux sur $[a, b]$ y est intégrable, et l'on écrivait $\int_{a}^{b} f$ sans réfléchir. Dès que l'intervalle cesse d'être un segment — parce qu'il est infini, ou parce que $f$ explose en une borne — le symbole $\int_{I} f$ peut ne désigner aucun nombre. La première question du chapitre n'est donc plus « combien vaut cette intégrale ? » mais « existe-t-elle ? », exactement comme au chapitre des séries.

Définition 9.7Fonction intégrable

Soit $I$ un intervalle quelconque de $R$ et $f : I \to K$ ( $K = R$ ou $C$ ) continue par morceaux sur $I$ .

Si $f \geq 0$ , $f$ est dite intégrable sur $I$ si son intégrale sur $I$ converge ; cela revient à dire, par le critère de majoration, que pour tout segment $[a, b] \subset I$ , la quantité $\int_{a}^{b} f (t) d t$ est majorée par une constante indépendante de $a$ et $b$ . Dans ce cas :

$\int_{I} f (t) d t = [a, b] \subset I sup \int_{a}^{b} f (t) d t < + \infty.$

Dans le cas général, $f$ est dite intégrable sur $I$ si la fonction positive $∣ f ∣$ est intégrable sur $I$ :

$\int_{I} ∣ f (t) ∣ d t < + \infty.$

L'ensemble des fonctions intégrables sur $I$ forme un $K$ -espace vectoriel noté $L^{1} (I, K)$ .

Exercices du chapitre

Le changement de variable qui symétrise corrigé
Pas de primitive : l'intégration par parties fabrique le terme principal corrigé
Convergente sans être intégrable : le sinus cardinal corrigé
Ce que l'intégrabilité ne dit pas corrigé
La domination décide corrigé
Intégrer terme à terme : le rayonnement du corps noir corrigé

La suite du cours · Tous les exercices du chapitre