Calcul Différentiel et Fonctions de Plusieurs Variables

Cours · mathématiques (PC), chapitre 10 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

Les lignes de niveau d'une fonction de deux variables et son gradient, orthogonal à la ligne de niveau.

10.1 Introduction et vue d'ensemble

Le calcul différentiel à plusieurs variables est le langage universel de la thermodynamique (fonctions d'état et leurs différentielles, potentiels thermodynamiques, relations de Maxwell), de la cinétique chimique et de la mécanique des fluides.

En PC, il permet de linéariser localement les phénomènes non linéaires via la différentielle et le gradient, d'étudier la courbure et la concavité via la matrice hessienne et de résoudre les problèmes fondamentaux d'optimisation, libre à l'intérieur d'un ouvert puis sur le bord d'une partie fermée.

10.2 Dérivabilité des fonctions vectorielles

Avant les fonctions de plusieurs variables, une extension plus simple : les fonctions d'une seule variable réelle, mais à valeurs vectorielles. Tout s'y ramène aux coordonnées, et c'est ce qui rend la section courte — mais elle fournit les règles de dérivation dont la géométrie et la cinématique se servent constamment.

Définition 10.1Fonction vectorielle dérivable

Soit $I$ un intervalle de $R$ et $f : I \to R^{n}$ . On dit que $f$ est dérivable en $a \in I$ si le taux d'accroissement $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ admet une limite dans $R^{n}$ quand $h \to 0$ ; cette limite est le vecteur dérivé $f^{'} (a)$ . La fonction est dérivable sur $I$ si elle l'est en tout point, et de classe $C^{k}$ si $f^{(k)}$ existe et est continue ; elle est de classe $C^{\infty}$ si elle est de classe $C^{k}$ pour tout $k$ .

Deux lectures accompagnent cette définition. La première est coordonnée par coordonnée : $f = (f_{1}, \dots, f_{n})$ est dérivable si et seulement si chaque $f_{i}$ l'est, et alors $f^{'} (a) = (f_{1}^{'} (a), \dots, f_{n}^{'} (a))$ — c'est ce qui permet de tout ramener au programme de première année. La seconde est cinématique : si $f (t)$ est la position d'un mobile, $f^{'} (t)$ est son vecteur vitesse. La dérivabilité équivaut enfin à l'existence d'un développement limité d'ordre un, $f (a + h) = f (a) + h f^{'} (a) + o (h)$ .

◆Théorème 10.2Règles de dérivation

Soient $f, g : I \to R^{n}$ dérivables, $φ : J \to I$ à valeurs réelles et dérivable.

Combinaison linéaire : $(λ f + μg)^{'} = λ f^{'} + μ g^{'}$ .
Application linéaire : si $L$ est linéaire, alors $(L (f))^{'} = L (f^{'})$ .
Application bilinéaire : si $B$ est bilinéaire, alors

$(B (f, g))^{'} = B (f^{'}, g) + B (f, g^{'}) .$

Plus généralement, pour $M$ une application $p$ -linéaire et $f_{1}, \dots, f_{p}$ dérivables, la dérivée de $M (f_{1}, \dots, f_{p})$ est la somme des $p$ termes obtenus en dérivant un argument à la fois. Sa démonstration n'est pas exigible.

Composée par une fonction réelle : $(f \circ φ)^{'} (t) = φ^{'} (t) f^{'} (φ (t))$ .

Le point 3 est celui qui sert, et il faut voir qu'il contient deux formules familières. Le produit scalaire est bilinéaire, d'où

$\frac{d}{d t} ⟨ f (t), g (t) ⟩ = ⟨ f^{'} (t), g (t) ⟩ + ⟨ f (t), g^{'} (t) ⟩,$

dont on tire immédiatement qu'un vecteur de norme constante est orthogonal à sa dérivée : dériver $⟨ f, f ⟩ = cte$ donne $2 ⟨ f^{'}, f ⟩ = 0$ . C'est le résultat qui fonde tout le repère de Frenet en mécanique. Le déterminant est $n$ -linéaire, d'où la dérivée d'un déterminant de fonctions : on dérive une colonne à la fois et l'on somme.

10.3 Fonctions de classe $C^{1}$ , gradient et règle de la chaîne

10.3.1 Fonctions de classe $C^{1}$ , différentielle et gradient

Approcher une fonction de plusieurs variables par une fonction affine, c'est dire qu'au voisinage de $a$ la surface d'équation $z = f (x)$ se confond avec un plan, à un reste négligeable devant $∥ h ∥$ près. Le programme n'en fait pas une définition mais un théorème : c'est la classe $C^{1}$ , définie par les dérivées partielles, qui garantit cette approximation.

Définition 10.3Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles, classe

C^{1}

Soit $U$ un ouvert de $R^{p}$ , $f : U \to R$ et $a \in U$ .

Pour $v \in R^{p}$ , la dérivée de $f$ en $a$ selon le vecteur $v$ est

$D_{v} f (a) = t \to 0 lim \frac{f ( a + t v ) - f ( a )}{t},$

sous réserve d'existence. Les dérivées partielles en sont le cas particulier $v = e_{i}$ , notées $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ ou $\partial_{i} f (a)$ .

$f$ est dite de classe $C^{1}$ sur $U$ si ses $p$ dérivées partielles d'ordre $1$ existent et sont continues sur $U$ .

◆Théorème 10.4Développement limité d'ordre 1

Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ , alors $f$ est continue sur $U$ et admet en tout point $a$ de $U$ un développement limité d'ordre $1$ :

$f (a + h) = f (a) + i = 1 \sum p \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) h_{i} + o (∥ h ∥) quand h \to 0 .$

Sa démonstration n'est pas exigible.

Les combinaisons linéaires, les produits et les quotients (à dénominateur non nul) de fonctions de classe $C^{1}$ sur $U$ sont de classe $C^{1}$ sur $U$ , de même que la composée $φ \circ f$ d'une fonction $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ par une fonction $φ$ de classe $C^{1}$ sur un intervalle contenant $f (U)$ .

Définition 10.5Différentielle et gradient

Soit $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ et $a \in U$ .

La différentielle de $f$ en $a$ est la forme linéaire sur $R^{p}$

$d f (a) : (h_{1}, \dots, h_{p}) ⟼ i = 1 \sum p \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) h_{i},$

que l'on note aussi $d f (a) \cdot h$ . Le développement limité s'écrit alors $f (a + h) = f (a) + d f (a) \cdot h + o (∥ h ∥)$ .

Dans $R^{p}$ muni de sa structure euclidienne canonique, le gradient de $f$ en $a$ est le vecteur :

$\nabla f (a) = (\frac{\partial f}{\partial x _{1}} (a), \frac{\partial f}{\partial x _{2}} (a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x _{p}} (a))^{⊤} \in R^{p} .$

On a alors, pour tout $h \in R^{p}$ : $d f (a) \cdot h = ⟨ \nabla f (a), h ⟩$ .

Différentielle et gradient sont donc deux visages du même objet du premier ordre : l'une est une forme linéaire, l'autre le vecteur qui la représente par le produit scalaire. C'est la structure euclidienne canonique de $R^{p}$ qui permet de passer de l'une à l'autre ; le gradient, lui, se calcule par ses coordonnées, qui sont les dérivées partielles de $f$ en $a$ .

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