Calcul Différentiel et Fonctions de Plusieurs Variables

Cours complet · mathématiques (PC), chapitre 10 · CPGE PC (2e année)

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10.1 Introduction et vue d'ensemble

Le calcul différentiel à plusieurs variables est le langage universel de la thermodynamique (fonctions d'état et leurs différentielles, potentiels thermodynamiques, relations de Maxwell), de la cinétique chimique et de la mécanique des fluides.

En PC, il permet de linéariser localement les phénomènes non linéaires via la différentielle et le gradient, d'étudier la courbure et la concavité via la matrice hessienne et de résoudre les problèmes fondamentaux d'optimisation, libre à l'intérieur d'un ouvert puis sur le bord d'une partie fermée.

10.2 Dérivabilité des fonctions vectorielles

Avant les fonctions de plusieurs variables, une extension plus simple : les fonctions d'une seule variable réelle, mais à valeurs vectorielles. Tout s'y ramène aux coordonnées, et c'est ce qui rend la section courte — mais elle fournit les règles de dérivation dont la géométrie et la cinématique se servent constamment.

Définition 10.1Fonction vectorielle dérivable

Soit $I$ un intervalle de $R$ et $f : I \to R^{n}$ . On dit que $f$ est dérivable en $a \in I$ si le taux d'accroissement $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ admet une limite dans $R^{n}$ quand $h \to 0$ ; cette limite est le vecteur dérivé $f^{'} (a)$ . La fonction est dérivable sur $I$ si elle l'est en tout point, et de classe $C^{k}$ si $f^{(k)}$ existe et est continue ; elle est de classe $C^{\infty}$ si elle est de classe $C^{k}$ pour tout $k$ .

Deux lectures accompagnent cette définition. La première est coordonnée par coordonnée : $f = (f_{1}, \dots, f_{n})$ est dérivable si et seulement si chaque $f_{i}$ l'est, et alors $f^{'} (a) = (f_{1}^{'} (a), \dots, f_{n}^{'} (a))$ — c'est ce qui permet de tout ramener au programme de première année. La seconde est cinématique : si $f (t)$ est la position d'un mobile, $f^{'} (t)$ est son vecteur vitesse. La dérivabilité équivaut enfin à l'existence d'un développement limité d'ordre un, $f (a + h) = f (a) + h f^{'} (a) + o (h)$ .

◆Théorème 10.2Règles de dérivation

Soient $f, g : I \to R^{n}$ dérivables, $φ : J \to I$ à valeurs réelles et dérivable.

Combinaison linéaire : $(λ f + μg)^{'} = λ f^{'} + μ g^{'}$ .
Application linéaire : si $L$ est linéaire, alors $(L (f))^{'} = L (f^{'})$ .
Application bilinéaire : si $B$ est bilinéaire, alors

$(B (f, g))^{'} = B (f^{'}, g) + B (f, g^{'}) .$

Plus généralement, pour $M$ une application $p$ -linéaire et $f_{1}, \dots, f_{p}$ dérivables, la dérivée de $M (f_{1}, \dots, f_{p})$ est la somme des $p$ termes obtenus en dérivant un argument à la fois. Sa démonstration n'est pas exigible.

Composée par une fonction réelle : $(f \circ φ)^{'} (t) = φ^{'} (t) f^{'} (φ (t))$ .

Le point 3 est celui qui sert, et il faut voir qu'il contient deux formules familières. Le produit scalaire est bilinéaire, d'où

$\frac{d}{d t} ⟨ f (t), g (t) ⟩ = ⟨ f^{'} (t), g (t) ⟩ + ⟨ f (t), g^{'} (t) ⟩,$

dont on tire immédiatement qu'un vecteur de norme constante est orthogonal à sa dérivée : dériver $⟨ f, f ⟩ = cte$ donne $2 ⟨ f^{'}, f ⟩ = 0$ . C'est le résultat qui fonde tout le repère de Frenet en mécanique. Le déterminant est $n$ -linéaire, d'où la dérivée d'un déterminant de fonctions : on dérive une colonne à la fois et l'on somme.

10.3 Fonctions de classe $C^{1}$ , gradient et règle de la chaîne

10.3.1 Fonctions de classe $C^{1}$ , différentielle et gradient

Approcher une fonction de plusieurs variables par une fonction affine, c'est dire qu'au voisinage de $a$ la surface d'équation $z = f (x)$ se confond avec un plan, à un reste négligeable devant $∥ h ∥$ près. Le programme n'en fait pas une définition mais un théorème : c'est la classe $C^{1}$ , définie par les dérivées partielles, qui garantit cette approximation.

Définition 10.3Dérivée selon un vecteur, dérivées partielles, classe

C^{1}

Soit $U$ un ouvert de $R^{p}$ , $f : U \to R$ et $a \in U$ .

Pour $v \in R^{p}$ , la dérivée de $f$ en $a$ selon le vecteur $v$ est

$D_{v} f (a) = t \to 0 lim \frac{f ( a + t v ) - f ( a )}{t},$

sous réserve d'existence. Les dérivées partielles en sont le cas particulier $v = e_{i}$ , notées $\frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a)$ ou $\partial_{i} f (a)$ .

$f$ est dite de classe $C^{1}$ sur $U$ si ses $p$ dérivées partielles d'ordre $1$ existent et sont continues sur $U$ .

◆Théorème 10.4Développement limité d'ordre 1

Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur $U$ , alors $f$ est continue sur $U$ et admet en tout point $a$ de $U$ un développement limité d'ordre $1$ :

$f (a + h) = f (a) + i = 1 \sum p \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) h_{i} + o (∥ h ∥) quand h \to 0 .$

Sa démonstration n'est pas exigible.

Les combinaisons linéaires, les produits et les quotients (à dénominateur non nul) de fonctions de classe $C^{1}$ sur $U$ sont de classe $C^{1}$ sur $U$ , de même que la composée $φ \circ f$ d'une fonction $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ par une fonction $φ$ de classe $C^{1}$ sur un intervalle contenant $f (U)$ .

Définition 10.5Différentielle et gradient

Soit $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ et $a \in U$ .

La différentielle de $f$ en $a$ est la forme linéaire sur $R^{p}$

$d f (a) : (h_{1}, \dots, h_{p}) ⟼ i = 1 \sum p \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (a) h_{i},$

que l'on note aussi $d f (a) \cdot h$ . Le développement limité s'écrit alors $f (a + h) = f (a) + d f (a) \cdot h + o (∥ h ∥)$ .

Dans $R^{p}$ muni de sa structure euclidienne canonique, le gradient de $f$ en $a$ est le vecteur :

$\nabla f (a) = (\frac{\partial f}{\partial x _{1}} (a), \frac{\partial f}{\partial x _{2}} (a), \dots, \frac{\partial f}{\partial x _{p}} (a))^{⊤} \in R^{p} .$

On a alors, pour tout $h \in R^{p}$ : $d f (a) \cdot h = ⟨ \nabla f (a), h ⟩$ .

Différentielle et gradient sont donc deux visages du même objet du premier ordre : l'une est une forme linéaire, l'autre le vecteur qui la représente par le produit scalaire. C'est la structure euclidienne canonique de $R^{p}$ qui permet de passer de l'une à l'autre ; le gradient, lui, se calcule par ses coordonnées, qui sont les dérivées partielles de $f$ en $a$ .

ImportantL'existence des dérivées partielles ne suffit à rien

C'est la continuité des dérivées partielles qui fait fonctionner tout ce chapitre, jamais leur seule existence. Des dérivées partielles ne testent $f$ que selon les axes, et une fonction peut en avoir sans même être continue. Le contre-exemple à retenir est

$f (x, y) = \frac{x y}{x ^{2} + y ^{2}} si (x, y) \neq = (0, 0), f (0, 0) = 0.$

Ses deux dérivées partielles existent en l'origine et y valent $0$ , puisque $f$ est nulle sur chacun des deux axes. Pourtant $f (t, t) = 1/2$ pour tout $t \neq = 0$ : la fonction n'est même pas continue en $(0, 0)$ . Calculer deux dérivées partielles ne prouve donc rien ; en pratique, on vérifie que $f$ est de classe $C^{1}$ , ce qui se lit sur des formules usuelles et donne tout le reste.

Une fois la classe $C^{1}$ acquise, le développement limité fournit l'équation du plan tangent au graphe de $f$ au point $(a, f (a))$ :

$z = f (a) + ⟨ \nabla f (a), x - a ⟩,$

qui est la traduction exacte de « la surface se confond avec un plan ». En dimension $1$ , on retrouve la tangente $y = f (a) + f^{'} (a) (x - a)$ .

Proposition 10.6Dérivée directionnelle et Plus grande pente

Soit $f$ de classe $C^{1}$ sur $U$ et $a \in U$ . Pour tout vecteur unitaire $u \in R^{p}$ ( $∥ u ∥ = 1$ ), la dérivée directionnelle de $f$ en $a$ selon $u$ est :

$D_{u} f (a) = t \to 0 lim \frac{f ( a + t u ) - f ( a )}{t} = ⟨ \nabla f (a), u ⟩ .$

Si $\nabla f (a) \neq = 0$ et si $θ$ est l'angle entre $\nabla f (a)$ et $u$ , elle vaut $∥ \nabla f (a) ∥ cos θ$ : elle est maximale lorsque $u$ est colinéaire et de même sens que $\nabla f (a)$ . Le gradient indique donc la direction et le sens de plus grande pente.

Le facteur $cos θ$ contient toute l'information et mérite d'être lu en entier : la pente est maximale dans le sens du gradient ( $θ = 0$ ), minimale dans le sens opposé ( $θ = π$ ), et nulle perpendiculairement au gradient ( $θ = π /2$ ). Ce dernier cas n'est pas une curiosité : c'est la direction dans laquelle $f$ ne varie pas au premier ordre, c'est-à-dire la direction des lignes de niveau. D'où l'énoncé suivant, que la figure de ce chapitre illustre.

Proposition 10.7Le gradient est orthogonal aux lignes de niveau

Soit $f$ de classe $C^{1}$ et $a$ un point où $\nabla f (a) \neq = 0$ . Alors $\nabla f (a)$ est orthogonal à la ligne de niveau de $f$ passant par $a$ , c'est-à-dire au vecteur dérivé $γ^{'} (0)$ de tout arc $γ$ de classe $C^{1}$ tracé sur l'ensemble ${x ∣ f (x) = f (a)}$ et tel que $γ (0) = a$ .

Démonstration

Soit $γ$ un arc de classe $C^{1}$ tracé sur la ligne de niveau, avec $γ (0) = a$ . Par définition, $f (γ (t)) = f (a)$ pour tout $t$ . En dérivant cette constante et en appliquant la règle de la chaîne :

$0 = \frac{d}{d t} f (γ (t))_{t = 0} = ⟨ \nabla f (a), γ^{'} (0)⟩ .$

Le gradient est donc orthogonal à tout vecteur tangent $γ^{'} (0)$ .

Figure : Le gradient est orthogonal à la ligne de niveau. Les trois ellipses sont les

lignes $f = c_{1} < c_{2} < c_{3}$ d'une même fonction ; en $A$ , le vecteur $\nabla f (A)$ pointe vers les niveaux croissants, perpendiculairement à la tangente $v$ . Les deux directions sont ici calculées à partir de l'équation des ellipses, et non ajustées à l'œil.</div>

10.3.2 Règle de la chaîne

◆Théorème 10.8Règle de la chaîne

Soit $f$ de classe $C^{1}$ sur un ouvert $U$ de $R^{p}$ .

Le long d'un chemin : si $x_{1}, \dots, x_{p}$ sont de classe $C^{1}$ sur un intervalle $I$ et si $(x_{1} (t), \dots, x_{p} (t)) \in U$ pour tout $t$ , alors $t \mapsto f (x_{1} (t), \dots, x_{p} (t))$ est de classe $C^{1}$ et

$\frac{d}{d t} f (x_{1} (t), \dots, x_{p} (t)) = i = 1 \sum p \frac{\partial f}{\partial x _{i}} (x (t)) x_{i}^{'} (t) = ⟨ \nabla f (x (t)), x^{'} (t) ⟩ .$

Changement de variables : si les $x_{i}$ sont des fonctions de classe $C^{1}$ de $n$ variables $(u_{1}, \dots, u_{n})$ sur un ouvert $V$ de $R^{n}$ , avec $(x_{1} (u), \dots, x_{p} (u)) \in U$ pour tout $u \in V$ , alors $g : (u_{1}, \dots, u_{n}) \mapsto f (x_{1} (u), \dots, x_{p} (u))$ est de classe $C^{1}$ sur $V$ et

$\frac{\partial g}{\partial u _{j}} = i = 1 \sum p \frac{\partial f}{\partial x _{i}} \frac{\partial x _{i}}{\partial u _{j}},$

les dérivées de $f$ étant prises au point $(x_{1} (u), \dots, x_{p} (u))$ . En pratique, on se limite à $n \leq 3$ et $p \leq 3$ .

Ces deux formes ne sont qu'une seule règle, et il faut les reconnaître sous les deux déguisements qu'elles prennent dans les énoncés de physique. Le premier est le trajet : si $x$ et $y$ dépendent du temps,

$\frac{d}{d t} f (x (t), y (t)) = \frac{\partial f}{\partial x} x^{'} (t) + \frac{\partial f}{\partial y} y^{'} (t) .$

Le second est le changement de variables : en coordonnées polaires $x = r cos θ$ , $y = r sin θ$ , la même règle donne

$\frac{\partial f}{\partial r} = cos θ \frac{\partial f}{\partial x} + sin θ \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial θ} = - r sin θ \frac{\partial f}{\partial x} + r cos θ \frac{\partial f}{\partial y} .$

Le passage en coordonnées polaires est le seul changement de variables que le programme demande de connaître, et c'est le calcul qui fonde l'expression du gradient en coordonnées polaires ou sphériques, utilisée dans tout le cours de physique.

Proposition 10.9Fonctions constantes sur un ouvert convexe

Soit $f$ de classe $C^{1}$ sur un ouvert convexe $U$ de $R^{p}$ . Alors $f$ est constante sur $U$ si et seulement si $\nabla f = 0$ en tout point de $U$ .

C'est la règle de la chaîne appliquée au segment $t \mapsto a + t (b - a)$ , qui reste dans $U$ précisément parce que $U$ est convexe : la dérivée de $f$ le long de ce segment est $⟨ \nabla f, b - a ⟩ = 0$ , donc $f (a) = f (b)$ . L'hypothèse de convexité n'est pas décorative — sur un ouvert formé de deux disques disjoints, une fonction de gradient nul peut valoir $0$ sur l'un et $1$ sur l'autre.

10.4 Dérivées d'Ordre 2, Matrice Hessienne et Formule de Taylor

Passer à l'ordre deux, c'est passer d'une approximation par un plan à une approximation par une quadrique : la hessienne joue pour une fonction de plusieurs variables le rôle que la dérivée seconde joue pour une fonction d'une variable. Elle dit dans quel sens la surface se courbe, et dans quelle direction.

Sa symétrie n'est pas automatique : c'est le théorème de Schwarz, et il demande la continuité des dérivées secondes. Sous cette hypothèse — satisfaite par les fonctions usuelles, mais qu'il faut vérifier et citer — la hessienne est symétrique réelle, donc diagonalisable en base orthonormée. Ses valeurs propres sont les dérivées secondes de $f$ le long des directions propres, et, en un point critique, leurs signes décident de sa nature dès qu'aucune n'est nulle.

10.4.1 Théorème de Schwarz et Matrice Hessienne

Les dérivées partielles d'ordre $2$ de $f : U \to R$ sont les dérivées partielles de ses dérivées partielles :

$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i} \partial x _{j}} = \frac{\partial}{\partial x _{i}} (\frac{\partial f}{\partial x _{j}}),$

avec la notation $\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i}^{2}}$ lorsque $i = j$ . La fonction $f$ est de classe $C^{2}$ sur l'ouvert $U$ si ses $p^{2}$ dérivées partielles d'ordre $2$ existent et sont continues sur $U$ .

◆Théorème 10.10Théorème de Schwarz

Soit $f : U \to R$ de classe $C^{2}$ sur l'ouvert $U$ . Pour tous indices $i, j \in [[1, p]]$ :

$\frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{i} \partial x _{j}} = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{j} \partial x _{i}} .$

Définition 10.11Matrice hessienne

La matrice hessienne de $f$ en $a$ est la matrice carrée symétrique :

$H_{f} (a) = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{1}^{2}} (a) ⋮ \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{p} \partial x _{1}} (a) \dots ⋱ \dots \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{1} \partial x _{p}} (a) ⋮ \frac{\partial ^{2} f}{\partial x _{p}^{2}} (a) \in S_{p} (R) .$

◆Théorème 10.12Formule de Taylor-Young à l'ordre 2

Pour $f$ de classe $C^{2}$ au voisinage de $a$ :

$f (a + h) = f (a) + ⟨ \nabla f (a), h ⟩ + \frac{1}{2} h^{⊤} H_{f} (a) h + o (∥ h ∥^{2}) .$

10.5 Optimisation : extrema libres et extremums globaux

10.5.1 Extrema Libres et Conditions du Second Ordre

La recherche d'un extremum se fait en deux temps, et il faut les tenir séparés. Le premier ordre sélectionne des candidats — les points critiques — sans rien affirmer de leur nature. Le second ordre tranche, à l'aide de la hessienne. C'est la transposition exacte de ce qu'on fait à une variable avec $f^{'}$ puis $f^{''}$ , à ceci près qu'un point critique dispose ici d'une possibilité supplémentaire : être un col, minimum dans une direction et maximum dans une autre. Cette configuration n'a pas d'équivalent en dimension $1$ .

◆Théorème 10.13Conditions d'optimalité pour les extrema libres

Soit $f : U \to R$ de classe $C^{2}$ sur l'ouvert $U$ et $a \in U$ .

Condition nécessaire du 1er ordre (il suffit ici que $f$ soit de classe $C^{1}$ ) : Si $f$ admet un extremum local en $a$ , alors $a$ est un point critique :

$\nabla f (a) = 0 ⟺ d f (a) = 0.$

Conditions du 2nd ordre : Soit $a$ un point critique ( $\nabla f (a) = 0$ ).

Si $H_{f} (a) \in S_{p}^{++} (R)$ (toutes les valeurs propres sont $> 0$ ), $f$ admet un minimum local strict en $a$ .
Si $H_{f} (a) \in / S_{p}^{+} (R)$ (au moins une valeur propre est $< 0$ ), $f$ n'a pas de minimum en $a$ .
Pour un maximum, on applique ce qui précède à $- f$ , de hessienne $- H_{f} (a)$ : si toutes les valeurs propres de $H_{f} (a)$ sont $< 0$ , $f$ admet un maximum local strict en $a$ ; si l'une d'elles est $> 0$ , $f$ n'a pas de maximum en $a$ .
En particulier, si $H_{f} (a)$ possède au moins une valeur propre strictement positive et une valeur propre strictement négative, $a$ est un point selle / point col (pas d'extremum).

Important

La condition nécessaire $\nabla f (a) = 0$ suppose que $a$ appartient à un ouvert. Sur un domaine fermé — un disque plein, un carré — les extrema peuvent se situer sur le bord, et le gradient n'a alors aucune raison d'y être nul. Un énoncé demandant les extrema de $f$ sur une partie fermée bornée réclame donc deux études : les points critiques de l'intérieur, puis le bord traité à part, souvent par paramétrage. Oublier le bord fait perdre l'extremum global, dont le théorème des bornes atteintes garantissait pourtant l'existence.

Noter enfin le mot local : la hessienne ne renseigne que sur un voisinage. Une fonction peut avoir un minimum local sans avoir de minimum global — un exercice de ce chapitre en fournit une illustration : $x^{3} + y^{3} - 3 x y$ admet en $(1, 1)$ un minimum local strict, de valeur $- 1$ , mais tend vers $- \infty$ le long de la droite $y = x$ .

Proposition 10.14Explicitation pour

p = 2

: déterminant et trace

Pour $p = 2$ , posons $r = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x ^{2}} (a)$ , $s = \frac{\partial ^{2} f}{\partial x \partial y} (a)$ , $t = \frac{\partial ^{2} f}{\partial y ^{2}} (a)$ , de sorte que

$det H_{f} (a) = r t - s^{2} et tr H_{f} (a) = r + t .$

En un point critique $a$ :

si $det H_{f} (a) > 0$ et $tr H_{f} (a) > 0$ : minimum local strict ;
si $det H_{f} (a) > 0$ et $tr H_{f} (a) < 0$ : maximum local strict ;
si $det H_{f} (a) < 0$ : point col, donc pas d'extremum ;
si $det H_{f} (a) = 0$ : le second ordre ne décide pas de la nature du point ; il exclut seulement un minimum si $tr H_{f} (a) < 0$ , un maximum si $tr H_{f} (a) > 0$ .

Le signe de $r$ peut remplacer celui de la trace lorsque le déterminant est positif, les deux coefficients diagonaux étant alors de même signe.

Le critère de Monge n'est pas un résultat nouveau : c'est la traduction du théorème précédent en dimension $2$ , où $r t - s^{2}$ est le déterminant de la hessienne, donc le produit de ses deux valeurs propres, et $r$ un de ses coefficients diagonaux. Un déterminant négatif signale deux valeurs propres de signes opposés, donc un col ; un déterminant positif les rend de même signe, et $r$ suffit alors à dire lequel.

Le cas douteux $r t - s^{2} = 0$ n'est pas un cas rare qu'on peut négliger : il signifie qu'une valeur propre est nulle, donc que l'ordre $2$ ne décide pas, et il faut alors revenir à l'étude directe du signe de $f (a + h) - f (a)$ le long de chemins bien choisis.

Méthode : Chercher les extrema d'une fonction de deux variables

Résoudre $\nabla f = 0$ , c'est-à-dire le système des deux dérivées partielles nulles. C'est un système d'équations, souvent polynomial, et c'est là que se trouve la difficulté calculatoire.
Calculer $r$ , $s$ , $t$ en chaque point critique, puis conclure par le critère de Monge.
Traiter les cas douteux à la main, en évaluant $f (a + h) - f (a)$ sur deux chemins qui donnent des signes différents — ce qui prouve un col — ou en factorisant l'expression.
Conclure sur le caractère global séparément : les conclusions précédentes sont locales. Chercher les limites de $f$ à l'infini, ou une factorisation valable partout.

10.5.2 Extremums globaux sur une partie de $R^{p}$

Les conditions précédentes sont locales et supposent l'ouvert : elles ne disent rien d'un extremum atteint au bord, où le gradient n'a aucune raison de s'annuler. Or c'est le cas le plus fréquent dès qu'on optimise sur une partie fermée.

Méthode : Chercher les extremums globaux sur une partie fermée bornée

Établir l'existence par le théorème des bornes atteintes : si $A$ est une partie non vide, fermée et bornée de $R^{p}$ et si $f$ y est continue, alors $f$ est bornée sur $A$ et y atteint ses bornes. On sait donc, avant tout calcul, que le maximum et le minimum existent — il ne reste qu'à les localiser.
À l'intérieur : chercher les points critiques, c'est-à-dire résoudre $\nabla f = 0$ sur l'ouvert $A ˚$ . Si $f$ est de classe $C^{1}$ sur $A ˚$ , tout extremum intérieur est parmi eux ; sinon, les points où l'une des dérivées partielles de $f$ n'existe pas s'ajoutent aux candidats : $(x, y) \mapsto x^{2} + y^{2}$ atteint son minimum sur le disque unité fermé en l'origine, qui n'est pas un point critique.
Sur le bord : paramétrer le bord pour se ramener à une fonction d'une seule variable, puis l'étudier par les moyens de première année. Un cercle se paramètre par $(cos t, sin t)$ , un segment par une équation affine, un bord polygonal côté par côté.
Comparer les valeurs de $f$ en tous les candidats — points critiques intérieurs et extremums du bord. La plus grande est le maximum, la plus petite le minimum : le théorème du point 1 garantit qu'ils figurent dans la liste.

ImportantPourquoi l'étape 1 n'est pas une formalité

Sans elle, la comparaison finale ne conclut rien : rien ne dit a priori que le maximum est atteint, ni qu'il l'est en l'un des points trouvés. C'est le théorème des bornes atteintes qui transforme une liste de candidats en une réponse. Et lorsque la partie n'est pas bornée, il faut le remplacer par une étude à l'infini — si $f (x) \to + \infty$ quand $∥ x ∥ \to + \infty$ , on fixe $x_{0} \in A$ et une boule fermée $B$ contenant $x_{0}$ telle que $f (x) > f (x_{0})$ pour tout $x \in A$ hors de $B$ : le théorème s'applique à $A \cap B$ , fermée et bornée puisque $A$ est fermée, et le minimum de $f$ sur $A \cap B$ est son minimum sur $A$ .

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