Espaces Probabilisés et Variables Aléatoires Discrètes

Cours · mathématiques (PC), chapitre 11 · CPGE PC (2e année) · le début du chapitre, la suite sur Adloun

La loi d'une variable aléatoire discrète, en bâtons, et son espérance.

11.1 Introduction et vue d'ensemble

L'extension du calcul des probabilités aux univers quelconques et aux variables aléatoires discrètes à valeurs dans un ensemble infini (typiquement $N$ ou $Z$ ) constitue l'un des piliers de l'analyse moderne en PC. Ce cadre unificateur formalise l'étude des phénomènes aléatoires en physique-chimie (spectrométrie photonique, désintégrations radioactives avec la loi de Poisson, thermodynamique statistique de Boltzmann, bruit d'agitation thermique) et la concentration des moyennes empiriques vers les grandeurs macroscopiques (loi faible des grands nombres).

La théorie repose sur l'axiomatique de Kolmogorov (espace probabilisé $(Ω, A, P)$ , $σ$ -additivité), les théorèmes fondamentaux de continuité de la mesure, l'étude rigoureuse de l'indépendance (lemme des coalitions), les outils de sommation infinie (familles sommables, formule de transfert, théorème de Fubini), les fonctions génératrices et les inégalités de concentration.

11.2 Ensembles Dénombrables et Familles Sommables

Cette section peut sembler une digression avant les probabilités ; elle en est en réalité la condition de possibilité. Dès qu'une variable aléatoire prend une infinité de valeurs, tout le chapitre manipule des sommes indexées par un ensemble infini — $\sum_{n} P (X = n)$ , $\sum_{i, j} P (X = i, Y = j)$ — et deux questions se posent qu'on ne rencontrait pas avec des sommes finies : cette somme a-t-elle un sens, et sa valeur dépend-elle de l'ordre dans lequel on additionne ?

Les réponses conditionnent des manipulations que l'on fera ensuite sans y penser : regrouper les termes par paquets, intervertir deux signes somme, dériver une série terme à terme. Aucune n'est légitime sans les résultats qui suivent.

11.2.1 Dénombrabilité

Définition 11.1Ensemble au plus dénombrable

Un ensemble $E$ est dit au plus dénombrable s'il est en bijection avec une partie de $N$ . Il est dit dénombrable s'il est en bijection avec $N$ tout entier, c'est-à-dire s'il peut être décrit en extension sous la forme d'une suite d'éléments deux à deux distincts :

$E = {x_{n}, n \in N} .$

Proposition 11.2Propriétés de stabilité de la dénombrabilité

Toute partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable.
L'ensemble $Z$ des entiers relatifs est dénombrable.
Le produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable (en particulier $N^{2}$ , $N^{k}$ , $Z^{k}$ ).
La réunion d'une famille au plus dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable :

$n \in N ⋃ E_{n} est d e ˊ nombrable si chaque E_{n} l’est .$

L'ensemble $Q$ des rationnels est dénombrable : par l'écriture irréductible $\frac{p}{q}$ ( $q \geq 1$ ), il s'identifie à une partie infinie de $Z \times N^{*}$ , dénombrable par le point précédent.

11.2.2 Familles sommables de réels positifs

Le cas positif est le cas confortable, et il faut savoir pourquoi : une somme de termes positifs croît quand on ajoute des termes, donc elle admet toujours une limite dans $[0, + \infty]$ , éventuellement infinie, et cette limite ne dépend pas de l'ordre d'addition. Il n'y a donc jamais rien à vérifier avant d'écrire $\sum_{i \in I} u_{i}$ lorsque les $u_{i}$ sont positifs : la seule question est de savoir si le résultat est fini.

C'est exactement la situation des probabilités, où tous les termes manipulés sont des $P (\cdot)$ , donc positifs. Le théorème de sommation par paquets qui suit est l'outil qui légitime la formule des probabilités totales, et le Fubini positif celui qui autorise à sommer une loi conjointe ligne par ligne ou colonne par colonne, au choix.

Définition 11.3Somme d'une famille positive dans

[0, + \infty]

Soit $I$ un ensemble au plus dénombrable et $(x_{i})_{i \in I}$ une famille d'éléments de $[0, + \infty]$ . On associe à cette famille sa somme $\sum_{i \in I} x_{i} \in [0, + \infty]$ définie par :

$i \in I \sum x_{i} = J \subset I, J fini sup j \in J \sum x_{j} .$

La famille $(x_{i})_{i \in I}$ est dite sommable si sa somme est finie : $\sum_{i \in I} x_{i} < + \infty$ .

◆Théorème 11.4Théorème de sommation par paquets et Fubini positif

Soit $(x_{i})_{i \in I}$ une famille d'éléments de $[0, + \infty]$ .

Pour tout découpage en paquets disjoints de $I$ : $I = ⨆_{n \in N} I_{n}$ , on a :

$i \in I \sum x_{i} = n = 0 \sum + \infty (i \in I_{n} \sum x_{i}) .$

Théorème de Fubini positif : Pour une famille $(a_{j, k})_{(j, k) \in J \times K}$ d'éléments de $[0, + \infty]$ indexée par un produit dénombrable :

$(j, k) \in J \times K \sum a_{j, k} = j \in J \sum (k \in K \sum a_{j, k}) = k \in K \sum j \in J \sum a_{j, k} .$

11.2.3 Familles sommables de nombres complexes

Hors du cas positif, la sommabilité se définit par $\sum_{i} ∣ u_{i} ∣ < + \infty$ : c'est encore la convergence absolue, comme au chapitre des séries. Le gain est le même, et il est décisif : une famille sommable peut être additionnée dans n'importe quel ordre sans que la somme change, ce qui n'a aucun sens pour une série seulement convergente. La série harmonique alternée, dont le réarrangement peut donner n'importe quel réel, reste le rappel de ce qui se passe sans cette hypothèse.

C'est ce qui explique la définition de l'espérance donnée plus loin : on n'exige pas que $\sum_{n} n P (X = n)$ converge, on exige qu'elle converge absolument. Sans cela, la valeur de $E (X)$ dépendrait de l'ordre d'énumération des valeurs de $X$ , c'est-à-dire de rien.

Définition 11.5Sommabilité dans

C

Une famille $(x_{i})_{i \in I}$ de nombres complexes est dite sommable si la famille des modules $(∣ x_{i} ∣)_{i \in I}$ est sommable dans $[0, + \infty [$ :

$i \in I \sum ∣ x_{i} ∣ < + \infty.$

Pour $I = N$ , la sommabilité équivaut à la convergence absolue de la série $\sum x_{n}$ .

◆Théorème 11.6Propriétés fondamentales des familles sommables complexes

Soient $(x_{i})_{i \in I}$ et $(y_{i})_{i \in I}$ deux familles sommables de nombres complexes.

Domination : Si $∣ z_{i} ∣ \leq ∣ x_{i} ∣$ pour tout $i \in I$ , alors $(z_{i})_{i \in I}$ est sommable et $∣ \sum_{i \in I} z_{i} ∣ \leq \sum_{i \in I} ∣ x_{i} ∣$ .
Linéarité : Pour tous $λ, μ \in C$ , la famille $(λ x_{i} + μ y_{i})_{i \in I}$ est sommable et :

$i \in I \sum (λ x_{i} + μ y_{i}) = λ i \in I \sum x_{i} + μ i \in I \sum y_{i} .$

Sommation par paquets : Si $I = ⨆_{n = 0}^{+ \infty} I_{n}$ , alors chaque sous-famille $(x_{i})_{i \in I_{n}}$ est sommable, la suite des sommes partielles $S_{n} = \sum_{i \in I_{n}} x_{i}$ forme une série absolument convergente, et :

$i \in I \sum x_{i} = n = 0 \sum + \infty (i \in I_{n} \sum x_{i}) .$

Théorème de Fubini : Si $\sum_{j \in J} \sum_{k \in K} ∣ a_{j, k} ∣ < + \infty$ , alors :

$(j, k) \in J \times K \sum a_{j, k} = j \in J \sum (k \in K \sum a_{j, k}) = k \in K \sum j \in J \sum a_{j, k} .$

Produit de deux sommes : Si $(u_{j})_{j \in J}$ et $(v_{k})_{k \in K}$ sont sommables, alors $(u_{j} v_{k})_{(j, k) \in J \times K}$ est sommable et :

$(j, k) \in J \times K \sum u_{j} v_{k} = j \in J \sum u_{j} (k \in K \sum v_{k}) .$

11.3 Espaces Probabilisés et Probabilités Conditionnelles

11.3.1 Espaces probabilisables, Tribus et Événements

Sur un univers fini, on attribuait une probabilité à toutes les parties de $Ω$ sans se poser de question. Dès que $Ω$ devient infini, cette générosité n'est plus tenable : il existe des parties auxquelles aucune probabilité ne peut être attribuée de façon cohérente. On choisit donc à l'avance la liste des parties qu'on accepte de mesurer — c'est la tribu, et ses éléments s'appellent des événements.

En classe de PC, cette précaution reste largement formelle : l'univers est au plus dénombrable et l'on prend pour tribu l'ensemble de toutes ses parties. La notion sert surtout à énoncer proprement les axiomes, et à donner un sens aux opérations infinies — réunion et intersection d'une suite d'événements — qui vont devenir l'ordinaire du chapitre.

Définition 11.7Tribu et Espace probabilisable

Soit $Ω$ un ensemble quelconque appelé univers. Une famille $A$ de parties de $Ω$ est appelée une tribu (ou $σ$ -algèbre) sur $Ω$ si :

$Ω \in A$ .
$A$ est stable par passage au complémentaire : $\forall A \in A, A ˉ = Ω ∖ A \in A$ .
$A$ est stable par réunion dénombrable : pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'éléments de $A$ ,

$n = 0 ⋃ + \infty A_{n} \in A .$

Le couple $(Ω, A)$ est appelé un espace probabilisable. Les éléments de $A$ sont appelés les événements.

Proposition 11.8Opérations sur les événements

Par les lois de De Morgan, une tribu est également stable par intersection dénombrable :

$n = 0 ⋂ + \infty A_{n} = n = 0 ⋃ + \infty A ˉ_{n} \in A .$

Traduction logique de la réalisation des événements :

$ω \in ⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} ⟺ \exists n \in N, ω \in A_{n}$ (au moins un événement $A_{n}$ est réalisé).
$ω \in ⋂_{n = 0}^{+ \infty} A_{n} ⟺ \forall n \in N, ω \in A_{n}$ (tous les événements $A_{n}$ sont réalisés simultanément).

11.3.2 Mesure de Probabilité et Continuité de la Mesure

Un seul axiome sépare ce chapitre des probabilités de première année : la $σ$ -additivité, qui étend l'additivité à une infinité dénombrable d'événements deux à deux incompatibles. Tout le reste en découle, y compris les deux théorèmes de continuité, qui sont l'outil de calcul le plus employé de la section.

Définition 11.9Probabilité et

σ

-additivité

Soit $(Ω, A)$ un espace probabilisable. Une application $P : A \to [0, 1]$ est appelée une probabilité sur $(Ω, A)$ si :

$P (Ω) = 1$ .
$σ$ -additivité : Pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements deux à deux disjoints ( $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ pour $i \neq = j$ ) :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) = n = 0 \sum + \infty P (A_{n}) .$

Le triplet $(Ω, A, P)$ est alors appelé un espace probabilisé.

Proposition 11.10Propriétés élémentaires de la probabilité

$P (\emptyset) = 0$ et $P (A ˉ) = 1 - P (A)$ .
$P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)$ .
Croissance : Si $A \subset B$ , alors $P (A) \leq P (B)$ et $P (B ∖ A) = P (B) - P (A)$ .

◆Théorème 11.11Théorèmes de Continuité Croissante et Décroissante

Soit $(Ω, A, P)$ un espace probabilisé.

Continuité croissante : Si $(A_{n})_{n \in N}$ est une suite croissante d'événements ( $A_{n} \subset A_{n + 1}$ pour tout $n$ ), alors :

$n \to + \infty lim P (A_{n}) = P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) .$

Continuité décroissante : Si $(B_{n})_{n \in N}$ est une suite décroissante d'événements ( $B_{n + 1} \subset B_{n}$ pour tout $n$ ), alors :

$n \to + \infty lim P (B_{n}) = P (n = 0 ⋂ + \infty B_{n}) .$

Démonstration (Démonstration de la continuité croissante)

Soit $(A_{n})_{n \in N}$ une suite croissante d'événements. Posons $C_{0} = A_{0}$ et pour tout $k \geq 1$ , $C_{k} = A_{k} ∖ A_{k - 1} = A_{k} \cap A ˉ_{k - 1}$ .

Les événements $(C_{k})_{k \in N}$ sont deux à deux disjoints.
Pour tout $n \in N$ , par télescopage ensembliste : $⋃_{k = 0}^{n} C_{k} = A_{n}$ .
De même, la réunion dénombrable coïncide : $⋃_{k = 0}^{+ \infty} C_{k} = ⋃_{n = 0}^{+ \infty} A_{n}$ .

Par $σ$ -additivité de la mesure de probabilité $P$ :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) = P (k = 0 ⋃ + \infty C_{k}) = k = 0 \sum + \infty P (C_{k}) = n \to + \infty lim k = 0 \sum n P (C_{k}) = n \to + \infty lim P (k = 0 ⋃ n C_{k}) = n \to + \infty lim P (A_{n}) .$

La continuité décroissante s'obtient immédiatement par passage au complémentaire : $B_{n} ↘ ⋂ B_{k} ⟺ B ˉ_{n} ↗ ⋃ B ˉ_{k}$ .

Proposition 11.12Sous-additivité dénombrable

Pour toute suite $(A_{n})_{n \in N}$ d'événements (non nécessairement disjoints ni monotones) :

$P (n = 0 ⋃ + \infty A_{n}) \leq n = 0 \sum + \infty P (A_{n}) .$

De plus, $lim_{n \to + \infty} P (⋃_{k = 0}^{n} A_{k}) = P (⋃_{k = 0}^{+ \infty} A_{k})$ et $lim_{n \to + \infty} P (⋂_{k = 0}^{n} A_{k}) = P (⋂_{k = 0}^{+ \infty} A_{k})$ .

Exercices du chapitre

Le lemme de Borel–Cantelli corrigé
L'absence de mémoire caractérise la loi géométrique corrigé
L'amincissement d'une loi de Poisson corrigé
Le minimum de deux géométriques indépendantes corrigé
L'oscillateur quantique à l'équilibre : la formule de Planck corrigé
La méthode du second moment, et les points fixes d'une permutation corrigé

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