Exercices corrigés — Séries Entières (mathématiques (PC))

21 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Rayon de convergence et lemme d'Abel

• Le rayon ne voit que l'ordre de grandeur Exercice de TD

B. Opérations, produit de Cauchy et calculs de sommes

• Multiplier par $\frac{1}{1-z}$, c'est cumuler Exercice de TD

E. Somme d'une série entière, régularité et équations différentielles

• Ce que la somme détermine : unicité et zéros isolés Exercice de TD
• Problème : la quantification de l'oscillateur harmonique, et les polynômes d'Hermite Exercice de TD

D. Fonctions génératrices et suites récurrentes

• Une récurrence quadratique : les nombres de Catalan Exercice de TD

C. Développements en série entière

• Développable, ou seulement ${\mathcal{C}}^{\infty }$ ? Exercice de TD
• La méthode de l'équation différentielle : ${\arcsin }^2$, et une série de somme $\frac{{\pi }^2}{18}$ Exercice de TD
• Développer une intégrale : la période du pendule simple Exercice de TD
• Le rayon d'une fraction rationnelle est la distance au pôle le plus proche Exercice de TD
• Le complexe au service du réel : Fabry–Pérot et intégrale de Poisson Exercice de TD

• $\ln 2$ et $\pi /4$ par le théorème d'Abel radial Exercice classique
• Parité d'une somme et parité de ses exposants Exercice classique

Niveau ★ — application directe du cours

• Calculs de rayons Application directe du cours

Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

• Produit et dérivation de séries entières Application directe du cours

Niveau ★★★ — approfondissement

• Développer par une équation différentielle Application directe du cours
• La fonction génératrice de Fibonacci Application directe du cours

Autres exercices résolus, par thème du cours

• Somme de la série $\sum n^2{x}^n$ pour $|x|<1$ Application directe du cours
• Une même série entière pour ch et Application directe du cours
• Cosinus et sinus retrouvés par y''+y=0 Application directe du cours
• Série génératrice des nombres de Lucas Application directe du cours

Z. Problèmes de concours corrigés

• Résolution de l'Équation Différentielle d'Airy Application directe du cours

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