Exercices corrigés — Séries Numériques (mathématiques (PC))

24 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Séries à termes positifs

• Produits infinis et probabilité de survie Exercice de TD
• Pas de série divergente « la plus lente » (Abel–Dini) Exercice de TD

B. Comparaison série-intégrale

• Séries de Bertrand : nature, reste, sommes partielles Exercice de TD
• La suite $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$ et la loi en $\sqrt{n}$ Exercice de TD

D. Règle de d'Alembert

• Quand d'Alembert se tait : la règle de Raabe–Duhamel Exercice de TD

E. Convergence absolue et séries alternées

• Réordonner une série : ce que permet la convergence absolue Exercice de TD
• Au-delà de l'équivalent : $\sum \ln \left(1+\frac{(-1{)}^n}{n^a}\right)$ Exercice de TD
• Le reste d'une série alternée vaut la moitié du premier terme omis Exercice de TD

F. Produit de Cauchy

• Le produit de Cauchy : ce qu'il donne, et ce qu'il exige Exercice de TD

C. Formule de Stirling

• La formule de Stirling, et le théorème local de de Moivre–Laplace Exercice de TD

• Une application linéaire passe sous le signe somme Exercice classique

Niveau ★ — application directe du cours

• La règle de d'Alembert en action Application directe du cours
• La suite des sommes $I_2+A+\cdots +A^N$ Application directe du cours
• Estimer un reste Application directe du cours

Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

• Sommes partielles d'une série divergente Application directe du cours
• Équivalent d'un reste : série-intégrale, puis télescopage Application directe du cours
• Cesàro et ses retombées Application directe du cours
• La série harmonique, par télescopage Application directe du cours

Niveau ★★★ — approfondissement

• La constante d'Euler, par le lien suite-série Application directe du cours

Autres exercices résolus, par thème du cours

• La constante des sommes partielles de $\sum 1/\sqrt{k}$ Application directe du cours
• Vitesse de convergence de la suite $u_{n+1}=\sin u_n$ Application directe du cours
• Convergence de $\sum \sqrt{u_n{u}_{n+1}}$ et réciproque fausse Application directe du cours
• Développement de $H_n$ à l'ordre $1/n$ Application directe du cours

Z. Problèmes de concours corrigés

• Constante d'Euler et développement asymptotique de la série harmonique Application directe du cours

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