Exercices corrigés — Espaces Vectoriels Normés et Topologie (mathématiques (PC))

23 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Normes

• Inégalité triangulaire et convexité de la boule unité Exercice de TD
• Le parallélogramme décide : le théorème de Jordan–von Neumann Exercice de TD

B. Suites, normes équivalentes

• Deux normes non équivalentes sur $\mathbb{R}[X]$, et la constante qui explose Exercice de TD

C. Topologie

• Densité de $G{L}_n(\mathbb{K})$ et ${\chi }_{AB}={\chi }_{BA}$ Exercice de TD
• Intérieur et adhérence des matrices diagonalisables de ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ Exercice de TD

Niveau ★★★ — approfondissement

• La dimension infinie en défaut Exercice classique

D. Limite et continuité

• Une norme qui voit la dérivée Exercice de TD
• L'inversion est continue : Cayley–Hamilton au service de la topologie Exercice de TD
• Le point fixe de Picard Exercice de TD

E. Parties fermées bornées et bornes atteintes

• Une positivité stricte devient uniforme ; ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ est ouvert Exercice de TD
• Le théorème de d'Alembert–Gauss, par les bornes atteintes Exercice de TD

Niveau ★ — application directe du cours

• Norme ou pas ? Application directe du cours
• Les trois normes Application directe du cours

Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

• Normes non équivalentes Application directe du cours
• Densité et unicité Application directe du cours
• Une application linéaire lipschitzienne, et une norme équivalente Application directe du cours

Autres exercices résolus, par thème du cours

• La constante optimale entre $\Vert x{\Vert }_1$ et $\Vert x{\Vert }_2$ Application directe du cours
• Moyenne et moyenne quadratique sur C([0,1]) Application directe du cours
• Trois fermés classiques de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$ Application directe du cours
• Séparer deux fermés disjoints par une fonction continue Application directe du cours
• Le maximum des lignes : une norme sur les matrices, et la convergence de $A^p$ Application directe du cours
• Ce que ${}^{t}AA$ dit de $\Vert AX{\Vert }_2$ Application directe du cours

Z. Problèmes de concours corrigés

• Le groupe orthogonal est fermé et borné Application directe du cours

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