Exercices corrigés — Réduction des Endomorphismes et Matrices Carrées (mathématiques (PC))

23 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

A. Sous-espaces stables et éléments propres

• Matrices stochastiques : le spectre dans le disque unité Exercice de TD
• Hyperplans stables : les vecteurs propres de la transposée Exercice de TD

B. Polynôme caractéristique et multiplicités

• La matrice compagnon : tout polynôme est caractéristique, tout sous-espace propre est une droite Exercice de TD
• Les matrices de rang 1 Exercice de TD

C. Diagonalisabilité et critères fondamentaux

• L'opérateur de Legendre Exercice de TD
• Le commutateur $M\mapsto AM-MA$ et les fréquences de Bohr Exercice de TD
• Problème : la chaîne d'oscillateurs, spectre du laplacien discret et relation de dispersion Exercice de TD

Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

• Commutant d'une matrice à spectre simple Exercice classique
• Puissances par diagonalisation Application directe du cours
• Diagonaliser sans rien calculer Application directe du cours

D. Diagonalisabilité par les polynômes annulateurs

• $u^2$ diagonalisable et $u$ inversible Exercice de TD
• Codiagonalisation : une base propre commune Exercice de TD

E. Trigonalisation

• Trigonaliser pour lire : $P(A)$, les traces, la nilpotence Exercice de TD

• Partie diagonalisable et partie nilpotente qui commutent Exercice classique

Niveau ★ — application directe du cours

• Premiers éléments propres Application directe du cours
• Lire un spectre Application directe du cours
• Diagonalisation complète en dimension 3 Application directe du cours

Niveau ★★★ — approfondissement

• Quand $u^3=u$ : trois sous-espaces propres Application directe du cours
• Une matrice nilpotente Application directe du cours
• Décomposition D + N et puissances Application directe du cours

Autres exercices résolus, par thème du cours

• Un sous-espace stable l'est aussi par l'inverse Application directe du cours
• uv et vu ont toujours le même spectre Application directe du cours
• Déterminant négatif en dimension 2 : diagonalisable Application directe du cours

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