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mathématiques (PCSI) · Chapitre 1 · Application directe du cours

Division euclidienne

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · G. Divisibilité, division euclidienne, PGCD et PPCM · niveau 1 (application)

Énoncé

Effectuer la division euclidienne de $2026$ par $17$ , puis celle de $- 2026$ par $17$ .
Montrer que le reste de la division euclidienne de $n^{2}$ par $4$ vaut $0$ si $n$ est pair, et $1$ si $n$ est impair.

Corrigé

On a $17 \times 119 = 2023$ , donc $2026 = 17 \times 119 + 3$ : quotient $119$ , reste $3$ . Pour $- 2026$ , attention : $- 2026 = 17 \times (- 119) - 3$ ne convient pas, car le reste doit être positif. On écrit $- 2026 = 17 \times (- 120) + 14$ (en effet $17 \times 120 = 2040$ et $2040 - 2026 = 14$ ) : quotient $- 120$ , reste $14$ .
On raisonne par disjonction des cas.

Si $n$ est pair, $n = 2 k$ avec $k \in Z$ , donc $n^{2} = 4 k^{2} = 4 \times k^{2} + 0$ : le reste vaut $0$ .
Si $n$ est impair, $n = 2 k + 1$ avec $k \in Z$ , donc $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 4 (k^{2} + k) + 1$ : comme $0 \leq 1 < 4$ , le reste vaut $1$ .

Par unicité du couple (quotient, reste) de la division euclidienne, la conclusion est acquise dans les deux cas.

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