Division euclidienne

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PCSI), chapitre 1 — Raisonnement et vocabulaire ensembliste · G. Divisibilité, division euclidienne, PGCD et PPCM

Énoncé

Effectuer la division euclidienne de $2026$ par $17$ , puis celle de $- 2026$ par $17$ .
Montrer que le reste de la division euclidienne de $n^{2}$ par $4$ vaut $0$ si $n$ est pair, et $1$ si $n$ est impair.

Corrigé

On a $17 \times 119 = 2023$ , donc $2026 = 17 \times 119 + 3$ : quotient $119$ , reste $3$ . Pour $- 2026$ , attention : $- 2026 = 17 \times (- 119) - 3$ ne convient pas, car le reste doit être positif. On écrit $- 2026 = 17 \times (- 120) + 14$ (en effet $17 \times 120 = 2040$ et $2040 - 2026 = 14$ ) : quotient $- 120$ , reste $14$ .
On raisonne par disjonction des cas.

Si $n$ est pair, $n = 2 k$ avec $k \in Z$ , donc $n^{2} = 4 k^{2} = 4 \times k^{2} + 0$ : le reste vaut $0$ .
Si $n$ est impair, $n = 2 k + 1$ avec $k \in Z$ , donc $n^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1 = 4 (k^{2} + k) + 1$ : comme $0 \leq 1 < 4$ , le reste vaut $1$ .

Par unicité du couple (quotient, reste) de la division euclidienne, la conclusion est acquise dans les deux cas.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.