Image directe de l'intersection

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · F. Applications, images directes et réciproques · niveau 2

Énoncé

Soit $f : E \to F$ une application, et $A, B$ deux parties de $E$ .

Montrer que $f (A \cap B) \subset f (A) \cap f (B)$ .
Donner un contre-exemple montrant que l'inclusion réciproque est généralement fausse.

Soit $y \in f (A \cap B)$ . Par définition de l'image directe, il existe $x \in A \cap B$ tel que $y = f (x)$ . Puisque $x \in A \cap B$ , on a $x \in A$ et $x \in B$ . Comme $x \in A$ , on a $y = f (x) \in f (A)$ . Comme $x \in B$ , on a $y = f (x) \in f (B)$ . Par conséquent, $y \in f (A) \cap f (B)$ , ce qui démontre l'inclusion.
Contre-exemple : Considérons l'application constante $f : {1, 2} \to {3}$ définie par $f (1) = 3$ et $f (2) = 3$ . Soient $A = {1}$ et $B = {2}$ . On a $A \cap B = \emptyset$ , donc $f (A \cap B) = f (\emptyset) = \emptyset$ . Mais $f (A) = {3}$ et $f (B) = {3}$ , de sorte que $f (A) \cap f (B) = {3} \neq = \emptyset$ . L'inclusion réciproque est donc fausse.