Irrationalité de $\sqrt{3}$

• On raisonne par contraposition et disjonction des cas : supposons $3\nmid a$. La division euclidienne de $a$ par $3$ s'écrit $a=3k+r$ avec $r\in \{1,2\}$.

• Si $r=1$ : $a^2=9k^2+6k+1=3(3k^2+2k)+1$, de reste $1$ dans la division par $3$.
• Si $r=2$ : $a^2=9k^2+12k+4=3(3k^2+4k+1)+1$, de reste $1$ également.

Dans les deux cas, $3\nmid a^2$. Par contraposition, si $3\mid a^2$ alors $3\mid a$.

• Supposons par l'absurde $\sqrt{3}\in \mathbb{Q}$ : il existe $p\in \mathbb{Z}$ et $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ tels que $\sqrt{3}=\frac{p}{q}$, la fraction étant irréductible (on peut toujours s'y ramener en divisant $p$ et $q$ par leur PGCD). En élevant au carré : $3q^2=p^2$, donc $3\mid p^2$, d'où $3\mid p$ par la première question. Écrivons $p=3p^{\prime }$ : alors $3q^2=9p^{\prime 2}$, soit $q^2=3p^{\prime 2}$. Donc $3\mid q^2$, d'où $3\mid q$. Ainsi $3$ divise à la fois $p$ et $q$, ce qui contredit l'irréductibilité de la fraction. Conclusion : $\sqrt{3}\notin \mathbb{Q}$. (La démarche est identique à celle utilisée pour $\sqrt{2}$ dans le cours, la parité étant remplacée par le reste de la division par $3$.)