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mathématiques (PCSI) · Chapitre 1 · Application directe du cours

Propriétés algébriques de la fonction indicatrice

Raisonnement et vocabulaire ensembliste · E. Vocabulaire des ensembles · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $E$ un ensemble, et $A, B$ deux parties de $E$ . Exprimer $1_{A^{c}}$ , $1_{A \cap B}$ et $1_{A \cup B}$ en fonction de $1_{A}$ et $1_{B}$ .

Corrigé

Soit $x \in E$ .

Complémentaire : Par définition, $1_{A^{c}} (x) = 1$ si $x \in / A$ , et $0$ si $x \in A$ . On remarque directement que $1_{A^{c}} (x) = 1 - 1_{A} (x)$ .
Intersection : $1_{A \cap B} (x) = 1$ si et seulement si $x \in A$ et $x \in B$ , ce qui équivaut à $1_{A} (x) = 1$ et $1_{B} (x) = 1$ . Dans tous les cas (y compris 0), on a :

$1_{A \cap B} (x) = 1_{A} (x) \cdot 1_{B} (x)$

Union : Par les lois de De Morgan, $A \cup B = (A^{c} \cap B^{c})^{c}$ . Par suite :

$1_{A \cup B} = 1 - 1_{A^{c} \cap B^{c}} = 1 - (1 - 1_{A}) (1 - 1_{B}) = 1_{A} + 1_{B} - 1_{A} \cdot 1_{B}$

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