Renforcer l'hypothèse de récurrence

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le principe de récurrence, et la relation entre deux termes consécutifs, le $(n+1)$-ième facteur étant $\frac{2(n+1)-1}{2(n+1)}$ : $$P_{n+1}=P_n\times \frac{2n+1}{2n+2}.$$ Deux réels strictement positifs se comparent par leurs carrés. Notons ${\mathcal{H}}_n$ l'assertion « $P_n<\frac{1}{\sqrt{3n}}$ » et ${\mathcal{K}}_n$ l'assertion « $P_n\le \frac{1}{\sqrt{3n+1}}$ ».

a) L'échec de la récurrence directe.

Initialisation. $P_1=\frac{1}{2}$, et $\frac{1}{2}<\frac{1}{\sqrt{3}}$ puisque $\sqrt{3}<2$ (car $3<4$) : ${\mathcal{H}}_1$ est vraie.

Tentative d'hérédité. Soit $n\ge 1$ tel que ${\mathcal{H}}_n$ soit vraie. En multipliant l'inégalité stricte $P_n<\frac{1}{\sqrt{3n}}$ par le réel strictement positif $\frac{2n+1}{2n+2}$, on obtient $$P_{n+1}<M_n,\text{ouˋ}{M}_n=\frac{2n+1}{(2n+2)\sqrt{3n}}.$$ C'est tout ce que l'hypothèse fournit ; pour conclure ${\mathcal{H}}_{n+1}$, il faudrait $M_n\le \frac{1}{\sqrt{3n+3}}$. Comparons les carrés : $$M_n^2>\frac{1}{3n+3}⟺(2n+1{)}^2(3n+3)>(2n+2{)}^2\cdot 3n,$$ en chassant les dénominateurs, qui sont strictement positifs. Développons les deux membres : $$(2n+1{)}^2(3n+3)=(4n^2+4n+1)(3n+3)=12n^3+24n^2+15n+3,$$ $$(2n+2{)}^2\cdot 3n=(4n^2+8n+4)\cdot 3n=12n^3+24n^2+12n.$$ La différence vaut $3n+3$, strictement positive : pour tout $n\ge 1$, le majorant $M_n$ est strictement au-dessus de la cible $\frac{1}{\sqrt{3(n+1)}}$.

Pourquoi l'hérédité ne se referme pas. L'hypothèse dit que $P_n$ est sous $\frac{1}{\sqrt{3n}}$, mais pas de combien : un réel sous cette borne, mais très près d'elle, donnerait après multiplication un nombre très proche de $M_n$, donc au-dessus de la cible. On ne peut pas déduire ${\mathcal{H}}_{n+1}$ de ${\mathcal{H}}_n$, et ce à tout rang : il manque toujours la marge $3n+3$. L'inégalité ${\mathcal{H}}_n$ est pourtant vraie — on va le prouver — mais trop faible pour se transmettre d'un rang au suivant.