Exercices corrigés — Matrices (mathématiques (PCSI))
25 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.
A. Matrices d'applications linéaires
- Le triangle de Pascal est la matrice de Exercice de TD
- Une application linéaire donnée par les images d'une base Exercice de TD
- Matrice d'une application linéaire Application directe du cours
- Rotation et homothétie Application directe du cours
- La conjugaison vue comme une matrice Application directe du cours
B. Noyau, image, rang
- Une matrice à diagonale strictement dominante est inversible Exercice de TD
- Le rang d'un produit : l'inégalité de Sylvester Exercice de TD
- Les matrices de rang 1 Exercice classique
- Un produit qui ne peut pas être inversible Exercice classique
- Problème — Le rang des lignes égale le rang des colonnes Exercice de TD
- Calcul de rang Application directe du cours
- Noyau et image d'une matrice Application directe du cours
- Un rang qui dépend d'un paramètre Application directe du cours
C. Systèmes linéaires
- Les lois de Kirchhoff : combien d'équations indépendantes ? Exercice de TD
- Système de Cramer Application directe du cours
- Trois équations, deux inconnues : quand y a-t-il une solution ? Application directe du cours
- Deux systèmes homogènes, deux conclusions opposées Application directe du cours
D. Changements de bases et matrices semblables
- Symétries et projecteurs en matrices ; miroirs et catadioptre Exercice de TD
- Réaction : la base qui découple Exercice de TD
- et Exercice de TD
- Un nilpotent d'indice est un bloc de Jordan Exercice de TD
- La matrice de uns, rendue diagonale Exercice classique
- Changement de coordonnées Application directe du cours
- Endomorphisme dans une bonne base Application directe du cours
- Ce que la similitude conserve, et ce qu'elle ne dit pas Application directe du cours