Exercices corrigés — Déterminants (mathématiques (PCSI))

25 exercices avec corrigé rédigé, du plus simple au plus exigeant.

B. Propriétés et raisonnements

• La famille $(x_1+x_2,\dots ,x_n+x_1)$ : une base si et seulement si $n$ est impair Exercice de TD
• Projecteurs, symétries, nilpotents : l'équation, puis la base adaptée Exercice de TD
• Deux obstructions de parité Exercice de TD
• Le déterminant d'une symétrie compte les vecteurs retournés Exercice classique
• Un carré égal à moins l'identité Exercice classique
• Jeux sur les propriétés Application directe du cours
• Le déterminant n'est pas linéaire Application directe du cours
• Une matrice entière d'inverse entière Application directe du cours

C. Géométrie et applications

• Dériver un déterminant : la loi des aires et le wronskien Exercice de TD
• Du facteur d'aire à l'élément de volume Exercice de TD
• Deux circuits couplés : pulsations propres et résonance Exercice de TD
• Les formules de Cramer Exercice classique
• Aire orientée et échange Application directe du cours
• Aire d'un triangle Application directe du cours
• Trois points alignés, deux multiplications Application directe du cours
• Le volume d'un tétraèdre régulier Application directe du cours

A. Calculs de déterminants

• $a$ sur la diagonale, $b$ partout ailleurs Exercice de TD
• Le déterminant circulant et les racines cubiques de l'unité Exercice de TD
• La matrice $\min (i,j)$ est un produit de deux triangulaires Exercice de TD
• Problème — Déterminants tridiagonaux et polynômes de Tchebychev Exercice de TD
• Premiers déterminants Application directe du cours
• Par échelonnement Application directe du cours
• Base ou pas ? Application directe du cours
• Déterminant à paramètre Application directe du cours
• Sortir un facteur de chaque ligne Application directe du cours

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