Déterminants

L'aire algébrique du parallélogramme construit sur deux vecteurs $u,v$ du plan a trois propriétés caractéristiques : elle est linéaire en chaque vecteur (doubler $u$ double l'aire ; concaténer deux parallélogrammes additionne les aires), elle est nulle si $u=v$ (parallélogramme aplati), et elle est orientée : échanger $u$ et $v$ change son signe. Le déterminant axiomatise exactement ces propriétés, en toute dimension.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $e=(e_1,\dots ,e_n)$ une base de $E$. Il existe une unique application ${\det }_e:E^n\to \mathbb{K}$ vérifiant les trois propriétés suivantes :

• elle est linéaire par rapport à chacune de ses $n$ variables (les autres étant fixées) ;
• elle est alternée : ${\det }_e(x_1,\dots ,x_n)=0$ dès que deux des vecteurs sont égaux ;
• elle est normalisée : ${\det }_e(e_1,\dots ,e_n)=1$.

De plus, toute application $f:E^n\to \mathbb{K}$ linéaire par rapport à chaque variable et alternée est un multiple de ${\det }_e$ : $f=f(e_1,\dots ,e_n){\det }_e$.

La démonstration de ce théorème, ainsi que la notion générale de forme multilinéaire, sont hors programme : nous l'admettons, et nous en tirons toutes les conséquences pratiques — à commencer par les formules explicites en dimensions $2$ et $3$.

• Échange : échanger deux vecteurs change le signe de ${\det }_e$.
• Si la famille $(x_1,\dots ,x_n)$ est liée, alors ${\det }_e(x_1,\dots ,x_n)=0$. En particulier, le déterminant est nul dès qu'un vecteur est nul, et il est inchangé quand on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.