Déterminants

L'aire algébrique du parallélogramme construit sur deux vecteurs $u,v$ du plan a trois propriétés caractéristiques : elle est linéaire en chaque vecteur (doubler $u$ double l'aire ; concaténer deux parallélogrammes additionne les aires), elle est nulle si $u=v$ (parallélogramme aplati), et elle est orientée : échanger $u$ et $v$ change son signe. Le déterminant axiomatise exactement ces propriétés, en toute dimension.

Soit $E$ un $\mathbb{K}$-espace vectoriel de dimension $n$ et $e=(e_1,\dots ,e_n)$ une base de $E$. Il existe une unique application ${\det }_e:E^n\to \mathbb{K}$ vérifiant les trois propriétés suivantes :

• elle est linéaire par rapport à chacune de ses $n$ variables (les autres étant fixées) ;
• elle est alternée : ${\det }_e(x_1,\dots ,x_n)=0$ dès que deux des vecteurs sont égaux ;
• elle est normalisée : ${\det }_e(e_1,\dots ,e_n)=1$.

De plus, toute application $f:E^n\to \mathbb{K}$ linéaire par rapport à chaque variable et alternée est un multiple de ${\det }_e$ : $f=f(e_1,\dots ,e_n){\det }_e$.

La démonstration de ce théorème, ainsi que la notion générale de forme multilinéaire, sont hors programme : nous l'admettons, et nous en tirons toutes les conséquences pratiques — à commencer par les formules explicites en dimensions $2$ et $3$.

• Échange : échanger deux vecteurs change le signe de ${\det }_e$.
• Si la famille $(x_1,\dots ,x_n)$ est liée, alors ${\det }_e(x_1,\dots ,x_n)=0$. En particulier, le déterminant est nul dès qu'un vecteur est nul, et il est inchangé quand on ajoute à un vecteur une combinaison linéaire des autres.

Si $x_j={\sum }_i{a}_{i,j}{e}_i$, alors en dimension $2$ :

$$\underset{e}{\det }(x_1,x_2)=\det \left(\begin{array}{cc}a& c\\ b& d\end{array}\right)=ad-bc,$$

et en dimension $3$ :

$$\det \left(\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right)=a_1{b}_2{c}_3+b_1{c}_2{a}_3+c_1{a}_2{b}_3-a_3{b}_2{c}_1-b_3{c}_2{a}_1-c_3{a}_2{b}_1$$

— c'est la règle de Sarrus, valable uniquement en dimension $3$.

Dans ${\mathbb{R}}^2$ (resp. ${\mathbb{R}}^3$) muni de la base canonique, $\det (u,v)$ est l'aire orientée du parallélogramme (resp. $\det (u,v,w)$ le volume orienté du parallélépipède) construit sur les vecteurs. Ainsi $\det \left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)=1\times 4-3\times 2=-2$ : le parallélogramme construit sur $(1,3)$ et $(2,4)$ a pour aire $2$, et la famille est dans le sens indirect.

• Si $e$ et $e^{\prime }$ sont deux bases : ${\det }_{e^{\prime }}={\det }_{e^{\prime }}(e){\det }_e$ (toute application $n$-linéaire alternée est un multiple de ${\det }_e$, d'après le théorème admis), avec en particulier ${\det }_e(e^{\prime }){\det }_{e^{\prime }}(e)=1$.
• La famille $(x_1,\dots ,x_n)$ est une base si et seulement si ${\det }_e(x_1,\dots ,x_n)\ne 0$.

$$\det (v\circ u)=\det (v)\det (u),u\in \mathrm{GL}(E)⟺\det (u)\ne 0,\text{et alors }\det \left(u^{-1}\right)=\frac{1}{\det u}.$$

• $\det (AB)=\det (A)\det (B)$   et   $\det (\lambda A)={\lambda }^n\det (A)$ ($n$-linéarité : $\lambda$ sort de chaque colonne !) ;
• $A\in {\mathrm{GL}}_n(\mathbb{K})⟺\det A\ne 0$, et alors $\det \left(A^{-1}\right)=\frac{1}{\det A}$ ;
• $\boxed{\det \left(A^{\top }\right)=\det (A)}$ (démonstration hors programme) : le déterminant est donc aussi $n$-linéaire alterné par rapport aux lignes — tout ce qui vaut pour les colonnes vaut pour les lignes.

• $C_i\leftarrow C_i+\lambda C_j$ (transvection) : déterminant inchangé ;
• $C_i\leftrightarrow C_j$ (échange) : déterminant multiplié par $-1$ ;
• $C_i\leftarrow \lambda C_i$ (dilatation) : déterminant multiplié par $\lambda$ ;

et de même pour les lignes. Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit des coefficients diagonaux — d'où la stratégie : échelonner en comptabilisant les opérations.