Intégration

Cours complet · mathématiques (PCSI), chapitre 13 · CPGE PCSI (1re année)

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<i class="fa-solid fa-compass mr-2" style="color:#9A563B"></i>13.1 Introduction et motivation

Le chapitre 4 a manipulé les intégrales en s'appuyant sur les primitives ; ce chapitre fonde la notion : l'objectif principal est d'établir les propriétés principales de l'intégrale d'une fonction continue sur un segment, de manière à achever la justification des techniques de calcul du chapitre 4. La construction de l'intégrale n'est pas un attendu du programme, mais il faut avoir été sensibilisé à cette problématique : c'est le rôle des fonctions en escalier qui ouvrent le chapitre. C'est aussi l'occasion de revenir sur les techniques de calcul, de traiter des exercices d'esprit plus théorique, et de retrouver la problématique de l'approximation : les sommes de Riemann et la comparaison des méthodes des rectangles et des trapèzes prolongent les vitesses de convergence des chapitres 6 et 9.

On travaille d'abord avec des fonctions à valeurs réelles ; une brève extension aux fonctions à valeurs complexes — en séparant parties réelle et imaginaire — clôt le chapitre.

13.2 Subdivisions et fonctions en escalier

Définition 13.1Subdivisions, fonctions en escalier

Une subdivision du segment $[a, b]$ est une suite finie $σ = (a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n})$ avec $a = a_{0} < a_{1} < \dots < a_{n} = b$ ; son pas est $max_{i} (a_{i + 1} - a_{i})$ . Une fonction $φ : [a, b] \to R$ est en escalier s'il existe une subdivision telle que $φ$ soit constante sur chaque intervalle ouvert $] a_{i}, a_{i + 1} [$ (les valeurs aux points $a_{i}$ sont quelconques).

Définition 13.2Intégrale d'une fonction en escalier

Si $φ$ vaut $c_{i}$ sur chaque $] a_{i}, a_{i + 1} [$ , on pose

$\int_{[a, b]} φ = i = 0 \sum n - 1 (a_{i + 1} - a_{i}) c_{i} :$

la somme des aires algébriques des rectangles. Cette valeur ne dépend ni de la subdivision adaptée choisie (raffiner : couper un rectangle en deux ne change pas son aire), ni des valeurs de $φ$ aux points $a_{i}$ .

iRemarqueSensibilisation à la construction de l'intégrale

Les fonctions en escalier sont les briques de la construction de l'intégrale : toute fonction continue sur un segment peut être approchée, d'aussi près que l'on veut, par des fonctions en escalier, et l'on définit alors $\int f$ comme la limite de leurs intégrales. Cette construction n'est pas un attendu du programme — le théorème d'existence ci-dessous est admis — mais l'idée doit être retenue : l'intégrale est une aire de rectangles, poussée à la limite.

13.3 Intégrale d'une fonction continue sur un segment

◆Théorème 13.3Définition de l'intégrale (admise)

À toute fonction $f$ continue sur $[a, b]$ , à valeurs réelles, on associe son intégrale

$\int_{[a, b]} f = \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} f (t) d t \in R,$

obtenue par approximation à partir des fonctions en escalier (leurs intégrales convergent quand l'approximation s'affine ; la construction n'est pas un attendu du programme). Interprétation géométrique : $\int_{a}^{b} f$ est l'aire algébrique entre la courbe et l'axe — comptée positivement au-dessus, négativement en dessous.

◆Théorème 13.4Propriétés fondamentales

Pour $f, g$ continues sur $[a, b]$ ( $a \leq b$ ), à valeurs réelles :

Linéarité : $\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g$ ;
Positivité et croissance : $f \geq 0 \Rightarrow \int_{a}^{b} f \geq 0$ ; $f \leq g \Rightarrow \int_{a}^{b} f \leq \int_{a}^{b} g$ ;
Inégalité triangulaire intégrale : $\int_{[a, b]} f \leq \int_{[a, b]} ∣ f ∣$ ;
Relation de Chasles : $\int_{a}^{c} f = \int_{a}^{b} f + \int_{b}^{c} f$ .

On étend la notation au cas $b \leq a$ en posant $\int_{a}^{b} f = - \int_{b}^{a} f$ : la linéarité et Chasles subsistent (mais les inégalités exigent des bornes croissantes !).

◆Théorème 13.5Fonction continue positive d'intégrale nulle

Si $f$ est continue sur $[a, b]$ , à valeurs dans $R^{+}$ , et si $\int_{[a, b]} f = 0$ , alors $f = 0$ .

Démonstration

Par contraposée : si $f (x_{0}) = m > 0$ en un point, la continuité fournit un petit segment $[c, d] ∋ x_{0}$ ( $c < d$ ) sur lequel $f \geq \frac{m}{2}$ . Par croissance et Chasles :

$\int_{a}^{b} f \geq \int_{c}^{d} f \geq \frac{m}{2} (d - c) > 0.$

(L'hypothèse de continuité est essentielle : une fonction en escalier nulle sauf en un point a une intégrale nulle sans être nulle.)

Proposition 13.6Parité, périodicité, valeur moyenne

Si $f$ est paire : $\int_{- a}^{a} f = 2 \int_{0}^{a} f$ ; si $f$ est impaire : $\int_{- a}^{a} f = 0$ .
Si $f$ est $T$ -périodique : $\int_{x}^{x + T} f$ ne dépend pas de $x$ (l'intégrale sur une période est invariante par translation).
La valeur moyenne de $f$ sur $[a, b]$ est $\frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f$ : la hauteur du rectangle de même aire.

13.4 Sommes de Riemann

◆Théorème 13.7Convergence des sommes de Riemann

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ . Alors :

$\frac{b - a}{n} k = 0 \sum n - 1 f (a + k \frac{b - a}{n}) n \to + \infty \int_{a}^{b} f (t) d t .$

Interprétation géométrique : la somme est l'aire des $n$ rectangles de base $\frac{b - a}{n}$ s'appuyant sur la courbe (méthode des rectangles à gauche) ; quand le pas tend vers $0$ , les rectangles épousent l'aire sous la courbe.

Démonstration (Démonstration (pour

f

lipschitzienne — non exigible en PCSI))

Soit $K$ une constante de Lipschitz de $f$ , et notons $x_{k} = a + k \frac{b - a}{n}$ . Sur chaque $[x_{k}, x_{k + 1}]$ :

$\int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} f (t) d t - \frac{b - a}{n} f (x_{k}) = \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} (f (t) - f (x_{k})) d t \leq \int_{x_{k}}^{x_{k + 1}} K ∣ t - x_{k} ∣ d t = \frac{K}{2} (\frac{b - a}{n})^{2} .$

En sommant les $n$ morceaux (Chasles + inégalité triangulaire) :

$\int_{a}^{b} f - S_{n} \leq n \cdot \frac{K}{2} (\frac{b - a}{n})^{2} = \frac{K ( b - a ) ^{2}}{2 n} n \to \infty 0.$

ImportantRectangles contre trapèzes : la problématique de l'approximation

Pour $f$ de classe $C^{2}$ , l'erreur de la méthode des rectangles est en $O (\frac{1}{n})$ (et ne peut pas mieux faire dès que $f (a) \neq = f (b)$ ), tandis que celle des trapèzes — qui remplace chaque rectangle par le trapèze joignant les deux points de la courbe — est en $O (\frac{1}{n ^{2}})$ : doubler l'effort de calcul divise l'erreur par 2 pour les rectangles, par 4 pour les trapèzes. Même problématique qu'aux chapitres 6 et 9 : à coût égal, l'ordre de la méthode fait toute la différence (l'exercice 9 chiffre le phénomène).

13.5 Lien entre intégrale et primitives

◆Théorème 13.8Le théorème fondamental de l'analyse

Soit $f$ continue sur un intervalle $I$ et $a \in I$ .

La fonction $F : x \mapsto \int_{a}^{x} f (t) d t$ est de classe $C^{1}$ sur $I$ et $F^{'} = f$ .
En conséquence, toute fonction continue sur un intervalle possède des primitives, et pour toute primitive $G$ de $f$ :

$\int_{a}^{b} f (t) d t = G (b) - G (a) .$

Démonstration

Fixons $x_{0} \in I$ et étudions le taux d'accroissement : par Chasles,

$\frac{F ( x ) - F ( x _{0} )}{x - x _{0}} - f (x_{0}) = \frac{1}{x - x _{0}} \int_{x_{0}}^{x} (f (t) - f (x_{0})) d t .$

Soit $ε > 0$ : par continuité de $f$ en $x_{0}$ , il existe $δ$ tel que $∣ f (t) - f (x_{0}) ∣ \leq ε$ pour $∣ t - x_{0} ∣ \leq δ$ ; l'inégalité triangulaire intégrale majore alors le membre de droite par $ε$ . Donc $F^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ . Le reste suit : deux primitives diffèrent d'une constante (chapitre 6), d'où la formule $G (b) - G (a)$ .

iRemarque

Ce théorème justifie a posteriori tout le chapitre 4 : primitives usuelles, intégration par parties, changement de variable y reposaient. Il relie les deux visages de l'intégrale : aire (définition de ce chapitre) et antidérivée (pratique du chapitre 4).

13.6 Inégalité de Taylor-Lagrange

◆Théorème 13.9Inégalité de Taylor-Lagrange

Soit $f$ de classe $C^{n + 1}$ sur un intervalle contenant $a$ et $x$ . Si $f^{(n + 1)} \leq M_{n + 1}$ sur le segment d'extrémités $a$ et $x$ :

$f (x) - k = 0 \sum n \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} \leq M_{n + 1} \frac{∣ x - a ∣ ^{n + 1}}{( n + 1 )!} .$

iRemarque

Cette inégalité est admise : la formule de Taylor avec reste intégral, qui permettrait de la démontrer, n'est pas exigible en PCSI, et l'égalité de Taylor-Lagrange est hors programme. Retenir le membre de droite : la dérivée d'ordre $n + 1$ bornée, divisée par $(n + 1)!$ — c'est la factorielle qui fait la puissance de l'outil.

ImportantLocal contre global

Ne pas confondre les deux formules de Taylor du programme :

Taylor-Young (chapitre 9) est locale : $f (x) = \sum \frac{f ^{(k)} ( a )}{k !} (x - a)^{k} + o ((x - a)^{n})$ ne dit quelque chose que pour $x \to a$ — parfaite pour les limites et les développements limités, muette sur la taille de l'erreur en un $x$ donné.
L'inégalité de Taylor-Lagrange est globale : elle majore l'erreur en tout point — indispensable pour approcher ( $e \approx \sum \frac{1}{k !}$ à $1 0^{- p}$ près), prouver des convergences, contrôler des algorithmes.

Exemple 13.10

Pour $f = sin$ ( $f^{(5)} \leq 1$ ) et $a = 0$ : $sin x - (x - \frac{x ^{3}}{6}) \leq \frac{∣ x ∣ ^{5}}{120}$ . En $x = 0, 1$ : erreur $\leq 8, 3 \times 1 0^{- 8}$ — l'approximation polynomiale est certifiée, pas seulement asymptotique.

13.7 Brève extension aux fonctions à valeurs complexes

Définition 13.11Intégrale d'une fonction continue à valeurs complexes

Pour $f : [a, b] \to C$ continue, on définit l'intégrale au moyen des parties réelle et imaginaire :

$\int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a}^{b} Re f (t) d t + i \int_{a}^{b} Im f (t) d t \in C .$

Proposition 13.12Propriétés dans le cas complexe

Linéarité (à coefficients complexes) : $\int_{a}^{b} (λ f + μg) = λ \int_{a}^{b} f + μ \int_{a}^{b} g$ ;
Majoration du module : $\int_{[a, b]} f \leq \int_{[a, b]} ∣ f ∣$ ;
L'inégalité de Taylor-Lagrange subsiste telle quelle pour $f$ de classe $C^{n + 1}$ à valeurs complexes.

La relation de Chasles et le théorème fondamental s'étendent aussi (séparer parties réelle et imaginaire) ; en revanche, les énoncés de positivité et de croissance n'ont plus de sens : $C$ n'est pas ordonné.

Exemple 13.13

La fonction $t \mapsto e^{i t}$ a pour primitive $t \mapsto \frac{e ^{i t}}{i} = - i e^{i t}$ , d'où $\int_{0}^{2 π} e^{i t} d t = 0$ , alors que $\int_{0}^{2 π} e^{i t} d t = 2 π$ : la majoration du module peut être très large — les valeurs de $e^{i t}$ tournent et se compensent. Plus généralement, pour $λ \in C^{*}$ , $\frac{e ^{λ t}}{λ}$ est une primitive de $e^{λ t}$ : intégrer $e^{(1 + i) t}$ puis prendre la partie réelle calcule $\int e^{t} cos t d t$ sans double intégration par parties (chapitre 4).

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