mathématiques (PCSI) · Chapitre 15 · Application directe du cours

Deux à deux mais pas mutuellement

Probabilités sur un univers fini · C. Lois, couples, indépendance · niveau 2

Énoncé

On lance deux pièces équilibrées. Soient $A$ = « la première donne pile », $B$ = « la seconde donne pile », $C$ = « les deux donnent le même côté ». Montrer que $A, B, C$ sont indépendants deux à deux mais pas mutuellement.

Corrigé

Univers uniforme à $4$ issues. $P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}$ , et

$P (A \cap B) = P ({P P}) = \frac{1}{4} = P (A) P (B), P (A \cap C) = P ({P P}) = \frac{1}{4}, P (B \cap C) = \frac{1}{4} :$

les trois paires sont indépendantes. Mais

$P (A \cap B \cap C) = P ({P P}) = \frac{1}{4} \neq = P (A) P (B) P (C) = \frac{1}{8} :$

pas d'indépendance mutuelle — et c'est naturel : $A$ et $B$ déterminent $C$ . La connaissance par paires ne suffit jamais à conclure globalement.

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