La formule de Bayes et le test médical

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PCSI), chapitre 15 — Probabilités sur un univers fini · B. Conditionnement et formule de Bayes

Énoncé

Une maladie touche $1 %$ de la population. Un test la détecte chez $99 %$ des malades, mais se déclenche à tort chez $5 %$ des personnes saines. Une personne est testée positive : quelle est la probabilité qu'elle soit malade ?

Corrigé

Avec $M$ (malade) et $T$ (test positif) : $P (M) = 0, 01$ , $P (T ∣ M) = 0, 99$ , $P (T ∣ M) = 0, 05$ . Probabilités totales (système complet $M$ , $M$ — l'arbre du cours) :

$P (T) = 0, 99 \times 0, 01 + 0, 05 \times 0, 99 = 0, 0099 + 0, 0495 = 0, 0594,$

puis Bayes :

$P (M ∣ T) = \frac{P ( T ∣ M ) P ( M )}{P ( T )} = \frac{0 , 0099}{0 , 0594} = \frac{1}{6} \approx 17 %.$

Cinq positifs sur six sont de faux positifs : quand la maladie est rare, les faux positifs des $99 %$ de sains écrasent les vrais positifs du $1 %$ de malades. Bayes renverse le conditionnement — et l'intuition.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.