La formule de Bayes et le test médical

Avec $M$ (malade) et $T$ (test positif) : $P(M)=0,01$, $P(T\mid M)=0,99$, $P(T\mid \overline{M})=0,05$. Probabilités totales (système complet $M$, $\overline{M}$ — l'arbre du cours) :

$$P(T)=0,99\times 0,01+0,05\times 0,99=0,0099+0,0495=0,0594,$$

puis Bayes :

$$P(M\mid T)=\frac{P(T\mid M)P(M)}{P(T)}=\frac{0,0099}{0,0594}=\boxed{\frac{1}{6}\approx 17\%.}$$

Cinq positifs sur six sont de faux positifs : quand la maladie est rare, les faux positifs des $99\%$ de sains écrasent les vrais positifs du $1\%$ de malades. Bayes renverse le conditionnement — et l'intuition.