La loi conditionnelle d'une binomiale

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La loi conditionnelle de $Y$ sachant un événement $A$ de probabilité non nulle est la distribution des $P(Y=y\mid A)=\frac{P((Y=y)\cap A)}{P(A)}$ ; c'est une loi, qui a une espérance — on dit « espérance de la loi conditionnelle », l'espérance conditionnelle n'étant pas au programme. Appelons mot un élément de $\{0,1{\}}^n$. La stratégie : tout événement construit sur $(X_1,\dots ,X_n)$ est une réunion disjointe d'événements « le $n$-uplet vaut le mot $w$ » ; on n'a qu'à compter des mots.

a) La loi de $X$, puis sa loi sachant $(X\ge 1)$. L'événement $(X=k)$ est la réunion disjointe des événements « $(X_1,\dots ,X_n)=w$ » pour les mots $w$ comportant exactement $k$ fois la valeur $1$ : il y en a $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)$ — choisir les places des $1$, « $k$ parmi $n$ » —, chacun de probabilité $p^k(1-p{)}^{n-k}$. Donc $P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$ : $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$, d'espérance $np$.

Notons $q=P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p{)}^n$, strictement positif puisque $0<p<1$. Pour $k\ge 1$, $(X=k)\subset (X\ge 1)$, donc $$P(X=k\mid X\ge 1)=\frac{P(X=k)}{q}(1\le k\le n),$$ et $P(X=0\mid X\ge 1)=0$. Ces nombres sont positifs, de somme $\frac{P(X\ge 1)}{q}=1$ : c'est une loi. Conditionner, c'est renormaliser : on a retiré la masse du point $0$, et divisé le reste par ce qui restait.

Son espérance. Par définition de l'espérance d'une loi, $$\sum _{k=1}^{n}kP(X=k\mid X\ge 1)=\frac{1}{q}\sum _{k=0}^{n}kP(X=k)=\frac{np}{q},$$ le terme d'indice $0$, ajouté, étant nul, et la somme complète valant $E(X)=np$. Comme $q\in ]0,1[$, cette espérance dépasse $np$ : savoir qu'il y a eu au moins un succès augmente le nombre moyen de succès. Quand $p\to 0$, le développement limité $(1-p{)}^n=1-np+o(p)$ donne $q=np+o(p)$, et l'espérance tend vers $1$ : des succès rares, dont on sait qu'il y en a eu au moins un, se réduisent presque toujours à un seul.