La loi des grands nombres au travail

Probabilités sur un univers fini · E. Inégalités et concentration · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On veut estimer la probabilité $p$ qu'une pièce (peut-être truquée) donne pile, en la lançant $n$ fois et en prenant la fréquence observée $f_{n}$ . Combien de lancers garantissent $P (∣ f_{n} - p ∣ \geq 0, 05) \leq 5 %$ ?

Corrigé

$f_{n} = X_{n}$ est la moyenne de $n$ Bernoulli indépendantes de variance $p (1 - p) \leq \frac{1}{4}$ . La version non asymptotique de la loi des grands nombres donne, quel que soit $p$ :

$P (∣ f_{n} - p ∣ \geq 0, 05) \leq \frac{1/4}{n \times ( 0 , 05 ) ^{2}} = \frac{100}{n} .$

Il suffit que $\frac{100}{n} \leq 0, 05$ , soit $n \geq 2000$ lancers. La borne vaut pour chaque $n$ (rien d'asymptotique), sans connaître $p$ : voilà l'approche fréquentiste justifiée et quantifiée — on sait combien d'observations acheter pour une précision donnée. (Tchebychev est prudente : des inégalités de concentration plus fines réduisent considérablement ce $n$ , mais le principe est acquis.)

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