mathématiques (PCSI) · Chapitre 15 · Exercice de TD

La marche aléatoire à l'échelle $n$

Probabilités sur un univers fini · E. Inégalités et concentration · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un marcheur part de $0$ et fait $n$ pas indépendants $X_{1}, \dots, X_{n}$ , chacun valant $+ 1$ ou $- 1$ avec probabilité $\frac{1}{2}$ ; sa position après $n$ pas est $S_{n} = X_{1} + \dots + X_{n}$ .

a) Calculer $E (S_{n})$ et $V (S_{n})$ , puis majorer $P (∣ S_{n} ∣ \geq 10 n)$ .

b) Montrer que $\frac{S _{n} + n}{2}$ suit une loi binomiale ; en déduire que $P (S_{2 p} = 0) = \frac{( p 2 p )}{4 ^{p}}$ pour tout $p \geq 1$ .

c) Montrer que $\frac{1}{2 p} \leq \frac{( p 2 p )}{4 ^{p}} \leq \frac{1}{2 p + 1}$ . (Écrire $\frac{( p 2 p )}{4 ^{p}} = \prod_{k = 1}^{p} \frac{2 k - 1}{2 k}$ , comparer $(2 k - 1)^{2}$ à $(2 k - 2) \cdot 2 k$ , puis $(2 k)^{2}$ à $(2 k - 1) (2 k + 1)$ .)

d) Soit $R_{n}$ le nombre de retours à l'origine aux instants $2, 4, \dots, 2 n$ . Montrer que $n + 1 - 1 \leq E (R_{n}) \leq 2 n + 1 - 1$ . (Télescoper $p + 1 - p$ et $2 p + 1 - 2 p - 1$ .) Commenter.

Corrigé de la question 1

La stratégie. L'additivité de la variance fixe l'échelle de la marche ; la loi binomiale donne la probabilité exacte d'un retour ; la linéarité, appliquée à des indicatrices, compte les retours. Entre les deux derniers, un encadrement par télescopage, sans aucun équivalent asymptotique.

a) L'échelle de la marche. Chaque pas vérifie $E (X_{i}) = 0$ et $E (X_{i}^{2}) = 1$ , donc $V (X_{i}) = 1$ . Par linéarité, $E (S_{n}) = 0$ ; par indépendance, la variance est additive : $V (S_{n}) = n$ . L'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, avec $ε = 10 n$ , donne $P (∣ S_{n} ∣ \geq 10 n) \leq \frac{V ( S _{n} )}{100 n} = \frac{1}{100} .$ Avec probabilité au moins $0, 99$ , le marcheur est dans $] - 10 n, 10 n [$ : il s'éloigne comme $n$ , pas comme $n$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

b) Montrer que $\frac{S _{n} + n}{2}$ suit une loi binomiale ; en déduire que $P (S_{2 p} = 0) = \frac{( p 2 p )}{4 ^{p}}$ pour tout $p \geq 1$ .

Élève

Pour b), je sens que $\frac{S _{n} + n}{2}$ compte quelque chose, mais je ne vois pas comment montrer proprement que c'est une variable binomiale.

Écris $\frac{S _{n} + n}{2}$ comme une somme de $n$ variables, une par pas. Que vaut chacune d'elles selon que le pas vaut $+ 1$ ou $- 1$ ?

Élève

$\frac{S _{n} + n}{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{X _{i} + 1}{2}$ , et $\frac{X _{i} + 1}{2}$ vaut $1$ si le pas est $+ 1$ , $0$ sinon : ce sont des variables de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$ .

Oui. Que te faut-il encore sur ces $n$ variables pour conclure à une loi binomiale, et comment le justifies-tu à partir des $X_{i}$ ? Ensuite, à quel événement sur cette somme correspond $(S_{2 p} = 0)$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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La marche aléatoire à l'échelle n​

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

La marche aléatoire à l'échelle $n$